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Em (SILVA; OLESKOVICZ; SEGATTO, 2010) foi desenvolvida uma metodologia híbrida para detecção, classicação e localização de faltas para um sistema de trans- missão com três terminais. Nesta metodologia a TWD foi utilizada para localização de faltas baseada em ondas viajantes e a Transformada Wavelet Estacionária para a metodologia usando a componente fundamental dos sinais de corrente e tensão. O algoritmo é projetado para trabalhar com dados de corrente ou tensão de um ou nos três terminais do sistema analisado. Os resultados mostraram que o desempenho glo- bal do algoritmo é satisfatório, apresentando boa precisão e uma rápida resposta. O algoritmo baseado em ondas viajantes mostrou-se virtualmente independente da impe- dância de falta, do tipo de falta, do ângulo de incidência de falta, da posição da falta e do efeito do acoplamento mútuo das linhas. No entanto, foi sensível à ruídos abaixo de 60dB, como também a combinação de alta resistência de falta e baixo ângulo de in- cidência de falta, que geram pequenas ondas viajantes e são, consequentemente, difícil de detectar. A técnica que utiliza a componente fundamental apresentou desempenho satisfatório no que se diz respeito de precisão e velocidade de resposta. Entretanto, seu desempenho é inuenciado pela proximidade da falta aos terminais de medição, pelo acoplamento mútuo das linhas e também pela resistência de falta acima de 100Ω. A taxa de amostragem utilizada foi de 240 kHz.

1.3 Estrutura da Dissertação

Para nalizar este capítulo, a seguir apresenta-se de forma breve o conteúdo de cada um dos capítulos.

No capítulo 2, são apresentados os fundamentos teóricos da Morfologia Matemá- tica e dos ltros morfológicos usados neste trabalho. Os aspectos relacionados a estes ltros e que serão de interesse no desenvolvimento das metodologias propostas serão discutidos. Além dos aspectos teóricos, são apresentados resultados de testes e discus- sões que justicam os ajustes que serão adotados nos ltros morfológicos nos capítulos seguintes.

O capítulo 3 apresenta a formulação do algoritmo de detecção e classicação da falta. São apresentados resultados que mostram as vantagens e limitações desses algo-

1.3 Estrutura da Dissertação 17 ritmos.

O capítulo 4 apresenta os princípios básicos da teoria de ondas viajantes e o al- goritmo de localização da falta. Este algoritmo utiliza dados coletados em apenas um terminal da linha monitorada. Como o número de casos a serem analisadas é muito grande, optou-se, ao contrário dos capítulos anteriores, por apresentar os resultados dos testes desse algoritmo no capítulo a seguir.

No capítulo 5 são mostrados os resultados obtidos do algoritmo de localização de falta sob várias circunstâncias de faltas que podem ocorrer em um sistema de transmis- são real. Por m, no capítulo 6 são relatadas as principais conclusões deste trabalho, enfatizando as principais vantagens e diculdades da metodologia implementada. Além disso, são apresentadas algumas propostas para continuidade da pesquisa.

Capítulo 2

Morfologia Matemática

A Morfologia Matemática (MM) é uma teoria apresentada na década de 1960 pelos pesquisadores Georges Matheron e Jean Serra da Escola de Minas de Paris na França, para explorar as formas de imagens extraindo características de interesse (MATHE- RON, 1975), (SERRA, 1982). Posteriormente, a MM foi estendida a imagens com tons de cinza e coloridas. Suas principais aplicações ocorrem em campos como medicina, indústria e automação, no tratamento de imagens microscópicas e de satélite. Algu- mas aplicações no processamento de imagens podem ser vistas em (HUANG; ZHANG, 2010), (WEN-BO et al., 2009) e (YANBIN; WENYONG; ZHENKUAN, 2008). O termo morfologia é usado pois esta técnica explora a forma dos objetos, e o termo matemática se deve ao uso da álgebra como ferramenta de análise desses objetos.

A MM envolve um conjunto denominado Elemento Estruturante (EE) que interage com os dados que representam o objeto a ser analisado, modicando a sua forma e evi- denciando as características de interesse. A forma e o tamanho do EE são escolhidos com base no conhecimento prévio do objeto que será analisado. Desta maneira, para o sucesso da ltragem morfológica é fundamental a escolha de um EE adequado à apli- cação (HUANG; LIU; HONG, 2009), pois, além de extrair dos objetos características similares à sua forma geométrica, o EE ignora características irrelevantes. Em sistemas de energia elétrica os EE mais aplicados são os planares, lineares e triangulares.

Ao longo da última década tem aumentado o interesse na aplicação da MM no tratamento de sinais elétricos devido à sua simplicidade, bom desempenho e eciência computacional. A MM pode ser utilizada no processamento de sinais elétricos de

2.1 Filtros Morfológicos 19 diversas naturezas. Assim, por exemplo, em (JING et al., 2006) a MM é utlizada para detectar faltas internas em transformadores de energia, em (HUANG; LIU; HONG, 2009) a MM é utilizada para a detecção e localização de distúrbios em sinais elétricos e em (JING et al., 2009) utiliza-se a MM para detecção de componentes harmônicos em correntes.

Neste capítulo são apresentados os ltros morfológicos utilizados nesta dissertação. Inicialmente, serão apresentados as operações básicas que compõem os ltros morfológi- cos. Em seguida, serão apresentados o Gradiente Morfológico e o Gradiente Morfológico Multirresolução que serão comparados em uma série de testes experimentais. Por m, será apresentada a Wavelet Morfológica.

2.1 Filtros Morfológicos

Os ltros morfológicos realizam transformações não lineares sobre os sinais, modi- cando localmente suas características geométricas em função do EE utilizado (ZHANG et al., 2002). Desta forma, os ltros morfológicos realizam suas transformações apenas no domínio do tempo, diferentemente de outras transformações mais difundidas como a Wavelet e Fourier, que estão situadas no domínio da frequência. O desempenho dos ltros morfológicos independe do deslocamento de fase e do decaimento da amplitude do sinal. Adicionalmente, a janela de dados requerida nos ltros morfológicos é pe- quena, sendo igual ao número de amostras (tamanho) do EE, permitindo uma rápida resposta às mudanças ocorridas no sinal sob análise (JING et al., 2006).

As operações envolvidas nos ltros morfológicos são apenas a adição e a subtração, seguida da extração de máximos, mínimos, medianas e médias, o que torna a MM uma ferramenta muito promissora para aplicação em tempo real. Os ltros morfológicos mais elementares são denominados de dilatação e erosão, sendo que a maioria dos demais ltros morfológicos são constituídos por uma combinação destas duas operações básicas. A seguir, estas operações básicas são denidas.

2.1 Filtros Morfológicos 20

2.1.1 Dilatação

A dilatação é uma transformação morfológica caracterizada pela soma de uma porção do sinal analisado com um EE, seguida da extração de um máximo. A dilatação pode ser denida como segue:

Considere um sinal ou função discretizada f(n) contendo n amostras com domí- nio Df = {0,1, ..., n − 1} e o EE g(m) contendo m amostras com domínio Dg =

{0,1, ..., m − 1}, satizfazendo a condição n ≥ m. A dilatação do sinal f(n) pelo EE g(m), simbolizado pelo operador f ⊕ g é denida pela Equação 2.1.

(f ⊕ g)(n) = max {

f (n − m) + g(m) |(n − m) ∈ Df; m ∈ Dg

(2.1)

O efeito da aplicação da dilatação sobre um sinal depende da forma e dos valores contidos no EE, bem como da porção do sinal sob análise. Elementos estruturantes planares (g(m) = 0) geralmente são usados para suprimir ruídos, enquanto que EE lineares ou triangulares são indicados para evidenciar transitórios. As Figuras 2.1 e 2.2 mostram os efeitos da aplicação de operações de dilatação sobre um sinal senoidal corrompido por um ruído branco gaussiano. São usados respectivamente elementos estruturantes planares de comprimento vinte e dez, respectivamente. A partir dessas guras observa-se que a dilatação do sinal por EE planares contornou a borda superior do sinal. Além disso, observa-se que a dilatação por um EE menor permite um contorno mais próximo da função.

2.1 Filtros Morfológicos 21 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Amostras (n) Amplitude

sinal original sinal dilatado

Figura 2.1: Dilatação de um sinal senoidal contendo um ruído branco pelo EE = {01,02,03, ...,020} 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Amostras (n) Amplitude

sinal original sinal dilatado

Figura 2.2: Dilatação de um sinal senoidal contendo um ruído branco pelo EE = {01,02,03, ...,010}

2.1.2 Erosão

A erosão é a transformação morfológica realizada no sinal que consiste em subtra- ções de uma região do sinal analisado pelo EE, seguida da extração do mínimo. A erosão pode ser denida como segue:

Seja um sinal discretizado f(n) contendo n amostras e o EE g(m) contendo m amostras, satisfazendo as condições e os domínios Df e Dg denidos na seção anterior.

A erosão do sinal f(n) pelo EE g(m), simbolizado pelo operador f ⊖ g é denida pela Equação 2.2.

2.1 Filtros Morfológicos 22 (f ⊖ g)(n) = min { f (n + m) − g(m) |(n + m) ∈ Df; m ∈ Dg (2.2)

Da mesma forma que na dilatação, a erosão de um sinal depende do tamanho, da forma do EE e da região do sinal em análise. O mesmo sinal e os mesmos EE's da demonstração realizada na seção anterior são usados para exemplicar uma erosão. Os resultados são mostrados nas Figuras 2.3 e 2.4. Analisando estas guras observa-se que a erosão do sinal pelos EE planares contornou a borda inferior do sinal ruidoso, e da mesma maneira que na dilatação, EE's menores permitem um contorno mais próximo da função. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Amostras (n) Amplitude

sinal original sinal erodido

Figura 2.3: Erosão de um sinal senoidal contendo um ruído branco pelo EE = {01,02,03, ...,020} 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Amostras (n) Amplitude

sinal original sinal erodido

Figura 2.4: Erosão de um sinal senoidal contendo um ruído branco pelo EE = {01,02,03, ...,010}

2.2 Gradiente Morfológico (GM) 23

2.2 Gradiente Morfológico (GM)

O Gradiente Morfológico é um ltro morfológico denido pela diferença entre as operações de dilatação e erosão de um sinal f(x) por um mesmo EE g(x). Matema- ticamente, o GM é denido pela equação 2.3. O GM é adequado para a detecção de bordas em imagens e na detecção de mudanças súbitas em sinais. Destaca-se que o GM não tem relação com o operador gradiente que é geralmente usado na matemática e na engenharia.

Ggrad= (f ⊕ g)(x) − (f ⊖ g)(x) (2.3)