No projeto AnA (Sutherland, 1993) foram estudados dois grupos de alunos, de 10-11 e de 14-15 anos na resolução de tarefas com a folha de cálculo, ao longo de um ano. Os resultados mostram que, no trabalho com a folha de cálculo, os alunos aprendem a entender um símbolo como a representação de um número geral, confirmando os resultados de estudos anteriores. A interação dos alunos com o computador em atividades algébricas apoiou o desenvolvimento do pensamento em termos específicos para um pensamento em termos gerais de objetos.
O projeto Purposeful Algebraic Activity (Ainley, Bills & Wilson, 2005), realizado entre 2001 e 2004, teve como principais finalidades explorar o potencial da folha de cálculo como uma ferramenta na introdução da Álgebra e do pensamento algébrico, estabelecendo conexões entre o ensino aprendizagem da Aritmética e o
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desenvolvimento do ensino da Álgebra, tentando, em particular, perceber como é que os alunos constroem o significado para as incógnitas, variáveis algébricas e respetiva notação. Este trabalho implicou o seguimento de alunos entre 11 e 13 anos e foram envolvidos professores de diferentes ciclos de ensino na conceção das tarefas e no acompanhamento da sua aplicação. Foi utilizada uma variedade de métodos de recolha de dados que foram utilizados para descrever o desenvolvimento dos alunos: observação de aulas de Álgebra, entrevistas com grupos de alunos, grupos de discussão e entrevistas individuais com professores e análise dos trabalhos dos alunos. No âmbito deste projeto foi concebida uma sequência de tarefas tendo em conta as atividades algébrica sugeridas por Kieran (2004), e procurando corrigir o desequilíbrio entre estes três tipos de atividade. Durante o primeiro ano do projeto, foi desenvolvido um programa com seis tarefas na folha de cálculo, diversificadas no que respeita à atividade algébrica. Uma das conclusões deste estudo é que o uso da folha de cálculo tem um efeito imediato na produção de algum tipo de resultado. Duas das tarefas (atividades de transformação) foram concebidas de modo a que os alunos não utilizassem exclusivamente o computador e usassem a notação algébrica para explicar os seus resultados. Uma característica importante no trabalho com a folha de cálculo é que os alunos tendem a utilizar a Álgebra com base em células de referência, para expressar o seu raciocínio durante as atividades, formando uma ponte entre a linguagem natural e a notação algébrica. Os alunos tiveram oportunidade de apreciar as ideias algébricas, como a linguagem simbólica e as potencialidades (affordances) da folha de cálculo que são cuidadosamente combinadas com essas ideias algébricas, à medida que vão sendo introduzidas. As conclusões indicam que as perceções que os alunos têm acerca de uma tarefa afetam o modo como a folha de cálculo é utilizada e evidenciam a forma como esse ambiente digital se vai tornando transparente para os alunos (Ainley, Bills & Wilson, 2005). Foi dada a oportunidade aos alunos para se movimentarem entre a Aritmética e estruturas algébricas, utilizando a linguagem natural e notações informais, a notação da folha de cálculo e a notação algébrica formal. A sequência de tarefas propostas pretendia combinar estes elementos com diferentes focos em atividades algébricas progressivamente mais complexas. Atendendo a que foram vários professores a aplicar a mesma tarefa, os investigadores observaram a existência de algumas diferenças, ainda que subtis, na ênfase dada a determinado aspetos e na forma como as tarefas são entendidas pelos seus alunos (Ainley, Bills, & Wilson, 2004).
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Num outro projeto, Neves, Monteiro, Rocha, Silva e Ponte (2006) desenvolveram uma experiência com alunos do 3.º ciclo, em duas turmas, onde propuseram a realização de tarefas envolvendo a exploração de conceitos algébricos com a utilização da folha de cálculo. Os autores observaram que os alunos sentiam maior necessidade de explicar o raciocínio seguido quando utilizavam a folha de cálculo. Deste estudo, foram apresentadas algumas potencialidades educacionais do uso da folha e de cálculo e da tecnologia, em geral: (i) Libertar o aluno dos cálculos numéricos e das manipulações algébricas repetitivas, permitindo maior concentração no desenvolvimento conceptual; (ii) Possibilitar a expansão dos domínios conceptuais da Álgebra que podem ser adquiridos em cada nível; (iii) Criar uma interface natural entre o mundo dos números e o da Álgebra; (iv) Possibilitar representações gráficas reais; e (v) Proporcionar ambientes de trabalho em que a utilização da Álgebra surja como um procedimento normal, e não como uma exigência arbitrária na resolução de problemas significativos (p. 331).
Usiskin (2004) afirma que muitas pessoas que diariamente utilizam uma folha de cálculo estão a utilizar a Álgebra embora sem se aperceberem por não fazerem a ligação com a Álgebra escolar. Trabalhar na folha de cálculo é usar a Álgebra, com as variáveis …. Por exemplo, ao escrever ” na célula , a folha de cálculo dá-nos o resultado e de cada vez que copiamos uma fórmula para outra célula estamos a criar uma função. A folha de cálculo permite a construção de gráficos e com o gráfico ou por aproximação sucessiva podemos resolver muitas equações.
Na folha de cálculo, a célula representa um número geral, alguns alunos pensam no código de referência da célula e outros pensam no número que aparece na célula. Isto sugere que os alunos pensam nos objetos que manipulam diretamente. Os alunos, ao escreverem fórmulas que relacionem algumas células entre si podem ver os resultados numéricos no computador. Este feedback é importante para a sua atividade, pois pode ser suficiente para os incentivar a uma reconstrução das fórmulas utilizadas, o que soluciona o problema encontrado e não apenas para um caso em particular. Este é um aspeto que reforça o facto de a folha de cálculo ser um impulsionador da generalização em Matemática. A visualização do output da folha de cálculo suscita uma nova reflexão acerca do problema em causa e, em particular, da fórmula introduzida. Tal facto
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estimula a evolução do pensamento matemático, permitindo aos alunos realizar trabalho de investigação (Calder, 2009).
Vários autores reconhecem a folha de cálculo como uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas e, em particular, no desenvolvimento do pensamento algébrico (e.g., Ainley, Bills & Wilson, 2004; Dettori et al., 2001; Rojano, 2002). A representação simbólica na folha de cálculo das relações presentes num problema é iniciada através da nomeação de colunas e da escrita de fórmulas. Este recurso proporciona um ambiente de trabalho estimulante que favorece uma maior compreensão das relações de dependência entre as variáveis e estimula os alunos a apresentarem gradualmente resoluções algébricas em detrimento de métodos aritméticos (Rojano, 2002). Para além disso, esta ferramenta contribui para que os alunos utilizem a Álgebra com base nas referências das células para expressar o seu raciocínio durante a realização das atividades, criando uma ponte entre a linguagem natural e a notação algébrica (Ainley et al., 2004).
Um procedimento usual na folha de cálculo é a nomeação de colunas que permite identificar as variáveis presentes nos problemas. A nomeação de colunas permite identificar um conjunto de números com um único nome, dando uma ideia da noção de variável. Deste modo fornece um importante suporte para a atividade com papel e lápis, sendo uma ação que leva os alunos a refletir, permitindo-lhes compreender o significado matemático de variável (Wilson, 2007).
A folha de cálculo, na medida em que é híbrida e coabita num mundo de alternância/transição entre a Aritmética e a Álgebra (Haspehkian, 2005), é uma boa ferramenta de mediação semiótica. Constitui, assim, uma opção didática para ajudar os alunos na transição da Aritmética para a Álgebra (Kieran, 1996; Rojano & Sutherland, 1997). Friedlander (1998) afirma que “a folha de cálculo constrói uma ponte ideal entre a aritmética e a álgebra e permite aos alunos a livre circulação entre os dois mundos. Os alunos procuram padrões, constroem expressões algébricas, generalizam conceitos, justificam conjeturas, e estabelecem a equivalência de dois modelos conforme as necessidades intrínsecas e significativas e não como exigências arbitrárias colocadas pelo professor” (p. 383). No entanto, continua por investigar o alcance da contribuição da folha de cálculo para uma compreensão mais ampla dos fundamentos dos métodos formais, em particular de resolução de sistemas de equações.
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A interação dos alunos com o computador em atividades algébricas suporta o desenvolvimento do pensamento em termos específicos para um pensamento em termos gerais de objetos. Na folha de cálculo, os alunos ao escreverem fórmulas que relacionem algumas células podem ver os resultados numéricos no computador. Este feedback é importante para a atividade matemática dos alunos, pois pode ser suficiente para os incentivar a uma reconstrução das fórmulas utilizadas, o que soluciona o problema encontrado e não apenas para um caso particular. Este aspeto reforça o facto de a folha de cálculo ser um impulsionador da generalização em Matemática. A visualização do output da folha de cálculo suscita uma nova reflexão acerca do problema em causa e, em particular, da fórmula introduzida, o que estimula a evolução do pensamento matemático, permitindo aos alunos realizar trabalho de investigação (Calder, 2009). Para Beare (1993) o uso da folha de cálculo apresenta um vasto número de benefícios para a aprendizagem e permite uma variedade de abordagens pedagógicas, tais como, questões abertas, de resolução de problemas, de carácter investigativo, de descoberta, ativas e centradas no aluno. O autor destaca ainda o facto: de ser iterativa; de proporcionar um feedback imediato decorrente da alteração de dados ou fórmulas; de permitir que dados, tabelas e gráficos surjam em simultâneo, dando aos alunos um grande controlo e domínio sobre a sua aprendizagem. Uma outra vantagem relevante advém da sua capacidade de efetuar cálculos que permitem resolver problemas complexos e lidar com grandes quantidades de dados sem a necessidade de programação.
A natureza interativa e a diversidade de representações acessíveis através da folha de cálculo, associada com uma intervenção adequada do professor, permite aos alunos, não só explorarem uma grande variedade de problemas, mas também estabelecerem ligações entre diferentes conteúdos e proporciona a modelação matemática de uma forma dinâmica e reflexiva (Borba & Villarreal, 2005; Zbiek, 1998). Este ambiente digital incentiva o processo de experimentação, dando espaço aos alunos para a exploração das relações (Calder, 2002). Esta exploração pode ser estimulada pelo feedback recebido levando a um pensamento mais profundo e conhecedor que é fundamental no processo de aprendizagem. Quando este feedback constitui uma surpresa ou traz algo de inesperado para o aluno, a sua imaginação é estimulada na procura de uma explicação que dê sentido ao sucedido (Mason, 2005).
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De acordo com Kieran e Yerushalmy (2004) as novas tecnologias, em particular a folha de cálculo, dão a oportunidade de explorar e coordenar múltiplas representações de conceitos matemáticos, no próprio ambiente digital e entre esse ambiente e o trabalho com papel e lápis. Partilho estas ideias e acredito que o recurso à folha de cálculo com tarefas adequadas pode facilitar a aprendizagem da Álgebra e em particular dos métodos formais algébricos permitindo ao mesmo tempo o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos.
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