Tendo em conta que a investigação decorre num cenário de experiência de ensino, a análise de dados acompanha todo o período da sua implementação, ainda que de uma forma pouco profunda. Esta análise inicial permite-me efetuar alguns ajustes, por exemplo, relativamente a aspetos em que os alunos têm dificuldades e que necessitam de ser abordados com maior ênfase, revisitando a conjetura de ensino aprendizagem (Cobb et al., 2003).
A fase mais aprofundada de análise de dados tem lugar após o término da experiência de ensino. Numa primeira fase começo por categorizar, contabilizar e converter para percentagem as representações matemáticas que cada uma das alunas utiliza, na resolução das diferentes tarefas, ao longo do estudo dos três tópicos da experiência de ensino e nas entrevistas, separando-as pelos dois ambientes envolvidos. No ambiente de papel e lápis identifico o recurso às representações: linguagem natural, no sistema de notação numérico-SNN, no sistema de notação algébrico-SNA, pictóricas e gráficas. Na folha de cálculo, as alunas recorrem à linguagem natural, à inserção de valores numéricos, a variáveis-célula, a variáveis-coluna e procedem à formatação de células, em particular, quando encontram a(s) solução(ões). Para além de identificar as representações matemáticas, identifico o seu propósito de utilização (tabela 6.5), bem como os métodos (MI- métodos informais, MT- métodos transitórios e MF- métodos formais) que estão associados a esta utilização.
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Tabela 6.5: Excerto da tabela utilizada para o registo das representações matemáticas e seus propósitos de utilização nas tarefas realizadas no estudo do tópico “Equações do 2.º grau a uma
incógnita” e na entrevista.
A categorização para as produções em cada tarefa dos diferentes tópicos e para cada aluna encontra-se organizada e registada nas tabelas 7.1, 7.2, 7.3, 8.1, 8.2 e 8.3 dos
Tarefas (Papel e lápis/ folha de cálculo) TA3 … Métodos (MI/MT/MF) R epre se n taç ões com p ape l e lápi s Linguagem natural Dados do enunciado % Identificação de incógnitas % Explicação de procedimentos % Resposta % Outros % Sis tema s de no ta çã o Numérico
Cálculos por substituição %
Cálculos por operações inversas %
Outros %
Algébrico
Escrita de expressões algébricas %
Simplificação de expressões %
Recurso a fórmulas %
Escrita de equações do 1.º grau % Resolução de equações do 1.º grau % Casos notáveis da multiplicação % Escrita de equações do 2.º grau % Resolução de equações do 2.º grau (Raiz quadrada) % Resolução de equações do 2.º grau (Lei do anulamento prod.) % Resolução de equações do 2.º grau (Fórmula resolvente) % Resolução eq. Grau 4 (fact. dada) (Lei do anulamento prod.) %
Factorização % Outros % Pictóricas % Gráficas % R ep re se n taç ões na fol ha d e c á lcu lo 1 Linguagem natural Dados do enunciado % Nomeação de colunas % Explicação de procedimentos % Resposta % Registo numérico Sequências
Com incremento constante %
Com incremento nulo %
Registo de fórmulas Variável-célula %
Variável-coluna %
Gráficos Gráfico de dispersão % Form. cond. /Realçar
células Identificar a resposta
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anexos 32, 33, 34, 35, 36 e 37, respetivamente. Esta primeira incursão nos dados permite-me obter uma ideia geral da forma como as alunas evoluem ao longo do estudo de cada tópico, no que respeita à utilização de diferentes representações, aos seus propósitos e à evolução nos métodos utilizados. Estas primeiras intuições são fundamentais e servem de pilares para o delineamento dos procedimentos subsequentes na análise dos dados. Contudo esta primeira fase de análise não contempla o registo da transformação das representações que é um dos meus propósitos de investigação. Por outro lado, também não contempla a tipologia de tarefa – um aspeto fundamental a ter em conta, pois diferentes tipos de tarefa podem fazer emergir diferentes representações bem como transformações distintas. Assim, na fase seguinte avanço para uma análise mais aprofundada em que começo por categorizar cada questão de cada tarefa de cada um dos tópicos por tipologia, tendo em conta o referencial de Ponte (2005). De seguida, procedo à identificação das transformações das representações, sempre que possível pela ordem cronológica em que foram realizadas. Identifico ainda os métodos formais e/ou objetos algébricos (expressões algébricas, equações, sistemas de equações, …) que as alunas utilizam bem como os momentos em que foi feita determinada formalização. Esta análise detalhada encontra-se organizada por tópicos e por tarefas em tabelas nos anexos de 32 a 37. Na tabela 6.6 exemplifico o modo como organizo e faço esta análise.
Tabela 6.6: Excerto de tabela utilizada para o registo da transformação das representações e métodos formais utilizados e/ou formalizados por questão de cada tarefa.
Apesar de não fazer parte do meu objetivo inicial de investigação, desta análise e através da organização destas tabelas, emergiu o facto de poder associar às conversões
Tarefa Papel e lápis Folha
cálculo Transformações das representações Outros Métodos formais
Tipo P Ex Ep TI P Ex Ep TI Atividade algébrica
Q1 x Conversão (LN-Tab FC) Tratamentos (seq. numéricas) Tratamentos (var. coluna) estabelecimento de relações Formatação Noção e escrita de sistema de equações (discussão/síntese)
Construção das variáveis Atividade de geração Identificação da solução
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para o SNA e aos tratamentos, definidos por Duval (2003), as atividades de geração e transformação definidas por Kieran (2004). Esta autora define as atividades de geração como a escrita de expressões algébricas, equações, ente outros e este tipo de atividade surge nos momentos de conversão para o SNA. As atividades de transformação englobam a simplificação de expressões e a resolução de equações e é um tipo de atividade que pode ser associada aos tratamentos no SNA. No ambiente da folha de cálculo quando ocorre o uso fórmulas, posso considerar que são atividades de geração nesse ambiente digital uma vez que as alunas estão a escrever expressões algébricas utilizando a Álgebra específica da folha de cálculo. Por outro lado, a geração de variáveis-coluna e o tipo de trabalho realizado pela própria folha de cálculo, como ferramenta, pode associar-se às atividades de transformação descritas por Kieran (2004). Contudo, estas transformações não são explícitas pelo que não são se encontram registadas nestas tabelas. Assim, para cada questão, registo ainda as atividades de geração e transformação envolvidas nas produções das alunas.
Após o registo da análise de dados nestas tabelas elaboro uma tabela (tabela 6.7) para cada tópico e por aluna (ver tabelas finais dos anexos 32 a 37) com as súmulas das conversões das representações em percentagem.
Tabela 6.7: Exemplo de um excerto de uma tabela súmula das conversões das representações da aluna A no tópico “Sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas”.
Conversão das representações matemáticas- Sistemas de equações
LN- SNA SNN- SNA Fig. geom./R. pict - SNA SNA- SNN Fig. geom./R. pict – SNN SNN- R.Gráfica LN- Tab.(FC) Tab.(FC)-Rep. Gráfica(FC) TA-1 P % % % % % % % % Exe % % % % % % % % Exp % % % % % % % % TB-1 P % % % % % % % %
Estas tabelas permitem-me obter uma imagem global acerca da evolução da conversão das representações a que as alunas recorrem ao longo do estudo de cada tópico, por tipologia de tarefa e por ambiente (papel e lápis e/ou folha de cálculo). Para uma melhor perceção, apresento ainda, alguns gráficos com a informação contida nas tabelas referidas anteriormente. Uma vez que é minha intenção perceber a forma como
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as alunas evoluem na aprendizagem dos métodos formais interessa-me, particularmente, perceber como evoluem na conversão para o SNA e para o SNN. Como alguns métodos incluem representações gráficas construo ainda tabelas para cada tópico e por aluna, a partir das anteriores, onde contabilizo apenas as conversões para o SNA, para o SNN e para representação gráfica quer com papel e lápis que na folha de cálculo. A informação destas tabelas é depois convertida para gráficos para uma melhor perceção da evolução das alunas.
Para sintetizar a análise do tratamento das representações construo igualmente tabelas (tabela 6.8) por tópico e por aluna, para cada tarefa, onde considero os tratamentos no SNA, no SNN assim como na folha de cálculo na geração de sequências numéricas e na geração de variáveis-coluna.
Tabela 6.8: Exemplo de excerto de súmula dos tratamentos das representações da aluna A no tópico “Sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas”.
Tratamentos das representações matemáticas – Sistemas de equações SNA SNN Geração Sequência
Numéricas (FC)
Geração Var - Coluna (FC) TA-1 P % % % % Exe % % % % Exp % % % % TB-1 P % % % %
A informação destas tabelas é também convertida para gráficos de modo a permitir uma melhor compreensão dos momentos em que este tipo de atividade mais se verifica.
Todas estas tabelas foram construídas na folha de cálculo, o que me permitiu facilmente num único ficheiro agrupar toda esta informação separada por aluna e tópico, assim como converter automaticamente a informação das tabelas para representações gráficas.
Esta tarefa de análise em todas as tabelas atrás referidas não é um trabalho isolado; em paralelo, leio atentamente as transcrições das entrevistas, das gravações áudio das aulas, dos registos da sequência de frames na folha de cálculo, com os diálogos que ocorrem em simultâneo e as notas de campo. Procedo à codificação deste material digital, nos quais faço recortes em unidades de contexto e de registo.
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Todo o processo de codificação decorre de forma dinâmica e fluída (Strauss & Corbin, 1998), sempre que considero necessário crio novos códigos e adiciono-os aos já existentes ou altero alguns já definidos.
Na fase seguinte, passo ao tratamento dos resultados, ou seja, à sua interpretação, às inferências e à sua sistematização. Todo este trabalho é fundamental e suporta a redação da narrativa para cada um dos casos, assim como as sínteses que elaboro para cada um deles. Desta forma a análise de dados envolve, essencialmente, análise de conteúdo, onde efetuei uma definição indutiva de categorias. Durante o processo de análise de dados tive em consideração a diversidade que encontrei nos dados, que são indicadores úteis para o estudo da variabilidade do fenómeno (Fernandes & Maia, 2001). Sempre que possível estabeleço conexões simultâneas entre diferentes bases de dados, como as produções das alunas, as transcrições das aulas e do trabalho na folha de cálculo, as transcrições das entrevistas e as notas de campo. Assim o trabalho de análise permite-me perceber a singularidade de cada caso e, ao mesmo tempo, efetuar uma análise cruzada dos dois casos em estudo.
Neste estudo, em certa medida, faço ainda uma análise de discurso. Este é um método qualitativo que se apresenta como uma forma de compreender as interações sociais. Ao analisar o discurso, os investigadores analisam a linguagem em contexto, dando especial atenção aos aspetos sociais, políticos e culturais. Estes estudos podem envolver linguagem de humor, conversa entre um médico e os pacientes, discurso de políticos, discursos com ironia ou metáfora e discurso jurídico. Estas investigações têm ajudado a perceber como é que as pessoas quando falam ou escrevem, organizam o seu discurso para indicar as suas intenções, bem como sobre a forma como os ouvintes/leitores interpretam o que ouvem ou leem, contribuindo para responder a questões importantes que levam, por exemplo, a identificar as capacidades cognitivas envolvidas no uso de símbolos ou sistemas semióticos, o estudo da variação e da mudança, ou com a descrição de alguns aspetos do processo de aquisição da linguagem. Nestas análises, os investigadores trabalham com textos que constituem o corpus de um determinado estudo, o que pode consistir na transcrição de uma conversa gravada ou um documento escrito (Alba-Juez, 2009). Nesta investigação a análise de discurso permite- me dar uma maior profundidade aos resultados, procuro identificar o sentido que as alunas dão às representações que utilizam e os métodos formais que lhes associam e,
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ainda, o sentido que dão ao trabalho com a folha de cálculo assim como as perceções que mostram acerca do seu papel na aprendizagem dos métodos formais algébricos. Para esta análise recorro a excertos das transcrições das aulas, das entrevistas e do trabalho realizado com a folha de cálculo, onde tento interpretar o que as alunas referem e as ideias que estão subjacentes às suas afirmações.
Na análise dos dados um aspeto fundamental a ter em conta é a triangulação, esta tem sido considerada como um processo em que se recorre a múltiplas perceções para clarificar significados, verificando a repetibilidade de uma observação ou interpretação (Stake, 2000). No entanto, tenho em conta que nem tudo se consegue reproduzir, no formato original, assim através da triangulação é possível identificar diferentes situações em que determinado fenómeno é observado. Neste estudo a triangulação é feita com base na diversidade de fontes que considero para a análise de dados relativamente a cada uma das questões de investigação.
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