No final do 9.º ano os alunos deverão fazer algumas escolhas que podem ser decisivas em termos de progressão de estudos e carreira profissional. Neste último ano do ensino básico, vários tópicos de Álgebra são abordados com alguma profundidade, numa perspetiva funcional uma vez que os alunos já os abordaram em anos anteriores, como é o caso do estudo da proporcionalidade direta e da função afim.
Ao intensificar-se o estudo na Álgebra, a transversalidade dos conhecimentos a outros temas torna-se cada vez mais evidente. A utilização de equações do 1.º e do 2.º grau é bastante frequente para resolver uma variedade de situações nos mais variados temas do currículo. Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar afirmam ser importante que os alunos desenvolvam
a compreensão sobre as propriedades algébricas que regem a manipulação dos símbolos nas expressões, nas equações e nas inequações. Os alunos deverão tornar-se hábeis na execução dessas manipulações, recorrendo aos meios apropriados – mentalmente, com papel e lápis ou com tecnologia (NCTM, 2000, p. 353).
Referem igualmente que
Estas ferramentas matemáticas podem ajudá-los a desenvolver uma compreensão mais profunda sobre fenómenos do mundo real. Simultaneamente, o trabalho em contextos reais poderá auxiliar os alunos a dar sentido aos conceitos matemáticos subjacentes e fomentar a sua valorização” (NCTM, 2000, p. 353).
Portanto, a aprendizagem de métodos formais algébricos constitui um marco fundamental para o progresso na aprendizagem da Matemática.
Também em Portugal, o Currículo Nacional do Ensino Básico (ME-DEB, 2001) apela à prática compreensiva de procedimentos, salientando que o domínio de algoritmos, a utilização de fórmulas, a resolução de equações, entre outros devem ser adquiridos com prática desde que não seja descurada a sua compreensão e a sua integração em experiências matemáticas significativas.
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Os métodos formais são eficazes para resolver variados problemas, levando os alunos rapidamente à solução e libertando-os de procurar estratégias alternativas. No entanto, a passagem do informal ao formal não é fácil para a maioria dos alunos. O pouco tempo despendido na fase informal e a rápida esquematização é responsável por estas dificuldades. Na maior parte das vezes, as estratégias são rapidamente automatizadas e uma vez adquiridos os procedimentos algébricos e tornados rotineiros, há uma grande tendência para os alunos cometerem erros que não são capazes de identificar e/ou corrigir (Wagner, 1983). Acresce ainda que os alunos que habitualmente apresentam uma elevada performance na aplicação de procedimentos formais revelam frequentemente uma compreensão limitada do seu significado e não sabem lidar com situações problemáticas diferentes das habituais. Estes alunos revelam uma fraca flexibilidade matemática para adaptar procedimentos da resolução de problemas a situações novas, a menos que sejam capazes de relacioná-las com procedimentos informais (Küchemann, 1981). Estes aspetos vêm reforçar que a aprendizagem da Álgebra provoca muitas tensões entre uma abordagem informal e a formal, uma vez que o desenvolvimento de procedimentos formais acarreta muitos riscos, apesar de ser uma ferramenta bastante útil, pela sua eficiência.
As dificuldades que surgem com a aplicação dos métodos formais podem estar relacionadas com o ritmo a que os tópicos são estudados, bem como à abordagem predominantemente formal com que são apresentados (Herscovics & Lincheviski, 1994). Para facilitar a aprendizagem é importante envolver os alunos em experiências informais antes da manipulação algébrica formal, nomeadamente através da resolução de problemas.
De acordo com Freudenthal (1983) ser competente na Álgebra escolar e em particular na aplicação de métodos formais implica, entre outras coisas, adiar o dar sentido e significado, a favor de uma rápida aplicação de um procedimento, mas por outro lado, quando necessário, parar e proceder à interpretação dessa rotina automática com o objetivo de se questionar, refletir, conectar ideias, tirar conclusões e construir novos significados para descobrir a sua origem e o seu propósito (p. 469). Por seu lado, Skemp (1976) considera que se torna mais fácil os alunos obterem uma compreensão instrumental do que uma compreensão relacional na medida em que a compreensão instrumental requer menos conhecimento e permite obter uma resposta correta mais
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rapidamente. Contudo, este tipo de compreensão requer memorização e sem a compreensão relacional a aprendizagem não pode ser adaptada a novas tarefas e os alunos não conseguem fundamentar as suas respostas. Deste modo, é fundamental dar especial atenção ao modo como os novos conceitos ou procedimentos são introduzidos de modo a reduzir a possibilidade da aprendizagem se restringir à memorização de regras. Sempre que possível devem ser proporcionadas experiências que promovam a compreensão do significado dos processos utilizados.
O estudo dos métodos formais abarca o trabalho com várias representações como a algébrica e a gráfica. Este trabalho com múltiplas representações matemáticas continua a ser um objetivo na aprendizagem da matemática (NCTM, 2000) e destaca-se pela sua grande utilidade na resolução de problemas (Kaput 1992; Yerushalmy, 2006).
No Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007), no estudo do tópico sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas está previsto o ensino do método de substituição e de resolução gráfica, podendo ainda ser trabalhado o método da adição ordenada. O método de substituição assenta no uso da linguagem algébrica, estando a ideia de substituição sempre presente. Filloy, Rojano & Solares (2004) mostram que certos alunos têm dificuldades em resolver problemas com duas incógnitas e manifestam dificuldades na aplicação da “transitividade do sinal de igual” quando se depararam com duas equações do tipo: 4x3y e 6x7 y. Raramente reconhecem a transitividade para obter, por exemplo, 4x36x7. Uma explicação para esta dificuldade pode residir no facto de os alunos considerarem os
y
’s como sendo diferentes. No método gráfico predomina a representação gráfica, podendo também estar envolvidas a representação tabelar e/ou algébrica. O método da adição ordenada apoia-se numa linguagem predominantemente algébrica, envolvendo ainda a ideia de substituição.No estudo do tópico “Proporcionalidade inversa” o método formal associado é o uso da expressão algébrica que define a relação entre as duas grandezas. No entanto, o raciocínio proporcional não é fácil de entender para a maioria dos alunos. Cordel e Mason (2000) são da opinião que o raciocínio que envolve relações proporcionais é um processo complexo que se desenvolve por um período de tempo prolongado e que são necessárias várias experiências físicas para desenvolver uma compreensão do que é uma relação proporcional e depois mais tempo para lidar com essa relação de forma abstrata.
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Na resolução de equações do 2.º grau completas os alunos devem aprender a utilizar a fórmula resolvente. Contudo, previamente aprendem a noção de raiz quadrada para resolver equações do tipo , técnicas de factorização e a lei do anulamento do produto para equações incompletas. Lima e Tall (2010) relatam que no estudo das equações do 2.º grau, os professores ensinam métodos de factorização, mas rapidamente passam para o uso da fórmula resolvente, convictos de que a sua utilização permite aos alunos resolver qualquer equação do 2.º grau que possa surgir num teste.