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A análise da eficiência dos gastos públicos em saúde e educação para os Municípios

do Estado do Ceará, realizada no estudo em apreço, utilizou, como metodologia, o modelo de

Fronteira Estocástica, o qual será discriminado abaixo.

5.1 Função de produção

A fim de que se compreenda melhor o modelo de fronteira de produção estocástica,

é de suma importância que, a priori, tenha-se uma visão geral a respeito dos conceitos sobre a

função de produção.

A função de produção em uma organização consiste na reunião de insumos

destinados à produção de seus bens e/ou serviços. Nesse sentido, qualquer organização possui

uma função produção, uma vez que produz algum tipo de bem e/ou serviço (SLACK et al.,

2002).

Para Pindick e Rubinfeld (2002), a função de produção apresenta a relação que há

entre os insumos do processo produtivo e o produto resultante, mostrando o produto máximo

que uma empresa pode obter para cada combinação específica de insumos.

Citados autores afirmam também que uma função de produção indica o produto,

‘Q’, que uma empresa produz para cada combinação de insumos. Assim, por exemplo, caso

uma empresa detenha apenas dois insumos, o trabalho, ‘L’, e o capital, ‘K’, obtém-se a

expressão a seguir:

𝑄 = 𝑓(𝐾,𝐿)

na qual:

𝑄 → Volume de produção;

𝐾 → Custo relativo ao capital empregado;

𝐿 → Custo relativo ao trabalho empregado.

Assim, tem-se que a produção de qualquer bem ou serviço constitui um processo

no qual um conjunto de insumos (inputs) é transformado em um conjunto de produtos (outputs).

Citada transformação pode ser obtida de diversas maneiras, as quais podem ser representadas

pela Curva de Possibilidades de Produção (CPP), também chamada de Fronteira de

Possibilidade de Produção.

Dessa forma, a CPP pode ser entendida como um conceito teórico a partir do qual

se ilustra como a questão da escassez impõe um limite à capacidade produtiva de uma

sociedade, que terá de fazer escolhas entre alternativas de produção (VASCONCELOS;

GARCIA, 1998).

Assim, temos que a Fronteira de Possibilidades de Produção representa as várias

combinações possíveis de produção de certos bens que podem ser obtidas por uma economia,

dadas as tecnologias de produção existentes e as quantidades de fatores de produção nela

disponíveis.

Para a representação gráfica simplificada de uma função CPP, podemos colocar um

bem em cada eixo e observamos que a citada função apresentar-se-á em forma de curva e, ao

longo desta, é possível estabelecer diferentes pontos máximos de eficiência produtiva e os

respectivos trade-offs, os quais são resultados do aumento/diminuição da produção de um dos

bens expostos.

Assim, temos que qualquer ponto no interior da curva representa ineficiência

produtiva, haja vista que não se produz na máxima eficiência possível, presente na fronteira.

Em outro sentido, qualquer ponto constante no exterior da curva é inatingível, dada a tecnologia

e a quantidade de fatores produtivos disponíveis.

Figura 5 – Fronteira de Possibilidade de Produção

5.2 Fronteira de produção estocástica

Por meio da análise da fronteira de produção estocástica, é possível descrever a

produtividade e a eficiência técnica de um produtor. Assim, tem-se que, quanto mais próximo

da fronteira estiver um produtor, maior será sua eficiência técnica.

A visualização gráfica da eficiência técnica de um produtor através do citado

modelo pode ser observada por meio da figura 2:

Figura 6 – Fronteira de Produção Estocástica

Fonte: Adaptado Varian (2003)

Em citado gráfico, observa-se que qualquer ponto (x,y) pertencente à fronteira

indica uma maneira tecnologicamente viável de transformar uma quantidade x de insumo em

uma quantidade y de produto.

Isso posto, constata-se que todo ponto localizado ao longo da curva de fronteira é

classificado como tecnicamente eficiente, enquanto os demais pontos do interior da curva são

considerados viáveis, mas tecnicamente ineficientes.

No caso do gráfico apresentado, tem-se que A, B e C representam três produtores.

Fazendo a devida análise, observa-se que o produtor A é tecnicamente ineficiente, enquanto os

produtores B e C são tecnicamente eficientes. A ineficiência do produtor A decorre do fato de

que, com a mesma quantidade de insumo consumida naquele ponto, é possível obter uma

produção igual à do produtor B, a qual é superior à produzida em A.

Noutro giro, tem-se ainda que o nível de produção em A pode ser obtido com uma

quantidade de insumo igual a do produtor C, a qual foi menor que a usada em A.

Neste diapasão, cumpre salientar que, consoante ensina Kumbhakar e Lovell

(2000), a eficiência técnica de um produtor pode ser avaliada pela distância vertical entre ele e

a fronteira. Tal métrica consiste em um número no intervalo [0,1], de modo que o produtor é

tanto mais eficiente quanto mais próximo de 1 for o valor para o seu caso.

O método em baila utiliza técnicas econométricas (paramétricas) de mensuração de

eficiência, que reconhecem a existência de variáveis que podem influenciar o produto, mas

estão fora do controle dos produtores.

Essas influências são chamadas de ruído estatístico e choques aleatórios. No

primeiro, pode-se considerar os erros de medição e as variáveis omissas. Já, no segundo,

incluem-se as ocorrências que influenciam nos custos da organização, mas que não são

controladas pelo produtor, como, por exemplo, greves, e condições ambientais sob a produção.

Carneiro (2017) aduz que os primeiros trabalhos utilizando a Análise de Fronteira

Estocástica (SFA) foram publicados por Aigner, Lovell e Schimidt (1977) e Meeusen e Van

Den Broeck (1977), e demonstraram que os desvios em relação à fronteira de produção podem

ter origem tanto na ineficiência técnica dos produtores quanto nos choques aleatórios que estão

fora do controle dos produtores.

Os trabalhos em apreço presumiram que cada unidade básica considerada detém

uma função paramétrica entre os inputs e outputs de produção, sendo por meio dessa função

que se calcula uma fronteira de eficiência.

Citada fronteira mostra, em termos teóricos, a unidade mais eficiente,

demonstrando, dentro do contexto de fronteira de produção, o termo de erro. Mencionado termo

pode ser decomposto, o que possibilita distinguir os choques aleatórios das alterações de

eficiência técnica.

Ante o exposto, pode-se concluir que, através do modelo de fronteira de produção

estocástica, o produto é dividido em dois componentes, quais sejam o determinístico e o termo

de erro.

No componente determinístico, está incluída a função de produção e outras

variáveis que afetam a produtividade. Já o termo de erro pode ser dividido em outros dois

componentes: um que representa as influências aleatórias, que não podem ser controlado pelas

firmas, e o outro que corresponde ao erro assimétrico, representado pela ineficiência de cada

agente, medindo também a distância da fronteira.

Por fim, ressalte-se que Casa Nova (2002) define a fronteira de eficiência como

sendo uma curva de máxima produtividade na qual se localizarão todas as Unidades Tomadoras

de Decisão (DMUs) consideradas eficientes, enquanto as ineficientes se localizarão abaixo dela.

5.3 Modelo básico de fronteira estocástica

Feita as devidas considerações, é possível descrever que o modelo básico de

fronteira estocástica da seguinte forma:

𝒚𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊,𝜷) + 𝒗𝒊 − 𝒖𝒊 𝒗𝒊 ∼ 𝑵(𝟎,𝜹

v

²)

𝒖𝒊 ~ 𝒉𝑵(𝝁,𝜹

u

²)

onde:

𝑦𝑖 corresponde ao logaritmo do produto para firma 𝑖, para 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁;

𝑁(0, 𝜹

u

²) denota a distribuição normal com média zero e variância 𝜹

u

²;

𝑓(𝑥𝑖,𝛽) representa a função de produção logaritmizada;

𝑥𝑖 o logaritmo do vetor de insumo;

𝛽 um vetor de coeficientes;

𝑣𝑖 captura o erro de medida(simétrica) - distribuição Normal; e

𝑢𝑖 responsável pela ineficiência técnica, com distribuição Half- Normal não

negativa.

Battese e Coelli (1993) afirmam que a principal vantagem de se utilizar a fronteira

estocástica, em relação a outros métodos não paramétricos, reside no fato de ter-se introduzido

um componente de erro para representar o ruído. Dessa forma, torna-se possível a

decomposição do desvio de uma observação em dois componentes: os ruídos aleatórios (𝑣) e

os efeitos de ineficiência técnica da produção (_𝑢).

Os citados autores realizaram um teste simples para identificar a presença de

ineficiência técnica nos dados. Concluíram que o termo de erro seria simétrico e os dados não

evidenciariam a presença de ineficiência técnica, se u = 0, já que, neste caso, o componente de

erro também é nulo. Noutro giro, se u > 0, então a distribuição de ε = v – u é negativamente

assimétrica e há evidências de ineficiências técnicas nos dados.

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