Para ilustrar o trabalho e o envolvimento dos alunos no decorrer da estratégia implementada, apresento os erros cometidos pelos alunos em diferentes aulas. A análise das produções escritas dos alunos fez emergir vários erros, que são organizados segundo as seguintes categorias: erros processuais e erros concetuais. A divisão dos erros nestas categorias é baseada na discussão entre o conhecimento concetual e o conhecimento processual apresentado no capítulo anterior. Assim, neste relatório considero erros processuais os erros que os alunos cometem na utilização de técnicas durante a resolução da tarefa. Estes erros podem ser erros de substituição, erros de interpretação, erros de simplificação de expressões e erros de escrita matemática. Os erros concetuais são os erros que os alunos cometem na aplicação, de forma errada, de uma definição. Estes erros podem ser erros na definição de derivada num ponto, erros na definição das regras de derivação e erros na noção de limite.
De uma forma geral, considerei a seguinte tipologia de erros:
Erros processuais
Entre este tipo de erros cometidos pelos alunos evidenciaram-se os de substituição, interpretação, simplificação de expressões e de escrita matemática. Relativamente aos erros de substituição verifica-se que, por vezes, os alunos cometem erros ao substituir o objeto numa determinada função, como ilustra a seguinte resolução efetuada por um grupo no estudo do tópico taxa de variação:
Figura 8. Resolução apresentada pelo grupo 1.
Da análise da resolução verifica-se que o grupo de alunos não distingue o papel de transformação de uma função. Ao determinar a imagem de xh, os alunos deste grupo
continuam a considerar a função f adicionando-lhe h, o que indicia que a função só considera
um objeto que é representado por um só elemento e não composto pela soma algébrica de elementos. Para estes alunos, a variável é somente a letra x e consideram que a imagem da soma desta letra com outra resulta da imagem de x adicionada com a outra letra.
Relativamente a erros de interpretação, verifica-se que os alunos apresentaram dificuldades em distinguir a ordenada da abcissa. Este erro foi cometido por todos os grupos da turma, como exemplifica a resolução de um grupo da tarefa proposta no estudo do tópico derivada de uma função:
Na tarefa pedia-se aos alunos para escrever a equação reduzida da reta tangente no ponto de ordenada 3. Em vez disso, os alunos calcularam a equação reduzida da reta tangente no ponto de abcissa 3, o que parece dever-se a uma má interpretação do texto da tarefa.
Alguns erros de interpretação geraram discussão no grupo turma, como é exemplo o que surgiu na resolução apresentada à seguinte tarefa por um elemento do grupo 4.
Figura 10. Tarefa resolvida no quadro por um aluno do grupo 4.
Essa discussão incidiu sobre aspetos da representação gráfica de uma função cúbica, que representava as receitas de um dado estabelecimento no final do primeiro semestre do ano de 2013, desenhada no quadro por esse aluno.
Figura 11. Gráfico apresentado por um aluno do grupo 4. Professora: Toda a gente concorda com o gráfico do vosso colega? Outro aluno: Não, o tempo não pode ser negativo.
Professora: Muito bem. Percebeste?
Após a perceção do erro, o próprio aluno restringiu o domínio de validade da função em contexto com o enunciado da tarefa. Para o aluno, este erro deveu-se por não terem associado o contexto do problema com a representação gráfica da função dada.
Em relação a erros de simplificação de expressões, são vários os erros que os alunos cometeram. Na análise das produções dos alunos, constata-se que esses erros ocorreram com mais frequência no trabalho com expressões fracionárias, como ilustra a resolução de dois grupos à mesma pergunta colocada no estudo do tópico derivada de uma função:
Figura 12. Resoluções apresentadas, respetivamente, pelos grupos 2 e 3.
Os alunos do grupo 2, para além de aplicarem incorretamente a definição de derivada de uma função, trocando no acréscimo da função a diferença pela adição, colocaram em evidência os fatores comuns de dois de três termos do numerador, hx, e efetuaram a lei do
‘corte’ com as mesmas expressões presentes no denominador como se tivessem a expressão do numerador fatorizada. Constata-se, assim, que estes alunos não têm presente a noção de simplificação de frações.
Os alunos do grupo 3 colocam somente o h em evidência no denominador quando os
termos têm mais fatores comuns, o que se traduziu, provavelmente por distração, na conversão dos expoentes de cada uma das letras representadas. Os alunos não revelam capacidade crítica nessa simplificação, visto que partiram de uma expressão que não tinha termos semelhantes e reduziram-na a um termo como se isso se verificasse.
Relativamente aos erros de escrita matemática, atendendo ao nível pouco desenvolvido de pensamento algébrico dos alunos deste nível de escolaridade, são o tipo de erros que os alunos da turma mais cometeram. Para além da dificuldade em trabalhar com expressões algébricas, este tipo de erros deve-se por os alunos não terem cuidado com a forma como
escrevem as noções matemáticas, como exemplifica a forma como os alunos do grupo 2 registam uma fração composta por frações:
Figura 13. Resolução apresentada pelo grupo 2.
Os alunos não colocam o traço de fração principal ao nível da igualdade, o que denota falta de rigor na forma como organizam as suas ideias sobre noções matemáticas.
Um outro exemplo sobre a escrita matemática verifica-se na forma como os alunos do grupo 1 inserem a nomenclatura t v. . nos processos de resolução da derivada de uma função num dado valor do seu domínio:
Figura 14. Resolução apresentada pelo grupo 1.
Como o estudo da derivada de uma função num dado valor é efetuado a partir da taxa de variação instantânea, os alunos revelam confusão entre as notações destas duas noções, o que provavelmente se deve à nomenclatura a que estão habituados em usar no estudo da t m v. .
de uma função num dado intervalo do seu domínio. Os alunos só consideraram uma vez o limite, o que não tem consequências nos cálculos seguintes porque não precisaram de dar valores à razão incremental.
Este tipo de erro foi cometido pelos alunos da turma em várias situações, como ilustra a resolução dos alunos do grupo 4 na determinação da derivada de uma função racional num
valor do seu domínio. Os alunos só utilizaram o limite no primeiro passo da sua resolução, começar por definir a função derivada mas logo de seguida consideram o valor zero e utilizam abusivamente o símbolo de equivalente entre expressões:
Figura 15. Resolução apresentada pelo grupo 4.
Um erro desta natureza também ocorreu no momento em que um grupo apresentou no quadro a sua resolução à seguinte tarefa e que foi corrigido em conjunto com a turma:
Figura 16. Tarefa resolvida no quadro, respetivamente, por alunos do grupo 3 e 5. Os erros cometidos aconteceram na determinação da taxa de variação de uma função num ponto qualquer do seu domínio. O aluno do grupo 3 escreveu no quadro a seguinte resolução:
Figura 17. Resolução apresentada por um aluno do grupo 3. Professora: Deu assim a todos?
Aluno: A mim não.
Professora: Vem ao quadro mostrar o que fizeste. (Este aluno escreveu no quadro a seguinte resolução)
Figura 18. Resolução apresentada por um aluno do grupo 5. Professora: Que erros identificas na tua resolução?
(Após alguns momentos de silêncio) Aluno: Não sei professora.
Professora: (Dirigindo-se para a turma) Que erros identificam na resolução do vosso colega?
Aluno: Falta o limite.
Aluno: Há sinais que não estão corretos.
(Com estas duas respostas os alunos conseguiram visualizar quais foram os erros cometidos).
Enquanto o aluno que apresentou a primeira resolução não cometeu erros, o mesmo já não aconteceu com a segunda resolução. Este aluno após terminar a sua resolução fez uma análise do que fez para poder identificar os seus erros, o que não conseguiu. Foram os seus colegas da turma que o ajudaram a perceber o que tinha feito de errado.
Ainda entre os erros de escrita que envolvem limites, há quem coloque o sinal de igual entre o limite e a razão incremental, como se verificou na resolução dos alunos do grupo 2:
Figura 19. Resolução apresentada pelo grupo 2.
Na sua resolução, os alunos continuaram a considerar o limite depois da sua aplicação. A discussão no grupo deste procedimento levou-os a riscar esta referência.
Erros concetuais
Na análise de informação proveniente das produções dos alunos, os erros concetuais mais frequentes aconteceram na definição de derivada num ponto, na definição das regras de derivação e na noção de limite. Relativamente aos erros relacionados com a definição de derivada num ponto, alguns alunos tendiam a transformar a subtração em adição na expressão que caracteriza o numerador da razão incremental, como acontece na resolução do grupo 5 na determinação da expressão que representa a derivada de uma função.
Este tipo de erro, que aconteceu sobretudo nas primeiras aulas, indicia que os alunos manifestam dificuldade em compreender a formalização da definição da derivada de uma função num dado valor do seu domínio.
Na concetualização das regras de derivação, alguns alunos revelaram dificuldades em traduzir a regra, como se constata na resolução do grupo 2:
Figura 21. Resolução apresentada pelo grupo 2.
Em expressões definidas com mais do que um termo, os alunos deste grupo tendem a considerar apenas a derivada de um dos termos. A noção de imagem de função não está bem clarificada, visto que os alunos não consideram a expressão como um todo mas como sendo constituída por termos isolados, que não se percebe qual o grau do termo que predomina. Provavelmente o obstáculo sentido pelos alunos foram os termos definidos pro frações. No caso da última função, como a sua expressão apresenta uma só fração os alunos indiciam que a transformaram numa constante.
Após o estudo das regras de derivação, os alunos tendem a considerá-las mesmo em situações em que se pedia a aplicação da definição de derivada de funções racionais, como ilustra a resolução do grupo 3:
Figura 22. Resolução apresentada pelo grupo 3.
Para além do grupo não resolver o que era pedido, calcular a derivada de uma função num valor do seu domínio a partir da definição, aplicaram de forma errada a regra de derivação do quociente, considerando somente o quadrado do denominador.
Relativamente a erros da noção de limite, alguns alunos operam com esta noção mesmo em situações em que aplicaram as regras de derivação, como se observa na resolução do grupo 5:
Figura 23. Resolução apresentada pelo grupo 5.
Os alunos revelam que não distinguem a definição de derivada de uma função num dado valor do seu domínio da aplicação das regras de derivação.
A análise de erros nas produções dos alunos permite verificar que o erro foi um elemento presente em todas as aulas. Os diálogos, por sua vez, mostram a forma como alguns
desses erros foram tratados na sala de aula. Esses erros foram de natureza diferente mas todos eles com implicações gravosas em momentos de avaliação.