Nesta secção apresentam-se as respostas às questões de investigação tendo como referência os dados obtidos e as referências teóricas consultadas.
4.1.1. Que erros cometem os alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função? Quais as causas desses erros?
Os erros que os alunos cometem na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função dividem-se em erros processuais e erros concetuais. Os erros processuais, tal como refere Santos e Domingos (2014), estão associados aos procedimentos existentes nas resoluções das tarefas propostas. Deste tipo de erros identificam-se: (i) erros de substituição; (ii) erros de interpretação; (iii) erros de simplificação de expressões; e (iv) erros de escrita matemática. Nos erros de substituição, alguns alunos mostraram não ter bem presente o conceito de função (objeto e imagem), cometendo erros ao substituir o objeto numa determinada função. Nos erros de interpretação, os alunos mostraram que, por vezes, ao lerem o enunciado de uma tarefa, retiram de forma errada os dados fornecidos, como, por exemplo, distinguir ordenada e abcissa. Relativamente aos erros de simplificação de expressões, os alunos mostraram não conhecer corretamente algumas ‘técnicas’ existentes, como foi o caso da simplificação de expressões fracionárias. Um grupo de alunos efetuou o ‘corte’ de termos do numerador e do denominador sem que fossem fatores das expressões presentes nestes elementos da fração. Hall (citado por Vale, 2010) identifica este erro como de exaustão. Os alunos, por vezes, quando não dominam as regras operatórias no ato da simplificação acabam por aplicar ‘técnicas’ erradas. Dos erros de escrita matemática, o tipo de erros mais cometido pelos alunos foi não colocarem o sinal de igual alinhado com o traço de fração, principalmente quando se tratava de uma fração de frações. Outro erro de escrita matemática que os alunos
cometeram foi na determinação de limites, colocando apenas limite no início da resolução da tarefa. Da análise deste tipo de erros, conclui-se que os alunos revelam dificuldades em escrever corretamente em linguagem matemática. Estes erros de escrita são considerados por Hall (citado por Vale, 2010) como erros de ausência de uma estrutura, isto é ocorrem quando se dá uma confusão estrutural.
Os erros concetuais, tal como refere Arends (1995), estão associados aos erros cometidos na estruturação das definições de conceitos matemáticos, mostrando que estes não estão bem compreendidos. Entre este tipo de erros identificam-se: (i) erros na derivada num ponto; (ii) erros na definição das regras de derivação; e (iii) erros na noção de limite. Estes erros ocorrem com maior frequência quando os conceitos são introduzidos. Para evitar que os alunos cometam erros processuais, segundo Vinner (1991), os conceitos devem ser introduzidos com exemplos e contraexemplos. O professor não deve introduzir um novo conceito como se tratasse de mera magia mas sim fazer com que sejam os alunos a chegar à definição do conceito a introduzir, recorrendo aos seus conhecimentos prévios (Ruano et al., 2003). Esta forma de ensinar faz com que os alunos possam compreender melhor um novo conceito matemático.
As causas que levam os alunos a errar indiciam deverem-se a fatores de distração na realização de atividades, à falta de compreensão, de estudo e de conhecimentos prévios e, ainda, dificuldades de raciocínio. Estas causas foram apontadas pelos alunos após a intervenção pedagógica. Para Socas (1997), os erros são vistos como a presença de um processo cognitivo inadequado e não apenas como consequência de uma distração ou de uma falta de conhecimentos. Este autor afasta a ideia de que os erros em Matemática se devem exclusivamente aos alunos, referindo que os erros em Matemática podem acontecer devido, por exemplo, às relações afetivas e emocionais do aluno com a Matemática ou à complexidade dos objetos matemáticos.
Independentemente das causas que levam os alunos a errar, é necessário, quando detetado um erro, que o aluno tenha um momento de reflexão para ser ele próprio a descodificar a origem do erro.
4.1.2. Que ilações retiram os alunos dos erros que cometem para a sua aprendizagem de tópicos de derivada de uma função?
Com a análise das respostas dos alunos às questões que lhes foram entregues no final de algumas aulas, os alunos mostraram ter consciência, não só dos erros que cometem e as
suas causas mas também o que fazer para evitar cometer de novo os mesmos erros. Para evitar alguns erros cometidos, os alunos têm a consciencialização de que devem: (i) estar mais atento nas aulas; (ii) aplicar o que aprendem a novas situações; (iii) pensar mais calmamente e não serem tão precipitados; (iv) estudar mais; e (v) questionar a professora e colegas sempre que erram. Este tipo de questões são importantes para os alunos porque lhes permite repensar sobre o que pensaram e o que fizeram nas suas atividades e ter consciência do que correu menos bem, adotando estratégias alternativas para melhorar.
Relativamente às ilações que os alunos retiram dos erros que cometem, as respostas foram variadas, mas todas elas mostram que os alunos sabem da importância do erro no processo ensino - aprendizagem. Uns retiram ilações sobre onde erram e o que podem fazer para não voltar a cometer os mesmos erros. Outros referem que se conhecerem as razões que os levam a errar, conseguem estudar o que ficou mal compreendido e, assim, conseguem aprender de novo.
4.1.3. Qual a perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o erro na sua aprendizagem?
As perceções dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o ensino na sua aprendizagem foram analisadas em dois momentos, através de questionários, um antes e outro depois da intervenção pedagógica. Antes da intervenção pedagógica, os alunos reconhecem que erram em Matemática e que o erro mais cometido por eles é o erro de cálculo. Os alunos revelam que nem todos os professores explicam e esclarecem os erros cometidos. Por outro lado, a maior parte deles considera que quando cometem erros têm a oportunidade de clarificar as dificuldades que sentem na aprendizagem dos conceitos em estudo. A atenção dada à análise dos erros permite aos alunos não voltar a cometer o mesmo erro e que melhora a sua aprendizagem.
Depois da intervenção pedagógica, a maior parte dos alunos reconhece que as causas dos erros que cometeram deveram-se a estar distraído na realização das suas atividades e à falta de estudo. A análise e discussão dos erros na sala de aula foram consideradas pelos alunos como um fator importante na sua aprendizagem, favorecendo a compreensão dos conceitos matemáticos e ajudando a ter atenção para não voltar a cometer os mesmos erros em momentos de avaliação. Esta análise e discussão de erros só foram realizadas com sucesso
porque a maior parte dos alunos não teve receio/vergonha de revelar aos colegas e/ou à professora os seus próprios erros pois que nunca se sentiram penalizados por os apresentar.
Os alunos consideram que as estratégias de ensino que valorizam o erro na sua aprendizagem têm diversos aspetos positivos, tais como: (i) permitir compreender o porquê de errar; (ii) melhorar a capacidade do trabalho autónomo; e (iii) tornar as aulas menos cansativas. Para além destas vantagens, os alunos também identificam diversos aspetos negativos, tais como: (i) vergonha de expor os erros; (ii) gera desmotivação; (iii) existe maior distração; e (iv) o erro pode tornar-se constante. Segundo Pinto (2000), para que essas estratégias tenham ‘sucesso’ o professor deve adotar uma atitude reflexiva perante o erro do aluno. O professor detetando o erro deve tentar sempre que o aluno tenha a oportunidade para ser ele próprio a identificá-lo, a corrigi-lo e a chegar à resposta certa. Para Jorro (2000), só assim se favorece uma aprendizagem que perdura ao longo do tempo.