A abordagem praxeológica de Chevallard propõe um modelo de análise característico das práticas que se desenvolvem em instituições e é descrita em termos de quatro noções: Tipo de tarefa, Técnica, Tecnologia e Teoria.
Em uma organização praxeológica um Tipo de tarefa, denotado pela letra
T, é identificado se contém pelo menos uma tarefa t. Tipos de tarefas suscitam
ações com objetivos bem definidos e são sempre expressos por um verbo. Por exemplo, calcular o valor de uma função em um ponto, é um tipo de tarefa, mas calcular não o é. Nesse sentido, faz-se necessário distinguir tarefa, tipo de tarefa e gênero de tarefa. Segundo Chevallard (1999), um gênero de tarefa existe sob a forma de diferentes tipos de tarefas, cujo o conteúdo está bem claro e definido. Já uma tarefa é a especificação de um tipo de tarefa. Por exemplo, construir é um gênero de tarefa, construir um cubo, é um tipo de tarefa, e construir um cubo de
aresta 4 cm é uma tarefa. Assim, se uma tarefa t, como construir um quadrado, forma parte de um tipo de tarefa T, como construir um cubo, então podemos dizer que t pertence a T. Tarefas, tipos de tarefas e gêneros de tarefas, para o autor, não são dados da natureza, mas sim artefatos, obras, construtos institucionais, cuja reconstrução em tal instituição é um problema inteiramente objeto da didática.
A Técnica denotada por , por sua vez, é uma determinada maneira de fazer ou realizar um tipo de tarefa. Assim, uma praxeologia relativa a T, necessita de maneiras de realizar as tarefas t ∈T, isto é uma técnica, do grego tekhnê, que
significa saber-fazer. Dessa forma, para um determinado tipo de tarefa T, existe pelo menos uma técnica ou um conjunto de técnicas reconhecidas institucionalmente. O autor nomeou de bloco prático-técnico o bloco formado por [T/] e o identificou por um saber-fazer.
Chevallard (1999) ressalta que ao se propor um tipo de tarefa em uma instituição I, em geral, existe uma ou um conjunto de técnicas que resolvem T, contudo algumas técnicas existentes em outras instituições acabam sendo excluídas pelos sujeitos de I. Para o autor, é como se os sujeitos de I fossem tomados por uma verdadeira paixão institucional pelas técnicas que habitam I. Jesus (2012), nos lembra que, tal prática pode ser observada nas aulas de matemática, quando há predominância de uma técnica em detrimento de outras, às vezes, mais adequadas.
A Tecnologia24, denotada por θ, é um discurso racional (o logôs) que tem por finalidade justificar a técnica , e garantir que esta permita realizar as tarefas do tipo T. Assim, a tecnologia permite assegurar que a técnica é correta, expor o porquê é daquela maneira, além de possibilitar a produção de novas maneiras de fazer, isto é, novas técnicas. O autor sinaliza que, em numerosos casos, alguns elementos tecnológicos podem estar integrados com a técnica, principalmente nos assuntos mais elementares.
24 Neste trabalho, para diferenciar o termo tecnologia no sentido de Chevallard (1999) do termo
A quarta e última noção do modelo praxeológico é a Teoria, denotada por
Θ. De acordo com Chevallard (1999), como o discurso tecnológico contém
afirmações, mais ou menos explícitas, se faz necessário um nível superior de justificativa e explicação. Nesse sentido, a teoria assume, em relação à tecnologia, a função que esta última tem a respeito da técnica. A teoria, portanto, tem o objetivo de justificar e de esclarecer a tecnologia, tornar inteligível o discurso tecnológico. Todavia, o autor adverte que, a capacidade de justificar e explicar da teoria pode se tornar obscura pela forma abstrata como os enunciados teóricos são apresentados frequentemente. Diante do exposto, podemos perceber que a tecnologia e a teoria estão tão próximas, que não seria difícil confundi-las. O autor designou de bloco tecnológico-teórico o bloco formado por [θ/Θ].
Assim, a organização praxeológica mais simples proposta pela TAD, chamada de pontual e indicada por [T// θ/ Θ], é compreendida como a realização de tarefas (pertencente a certo tipo de tarefa), por meio de pelo menos uma técnica, que é justificada por uma tecnologia, que por sua vez, é fundamentada por uma teoria. Tal organização praxeológica é constituída por dois blocos: bloco prático-técnico [T/] e o bloco tecnológico-teórico [θ/Θ], que caracterizam, respectivamente, o saber-fazer e o saber. Para Chevallard (1999, p. 6, tradução nossa), embora
por metonímia se designe corretamente como saber a praxeologia
[T/ / θ/ Θ] completa [...], esta maneira de falar estimula uma
redução do saber-fazer, sobre toda a produção e difusão das praxeologias.
Isto quer dizer que, se assim o fosse, muitas tecnologias deixariam de ser utilizadas, ou ainda, desconsideradas aquelas nunca antes utilizadas. Como o predomínio do saber não se dá por obra do acaso, para o autor, raramente o encontramos na praxeologia pontual.
Geralmente, em uma instituição I dada, uma teoria Θ responde várias tecnologias θj, cada uma das quais, por sua vez, justifica e
torna inteligível várias técnicas ij, correspondente a tantos outros
tipos de tarefas Tij. As organizações pontuais, vão assim
combinar-se, em primeiro lugar, em organizações locais, [Ti/i/θ/
Θ], centradas sobre uma tecnologia θ determinada, e depois em
organizações regionais, [Tij/ij/θj/Θ], formadas ao redor de uma
complexo praxeológico obtido, [Tijk/ijk/θjk/Θk], em uma instituição
dada, pela agregação de várias organizações regionais correspondentes a varias teorias Θk. (IBID., p. 6).
Assim, as praxeologias pontuais [T// θ/ Θ], centradas em uma tecnologia, combinam-se para formar praxeologias locais [Ti/i/θ/Θ], que centradas em uma teoria, combinam-se para formar praxeologias regionais [Tij/ij/ θj/Θ], que também combinadas e centradas em várias teorias, formam praxeologias globais [Tijk/ijk/
θjk/Θk]. Em todos os casos, para Chevallard (1999), o bloco do saber se torna
mais evidente do que o bloco do saber-fazer. Isso ocorre, porque embora, na maioria dos casos, o tipo de tarefa preceda o bloco [θ/Θ], é o saber que permite gerar técnicas para um dado tipo de tarefa.
Além disso, segundo o autor, é necessário compreender que não existe instituição em que as atividades humanas sejam regidas por praxeologias bem adaptadas que permitam realizar todas as tarefas de uma maneira eficaz, segura e inteligível. Isso acontece porque as praxeologias envelhecem, seus componentes teóricos e tecnológicos se tornam frágeis e com o tempo novas tecnologias aparecem, o que acabam por produzir e justificar novas técnicas, substituindo as já estabelecidas. Nesse ínterim, o autor ainda ressalta o aparecimento de tarefas problemáticas que não sabemos ainda realizar, o que faz surgir novos tipos de tarefas, e que novas praxeologias venham a se construir ao seu redor.
Constantemente, em uma instituição I dada, aparecem novas praxeologias [...]. Essas praxeologias deverão, em consequência, ser produzidas, ou mais frequentemente reproduzidas, na medida em que já existam em qualquer outra instituição I' - a partir da qual se poderá propor importações a I. As condições impostas pela ecologia de I fazem com que a praxeologia desenhada não possa ser reproduzida ali de maneira idêntica, mas que sofrerá, nesta "transferência", determinadas modificações adaptativas: se falará, pois, não de transferência, mas de transposição de I' a I. (IBID., p.8).
Para o autor, quanto aos processos de transposição institucional, é importante ter claro que tais processos não produzem versões inferiores, isto é, de menor qualidade no que tange ao bloco tecnológico-teórico das organizações praxeológicas transportadas. Ao contrário disso, a transposição de I' a I visa
melhorar a praxeologia, na medida em que é criada uma praxeologia adaptada a certas condições institucionais inéditas, principalmente, quando I' não é a instituição mais adequada para o estudo de determinado objeto matemático.
Em nossa pesquisa, a transposição de instituições nos possibilita um estudo dos sólidos arquimedianos diferenciado e mais aprofundado do estudo que anteriormente era realizado, dada a dificuldade de representá-los em ambiente lápis e papel. Como podemos observar em Almeida (2010), o estudo dos arquimedianos na disciplina Desenho Geométrico, que neste caso pode ser representada pela instituição I', feito via planificações de superfícies, pode ser bem mais limitado do que o estudo realizado no ambiente de geometria dinâmica Cabri 3D, realizado via construções geométricas.
Dessa maneira, a problemática praxeológica, não se centra apenas em responder questões do tipo "como realizar as tarefas do tipo T?", mas também "como melhor realizar as tarefas desse tipo?". Assim, dado um tipo de tarefa T, podemos estudar ou mesmo reestudar a questão, indicando técnicas apropriadas que permitam realizar as tarefas mais completamente. É nesse sentido que a TAD assume potencial para analisar as práticas docentes, construídas a partir dos componentes técnicos, tecnológicos e teóricos da praxeologia considerada.
Para o estudo de um tema matemático, Chevallard (1999) afirma que duas classes para os tipos de objetos devem ser consideradas: a realidade matemática que pode construir-se em uma classe de matemática em que se estuda o tema matemático, denominada de organização matemática (OM) e a maneira em que esta realidade matemática pode ser construída, denominada por organização didática (OD).
O autor compreende uma OM como uma organização praxeológica constituída a partir de um ou vários tipos de tarefas matemáticas, que demandam a criação de técnicas mais ou menos adaptadas e justificadas por tecnologias. Já uma OD, é compreendida pelo autor como o conjunto de técnicas, tecnologias e teorias que o professor mobiliza para o estudo de determinado tipo de tarefa em uma instituição.
Nesse sentido, acreditamos que a construção de uma Organização Matemática para sólidos arquimedianos nos permitirá identificar quais
conhecimentos estão envolvidos quando objetiva-se seu ensino. Desse modo, identificar as tarefas que podem ser desenvolvidas, bem como as técnicas, tecnologias e teorias da Organização Matemática considerada não só se faz necessário como nos aproxima do conhecimento especializado do conteúdo matemático proposto por Ball, Thames e Phelps (2008).
Para melhor caracterizar nosso objeto de estudo no âmbito da TAD, que está relacionado com o ensino de sólidos arquimedianos, evidenciaremos aqui as três dimensões fundamentais que norteiam nosso problema de pesquisa, como mostramos no que segue.