Nessa parte do trabalho, apresentamos uma Organização Didática para os sólidos arquimedianos, que contemplará todos os tipos de tarefa apresentados na Organização Matemática construída, bem como as possíveis técnicas associadas que podem ser mobilizadas a partir da nossa escolha tecnológica, Cabri 3D. Estas são acompanhadas pelo discurso tecnológico que as justificam, com base na teoria dos sólidos arquimedianos obtidos por truncaturas diretas em sólidos platônicos.
Truncamento tipo 1
1º Tipo de tarefa: Construir um cuboctaedro por truncaturas.
t 1.1: Construir um sólido a partir do cubo, sabendo que apresenta faces
regulares de dois tipos, seis quadradas e oito triangulares.
É considerado que o aluno já possua conhecimentos do cubo e de processos de construção que o determinam, e que perceba que para essas faces tenha que determinar o ponto médio das arestas como pontos de corte.
A tarefa 1.1 pode ser solucionada a partir de três sub tarefas apresentadas a seguir.
t 1.1.1 Gerar um cubo.
A técnica que permite resolver esta sub tarefa é abrir o programa Cabri 3D, esconder o referencial cartesiano, entrar no menu que permite gerar poliedros regulares e obter um cubo qualquer, conforme mostra a Figura 39.
Figura 39. Obtenção do cubo no Cabri 3D
Fonte: Produção própria.
A tecnologia que justifica esta técnica está implícita no próprio Cabri 3D, na medida em que para a realização dessa sub tarefa o sujeito não necessita mobilizar os conhecimentos de Perspectivas necessários para explicar sua construção, mas conhecimento de utilização da ferramenta "cubo" do software.
t 1.1.2 Determinar os pontos médios das arestas do cubo.
Esta sub tarefa é resolvida a partir da manipulação de uma das quatro técnicas, utilização da ferramenta "ponto médio", construção da mediatriz de um segmento, utilização da ferramenta "transferência de medida" do software, ou ainda, a partir de diagonais traçadas, detalhadas a seguir.
.1 Ferramenta "ponto médio"
A escolha por esta técnica implica acionar a ferramenta "ponto médio" do Cabri 3D e indicar uma aresta qualquer do sólido platônico para que seu ponto médio seja determinado, como mostra a Figura 40. Feito isso, o processo deve ser repetido para as demais arestas.
A tecnologia que a justifica também está implícita no próprio Cabri 3D, visto que para a realização dessa sub tarefa o sujeito não necessita mobilizar conhecimentos de construção para a determinação dos pontos médios, mas conhecimento de utilização da ferramenta "ponto médio".
Figura 40. Pontos médios das arestas do cubo a partir da ferramenta "ponto médio"
.2 Mediatriz de um segmento
Essa técnica permite que os pontos médios sejam determinados a partir da intersecção da aresta do sólido com a mediatriz do segmento que a representa.
Para tanto, a mediatriz deve ser construída. Iniciamos o processo de construção, no plano base, com a criação de uma circunferência de raio igual ao comprimento da aresta e centro uma das extremidades desta mesma aresta. Em seguida, outra circunferência também deve ser criada de mesmo raio que a primeira e centro na outra extremidade desta aresta. Os pontos de intersecção entre as circunferências criadas são encontrados para traçar a reta que passa por eles. A intersecção desta reta com duas arestas do platônico, contidas no mesmo plano que a primeira, determinam dois dos pontos médios solicitados, como mostrado na Figura 41. Esse procedimento deve ser repetido para a determinação dos demais pontos médios.
Figura 41. Pontos médios das arestas do cubo a partir da mediatriz
Fonte: Produção própria.
A tecnologia que justifica esta técnica está baseada, além dos conhecimentos de utilização das ferramentas do software ("circunferência", "ponto de intersecção" e "reta"), no conhecimento de mediatriz, dado um segmento de reta, chamamos de mediatriz desse segmento ao conjunto de pontos do plano que são equidistantes de suas extremidades. Além disso, está baseada na compreensão de que o ponto médio do segmento é obtido a partir de sua interseção com sua mediatriz.
.3 Transferência de medida I.
Esta técnica permite que os pontos médios das arestas do sólido platônico sejam encontrados transferindo medidas.
Para tanto, é necessário medir o comprimento da aresta do cubo e com o auxílio da calculadora obter a metade desta medida, inserindo o resultado obtido na tela do computador. Em seguida, traçar uma semirreta de origem em um vértice do platônico que passa por outro vértice, e transferir o resultado obtido com a calculadora para esta (Figura 42). O procedimento deve ser repetido para as demais arestas.
Figura 42. Pontos médios das arestas do cubo a partir da calculadora
Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica esta técnica também está implícito no próprio Cabri 3D, visto que para a realização dessa sub tarefa o sujeito não precisa mobilizar conhecimentos de construção, mas conhecimentos de utilização das ferramentas "transferência de medida" e "calculadora".
.4 Traçando a mediatriz (quadrado)
Essa técnica permite que os pontos médios sejam determinados a partir das mediatrizes dos lados do quadrado.
Para isso, é necessário com a ferramenta “segmento” traçar as diagonais de uma face qualquer. Em seguida, determinar o ponto de interseção entre as diagonais e traçar uma perpendicular a uma das arestas que passa pelo ponto. Outra perpendicular em relação a primeira passando pelo mesmo ponto é traçada
para determinar os outros pontos médios que contemplam a face, como mostra a Figura 43. O procedimento deve ser repetido para as demais faces do cubo.
Figura 43. Pontos médios do cubo a partir da mediatriz (quadrado)
Fonte: Produção própria.
A tecnologia que justifica esta técnica está baseada, além dos conhecimentos de utilização das ferramentas do software ("segmento", "ponto de intersecção" e "perpendicular"), no conhecimento de que as mediatrizes dos lados do quadrado correspondem às perpendiculares aos lados que passam pela interseção das diagonais.
O resultado obtido com a manipulação das quatro técnicas discutidas é mostrado na Figura 44.
Figura 44. Obtenção dos pontos médios das arestas do cubo
Fonte: Produção própria.
t 1.1.3 Recortar o poliedro determinado pelo plano a partir de três pontos
em torno do vértice do cubo.
A técnica, .5, associada a esta tarefa é a construção do plano a partir da indicação de pontos médios de três arestas do sólido, em torno de um vértice. Em seguida, o poliedro determinado deve ser recortado com a sua indicação e do plano que o determinou, como é mostrado na Figura 45. Para que esse
procedimento seja repetido para os demais vértices, é necessário esconder o plano com o recurso “esconder/mostrar” do software.
Figura 45. Tetraedro retirado (cubo)
Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica tal técnica, além dos conhecimentos das ferramentas do software "plano" e "recorte de poliedro", está baseado no procedimento matemático truncamento tipo 1 criado e utilizado pelos artistas renascentistas para a obtenção de arquimedianos obtidos por truncaturas nos pontos médios das arestas de platônicos.
t 1.2: Construir um sólido a partir do octaedro regular, sabendo que
apresenta faces regulares de dois tipos, seis quadradas e oito triangulares.
É considerado que o aluno já possua conhecimentos do octaedro regular e de processos de construção que o determinam, e que perceba que para essas faces tenha que determinar os pontos médios das arestas como pontos de corte.
A tarefa 1.2 pode ser solucionada a partir de três sub tarefas apresentadas no que segue.
t 1.2.1 Gerar um octaedro regular.
A técnica que permite resolver esta sub tarefa é abrir o programa Cabri 3D, esconder o referencial cartesiano, entrar no menu que permite gerar poliedros regulares e obter um octaedro regular qualquer, conforme mostra a Figura 46.
O discurso tecnológico que justifica esta técnica está implícito no próprio Cabri 3D, na medida em que para a realização dessa sub tarefa o sujeito não necessita mobilizar os conhecimentos de Perspectivas para explicar sua
construção, mas conhecimento de utilização da ferramenta "octaedro regular" do software.
Figura 46. Obtenção do octaedro regular no Cabri 3D
Fonte: Produção própria.
t 1.2.2 Determinar os pontos médios das arestas do octaedro regular.
Esta sub tarefa é resolvida a partir da manipulação de uma das três técnicas já apresentadas, .1, .2, .3, ou das técnicas .6, .7, .8
As Figuras 47, 48 e 49, correspondem a ilustração do resultado obtido a partir da mobilização das técnicas .1, .2 e .3, respectivamente.
Figura 47. Pontos médios das arestas do octaedro ferramenta "ponto médio"
Fonte: Produção própria.
Figura 48. Pontos médios das arestas do octaedro a partir da mediatriz
Figura 49. Pontos médios das arestas do octaedro a partir da calculadora
Fonte: Produção própria. .6 Traçando a mediatriz (triângulo)
Essa técnica permite que os pontos médios sejam determinados a partir das mediatrizes dos lados do triângulo.
Para tanto, com a ferramenta “perpendicular” traçar a perpendicular a aresta que passa pelo vértice oposto. O ponto médio é determinado a partir da intersecção entre a aresta e a perpendicular, conforme mostra a Figura 50.
Figura 50. Pontos médios a partir da mediatriz (triângulo)
Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica tal técnica, além dos conhecimentos das ferramentas do software "perpendicular" e "ponto de interseção", está baseado no conhecimento de que a mediatrizes interceptam os lados do triângulo em seus pontos médios.
Essa técnica permite que os pontos médios sejam determinados a partir da construção das bissetrizes dos ângulos do triângulo. Para tanto, é necessário construir uma circunferência de centro um dos vértices da face do octaedro regular e de raio um segmento de extremidades seu centro e um ponto qualquer de uma das arestas que concorrem nesse vértice. Em seguida, os pontos de interseção entre a circunferência e as arestas da face são determinados para que novamente duas novas circunferências de mesmo raio (segmento delimitado pelos pontos de intersecção) e centro um desses pontos sejam traçadas. Assim, traça-se uma semirreta de origem o vértice da face que passa pelos pontos de interseção entre as duas últimas circunferências traçadas. O ponto médio de uma das arestas da face é determinado pela interseção entre a semirreta traçada e a aresta oposta ao vértice considerado, conforme mostra a Figura 51.
Figura 51. Construção da bissetriz (octaedro regular)
Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica esta técnica está baseado, além de conhecimentos de utilização das ferramentas do software (“circunferência”, “ponto de intersecção” e “reta”), no conhecimento de bissetriz - bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. Além disso, está baseado na compreensão de que a
bissetriz de um ângulo de um triângulo equilátero intercepta o lado oposto em seu ponto médio.
Essa técnica permite que os pontos médios sejam determinados a partir das bissetrizes dos ângulos do triângulo equilátero.
Para tanto, com a ferramenta “plano bissetor” traçar um plano bissetor definido por três pontos, sendo o segundo o vértice do triângulo origem da bissetriz, como mostra a Figura 52.
Figura 52. Traçando a bissetriz (octaedro regular)
Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica esta técnica, além dos conhecimentos das ferramentas do software “semirreta” e “ponto de intersecção”, está baseado no conhecimento de que as bissetrizes dos ângulos do triângulo interceptam os lados opostos a esses ângulos em seus pontos médios.
t 1.2.3 Recortar o poliedro determinado pelo plano a partir de três pontos
em torno do vértice do octaedro regular.
Para cumprir essa tarefa, .5 precisa ser mobilizada. O resultado obtido é mostrado na Figura 53.
Figura 53. Pirâmide retirada (octaedro regular) I
O arquimediano cuboctaedro obtido com as truncaturas realizadas tanto no cubo quanto no octaedro regular é mostrado na Figura 54.
Figura 54. Cuboctaedro obtido por truncaturas no cubo ou octaedro regular
Fonte: Produção própria.
2º Tipo de tarefa: Construir um icosidodecaedro por truncatura.
t 2.1: Construir um sólido a partir do icosaedro regular, sabendo que
apresenta faces regulares de dois tipos, doze pentagonais e vinte triangulares. É considerado que o aluno já possua conhecimentos do icosaedro regular e de processos de construção que o determinam, e que perceba que para essas faces tenha que determinar os pontos médios das arestas como pontos de corte.
A tarefa 2.1 pode ser solucionada a partir de três sub tarefas apresentadas a seguir.
t 2.1.1 Gerar um icosaedro regular.
A técnica que permite resolver esta sub tarefa é abrir o programa Cabri 3D, esconder o referencial cartesiano, entrar no menu que permite gerar poliedros regulares e obter um icosaedro regular qualquer, conforme mostra a Figura 55.
Figura 55. Obtenção do icosaedro regular no Cabri 3D
A tecnologia que justifica esta técnica também está implícita no próprio Cabri 3D, na medida em que para a realização dessa sub tarefa o aluno não necessita mobilizar os conhecimentos de Perspectivas que explique sua construção, mas conhecimento de utilização da ferramenta "icosaedro regular" do software.
t 2.1.2 Determinar os pontos médios das arestas do icosaedro regular.
Esta sub tarefa é resolvida a partir da manipulação de uma das seis técnicas já apresentadas, .1, .2, .3, .6, .7 ou .8.
A Figura 56 corresponde a ilustração do resultado obtido a partir da utilização da técnica .1.
Figura 56. Pontos médios das arestas do icosaedro ferramenta "ponto médio"
Fonte: Produção própria.
A Figura 57 corresponde a ilustração do resultado obtido a partir da mobilização da técnica .2.
Figura 57. Pontos médios das arestas do icosaedro a partir da mediatriz
Fonte: Produção própria.
A Figura 58 corresponde a ilustração do resultado obtido a partir da mobilização da técnica .3.
Figura 58. Pontos médios das arestas do cubo a partir da calculadora
Fonte: Produção própria.
A Figura 59 corresponde a ilustração do resultado obtido a partir da mobilização da técnica .6.
Figura 59. Pontos médios das arestas do icosaedro regular da mediatriz (triângulo)
Fonte: Produção própria.
A Figura 60 corresponde a ilustração do resultado obtido a partir da mobilização da técnica .7.
Figura 60. Construindo a bissetriz (icosaedro regular)
A Figura 61 corresponde a ilustração do resultado obtido a partir da mobilização da técnica .8.
Figura 61. Traçando a bissetriz (icosaedro regular)
Fonte: Produção própria.
t 2.1.3 Recortar o poliedro determinado pelo plano a partir de três pontos
em torno do vértice do icosaedro regular.
Para resolver essa tarefa, .5 precisa ser manipulada. O resultado obtido é mostrado na Figura 62.
Figura 62. Pirâmide retirada (icosaedro regular)
Fonte: Produção própria.
t 2.2: Construir um sólido a partir do dodecaedro regular, sabendo que
apresenta faces regulares de dois tipos, doze pentagonais e vinte triangulares. É considerado que o aluno já possua conhecimentos do dodecaedro regular e de processos de construção que o determinam, e que perceba que para essas faces tenha que determinar os pontos médios das arestas como pontos de corte.
A tarefa 2.2 pode ser solucionada a partir de três sub tarefas apresentadas no que segue.
t 2.2.1 Gerar um dodecaedro regular.
A técnica que permite resolver esta sub tarefa é abrir o programa Cabri 3D, omitir o referencial cartesiano, entrar no menu que permite gerar poliedros regulares e obter um dodecaedro regular qualquer, conforme mostra a Figura 63.
Figura 63. Obtenção do dodecaedro regular no Cabri 3D
. Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica tal técnica também está implícito no próprio Cabri 3D, visto que para a realização dessa sub tarefa o aluno não necessita mobilizar conhecimentos de Perspectivas que justifique sua construção, mas conhecimento de utilização da ferramenta "dodecaedro regular" do software.
t 2.2.2 Determinar os pontos médios das arestas do dodecaedro regular.
Esta sub tarefa é resolvida a partir da manipulação de uma das cinco técnicas já apresentadas, .1, .2, .3, .7, .8 ou da técnica .9, detalhada a seguir.
As Figuras 64, 65, 66, 67 e 68 correspondem às ilustrações dos resultados obtidos a partir da mobilização das técnicas .1, .2, .3, .7, .8, respectivamente.
Figura 64. Ponto médio da aresta do dodecaedro ferramenta "ponto médio"
Figura 65. Ponto médio da aresta do dodecaedro a partir da mediatriz
Fonte: Produção própria.
Figura 66. Ponto médio da aresta do dodecaedro a partir da calculadora
Fonte: Produção própria.
Figura 67. Construindo a bissetriz (dodecaedro regular)
Fonte: Produção própria.
Figura 68. Traçando a bissetriz (dodecaedro regular)
.9 Traçando a mediatriz (pentágono)
Essa técnica permite que os pontos médios sejam determinados a partir das mediatrizes dos lados do pentágono.
Para tanto, com a ferramenta “perpendicular” traçar a perpendicular a aresta que passa pelo vértice oposto. O ponto médio é determinado a partir da intersecção entre a aresta e a perpendicular, conforme mostra a Figura 69.
Figura 69. Obtenção de pontos médios a partir da mediatriz (pentágono)
Fonte: Produção própria.
O discurso tecnológico que justifica tal técnica, além dos conhecimentos das ferramentas do software "perpendicular" e "ponto de interseção", está baseado no conhecimento de que as mediatrizes do pentágono regular correspondem às perpendiculares aos lados que passam pelo vértice oposto.
t 2.2.3 Recortar o poliedro determinado pelo plano a partir de três pontos
em torno do vértice do dodecaedro regular.
Para resolver a tarefa, .4 precisa ser mobilizada. O resultado obtido é mostrado na Figura 70.
Figura 70. Pirâmide retirada (dodecaedro regular)
Fonte: Produção própria.
O arquimediano icosidodecaedro obtido com as truncaturas realizadas tanto no icosaedro regular quanto no dodecaedro regular é mostrado na Figura 71.
Figura 71. Icosidodecaedro obtido por truncaturas no icosaedro ou dodecaedro
Fonte: Produção própria.
Truncamento tipo 2
3º Tipo de tarefa: Construir sólidos arquimedianos obtidos por truncaturas em
sólidos platônicos cujas faces são triangulares.
t 3.1: Construir um sólido a partir do tetraedro regular, sabendo que
apresenta faces regulares de dois tipos, seis hexagonais e quatro triangulares. É considerado que o aluno já possua conhecimentos do tetraedro regular e de processos de construção que o determinam, e que perceba que as arestas dessas faces terão de ser divididas em três partes iguais para que os pontos de corte sejam determinados.
A tarefa 3.1 pode ser solucionada a partir de três sub tarefas apresentadas a seguir.
t 3.1.1 Gerar um tetraedro regular.
A técnica que permite resolver esta sub tarefa é abrir o programa Cabri 3D, esconder o referencial cartesiano, entrar no menu que permite gerar poliedros regulares e obter um tetraedro regular qualquer, conforme mostra a Figura 72.
Figura 72. Obtenção do tetraedro regular no Cabri 3D
O discurso tecnológico que justifica esta técnica está implícito no próprio Cabri 3D, na medida em que para a realização dessa sub tarefa o sujeito não necessita mobilizar os conhecimentos de Perspectivas necessários para explicar sua construção, mas conhecimento de utilização da ferramenta "tetraedro regular" do software.
t 3.1.2 Dividir as arestas do tetraedro regular em três partes iguais.
Duas técnicas concorrem para a resolução da tarefa, Teorema de Tales ou utilizando a calculadora do Cabri 3D, ambas detalhadas a seguir.
.10 Teorema de Tales
Essa técnica implica em acionar a ferramenta “semirreta” do Cabri 3D, traçar uma semirreta de origem em um vértice do tetraedro regular e destacar um ponto qualquer, conforme indicado na Figura 73.
Figura 73. Criação de uma semirreta
Fonte: Produção própria.
Com a ferramenta “circunferência”, construímos uma circunferência de centro o ponto destacado que passa pelo vértice, origem da semirreta. Em seguida, encontramos o ponto de intersecção entre a circunferência construída e a semirreta, para que se determine uma segunda circunferência. Esta de centro o ponto de intersecção encontrado passando pelo centro da circunferência já construída. Dessa forma, a partir da intersecção entre a segunda circunferência e a semirreta, outro ponto é determinado. A Figura 74 ilustra o procedimento descrito.
Figura 74. Determinação de pontos na semirreta
Fonte: Produção própria.
Com a ferramenta “segmento”, traçamos o segmento de extremidades o terceiro ponto e outro vértice do tetraedro regular. Em seguida, com a ferramenta “paralela” do Cabri 3D, duas retas paralelas ao segmento criado são traçadas, uma passando pelo segundo ponto e outra passando pelo primeiro. Para finalizar, determinamos os pontos de interseção entre cada uma dessas retas e a aresta do sólido regular. A Figura 75 ilustra o procedimento descrito.
Figura 75. Divisão da aresta em três partes iguais pelo Teorema de Tales
Fonte: Produção própria.
Repetir o procedimento descrito para as demais arestas do sólido.
A tecnologia que justifica esta técnica está baseada, além dos conhecimentos de utilização das ferramentas do software ("circunferência", "ponto de intersecção", “paralela” e "semirreta"), no conhecimento do Teorema de Tales - Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer dois segmentos determinados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.
.11 Transferência de medidas II
Esta técnica permite que as arestas do sólido platônico sejam divididas em três partes iguais com o auxilio da ferramenta “transferência de medidas” do Cabri 3D.
Para que isso aconteça, medimos o comprimento da aresta e com a calculadora obtemos um terço desta medida, inserindo o resultado obtido na tela do computador. A seguir, uma semirreta de origem em um vértice passando por outro é traçada para que seja transferido para ela o resultado obtido com a calculadora. O procedimento deve ser repetido para o outro vértice que passa a semirreta, conforme mostra a Figura 76.
O procedimento descrito deve ser realizado nas demais arestas. Figura 76. Divisão da aresta do tetraedro partes iguais (transferindo medidas)
Fonte: Produção própria.