Quantos litros cabem numa caixa d’água, cujo volume é de vinte e três metros cúbicos mais vinte e cinco decímetros cúbicos?
Como resposta à esta questão, os professores registraram:
“V = 23m3 + 25dm3. Ensinar ao aluno que o volume se calcula em litros, em metros cúbicos elevados ao número 3. Explicar ao aluno como passar de decímetros para metros, desenvolver com o aluno que o volume é em litros, ensinar que litros vale 1000. Tomar os metros, achando a resposta”.
“Trabalhando com a relação de litros / m3 e dm3”.
“1m3 = 1000l 23000 + 0,023 = 23023m3”. 23m3 = 23000l
“Usando-se a fórmula (já demonstrada) determinam-se as dimensões da caixa e sua capacidade”.
“V = 23m3 + 25dm3 1m3 = 1000l
V = 23 000l + 25l 1dm3 = 1l V = 23 025l”.
4. 4 Análise dos resultados dos professores dos grupos G, H e I em atividades que envolvem números racionais em suas representações decimais.
Ao analisarmos os instrumentos respondidos pelos professores pudemos perceber que há muitas dúvidas sobre os números racionais e sobre suas representações fracionária e decimal; algumas delas, como vimos, são muito similares às dúvidas dos alunos.
Assim, por exemplo, a idéia de que, quando se faz uma divisão, o resultado é sempre menor que o dividendo surgiu na pergunta: “quando divido o número 38,45 por 0,1, o resultado fica maior ou menor do que 38,45? Por quê?”
“Menor. Tenho que igualar as casas, cortando as vírgulas e, na realidade, divido o número por 10”.
Quando se perguntou quantos números há entre 1,2 e 1,3, houve uma resposta bastante inesperada de um professor de Matemática.
“9 números, pois tenho: 1,20; 1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25; 1,26; 1,27; 1,28; 1,29; 1,30”.
Do mesmo modo, foi surpreendente a dificuldade em relacionar escritas fracionárias e porcentagens. Isso deve explicar uma das características marcantes da prática desses professores, que é a abordagem de assuntos como números fracionários, números decimais, porcentagem, como se fossem temas totalmente separados. Segundo eles, a porcentagem, quando trabalhada, é apresentada como uma aplicação da regra de três.
Sabemos que o professor desempenha um papel de mediador entre o conhecimento matemático e os alunos e, portanto, precisa ter um sólido conhecimento de conceitos e procedimentos para que possa transformar o saber matemático acumulado em saber escolar possível de ser ensinado/aprendido.
Nas conversas com professores, foi possível perceber que não há maiores reflexões sobre o uso dos racionais no cotidiano e, muito menos, que a representação decimal desses números está relacionada às regras do sistema de numeração decimal. Ao que parece, não existem relações entre temas matemáticos.
Também em conversa com os professores, notamos que, ao trabalharem os assuntos com seus alunos, raramente partem da análise de situações-problema. Todos os professores investigados disseram “apresentar a matéria” e, depois, fazer uso de um livro didático. Ainda dão muita importância a fórmulas, técnicas, propriedades, e acham que é fundamental propor muitos exercícios para fixar o conteúdo ensinado.
Pudemos constatar ainda que, além de não dominarem o conteúdo matemático, desconhecem os obstáculos envolvidos no processo de construção dos conceitos e procedimentos, necessários para a compreensão de aspectos fundamentais da aprendizagem de seus alunos.
Capítulo IV Conclusões
Nosso trabalho permitiu constatar dois fatos: um deles bastante positivo e outro bastante negativo.
O positivo refere-se ao fato de que as crianças, desde muito cedo, constroem conhecimentos, fazem conjecturas sobre diferentes assuntos e, em particular, sobre as escritas numéricas, foco do nosso trabalho. Além disso, transferem conhecimentos de uma situação para outra, embora algumas vezes essa transferência não seja possível de maneira adequada, como é o caso de comparar números racionais na forma decimal como se fossem números naturais (1,234 > 2,5) . Mas essa transferência tem, sem dúvida, um significado positivo que é o estabelecimento de relações entre assuntos estudados.
O negativo fica por conta da nossa incapacidade de, no âmbito escolar, fazer evoluir esses conhecimentos, colocar em xeque essas conjecturas. E isso se deve, muito provavelmente, ao fato de que os professores ainda conhecem muito pouco, sobre o que pensam e como pensam seus alunos a respeito dos temas matemáticos.
É nesse sentido (de contribuir para essa reflexão) que desenvolvemos o presente estudo, para que possa contribuir com as reflexões que precisam ser feitas pelos professores que ensinam Matemática, sejam eles os chamados professores generalistas (que atuam nas séries iniciais), sejam eles professores especialistas em ensino de Matemática, como educadores matemáticos, em especial, os que investigam os processos de ensino e aprendizagem.
Nas entrevistas com os professores que participaram da pesquisa, pudemos perceber que tendências curriculares e metodológicas bastante diversificadas se misturam na composição do discurso pedagógico. Mas, alguns aspectos parecem dominar o rol de convicções dos professores.
Um deles é a idéia de que tudo deve estar ligado a situações do cotidiano. No entanto, embora haja um discurso forte em relação à Matemática do cotidiano, o desempenho dos alunos em atividades que envolviam aspectos
do seu dia-a-dia - como dinheiro e medidas - indica que essa idéia de trabalhar em contextos significativos pode não estar sendo, de fato, desenvolvida em sala de aula. O fato de levarmos rótulos, propagandas, para usar nas atividades, foi uma novidade para as crianças.
Outra fala freqüente refere-se ao uso de materiais "concretos". Mas efetivamente, poucos usam materiais como ábacos, material dourado, materiais de contagem, etc, e esse uso vai diminuindo nas séries mais adiantadas, em que eles parecem ser totalmente dispensáveis. Um problema sério reside no fato de que nem sempre os professores têm uma compreensão dos aspectos matemáticos que sustentam o funcionamento desses materiais, em particular do material dourado e dos ábacos.
Há ainda uma crença muito forte no sentido de que o conhecimento é algo que é "passado" pelo professor a seus alunos, que os vai acumulando. Assim, observamos nos alunos uma forte relação de dependência do professor. Isso se revelou em falta de confiança para resolver problemas. Acentuaram-se, de modo geral, as atitudes de insegurança para tomar decisões, para a abstração de significados e argumentação de idéias e pontos de vista.
Sabemos que a aprendizagem de certas atitudes é fundamental para os alunos e que o professor tem um papel importante no sentido de estimulá-los a refletir, pensar, fazer tentativas, conjecturas, argumentar, convalidar resultados. É preciso, ainda, incentivá-los a compreender a lógica de outras soluções dadas pelos colegas, pois os alunos costumam ser resistentes em admitir soluções diferentes das suas, quando não as compreendem plenamente.
É muito presente ainda a aprendizagem de um repertório básico de cálculo pela simples memorização de fatos de uma dada operação. Ainda não é muito evidente para o professor a realização de um trabalho que envolva a construção, a organização e, como conseqüência, a memorização compreensiva desses fatos. No entanto, ao que parece, os alunos não são estimulados a explicitar as propriedades e regularidades (corretas ou não) que observam, ao construir e organizar seu repertório básico de cálculo, por exemplo.
Notamos, ainda, a ausência do estabelecimento de conexões entre temas matemáticos, mesmo em casos bastante evidentes como o da extensão do chamado Quadro Valor de Lugar. A apresentação dos décimos, centésimos
e milésimos é geralmente feita sem qualquer referência às relações existentes entre unidades das diferentes ordens, já conhecidas pelos alunos. A analogia com as diferentes unidades decimais de medida - seja de comprimento, de capacidade, de massa - também é pouco enfatizada.
A análise do desempenho dos professores nos permite conjecturar que eles próprios não têm essas relações claramente explicitadas e que isso revela um problema muito sério e antigo a ser enfrentado: o domínio que o professor precisa ter dos conteúdos matemáticos e de sua didática.
Pudemos ainda constatar a forte interferência dos livros didáticos na cristalização de alguns conceitos e procedimentos. Assim, podemos citar como exemplo, o problema do número de unidades, dezenas e centenas, tão presente nos livros didáticos, e que dão como resposta correta apenas o algarismo que ocupa essas ordens, sem a preocupação das quantidades de unidades, dezenas e centenas que compõem os números envolvidos.
Outro problema refere-se à determinação de limites rígidos para a construção da seqüência dos números naturais: até 99 para a 1ª série, até 999 para a 2ª série, até 9999 para a 3ª série, em franca oposição àquilo que é vivenciado pelas crianças em seu cotidiano, onde convivem certamente números “grandes” e “pequenos” .
Outro assunto muito presente nos livros didáticos são os exercícios de decomposição de números nas diversas ordens, sem uma preocupação com a composição, o que pelo visto é um aspecto fundamental, tendo em vista que as hipóteses das crianças estão fundadas na escrita decomposta.
Talvez possa também ser computada como influência dos livros didáticos a dificuldade de trabalhar com os termos antecessor e sucessor, que aparecem nos livros de forma simplificada (como o “vizinho” de um número), e também da pouca ênfase dada à não validade de uso destes termos para campos numéricos como o dos racionais.
Destacaríamos, ainda, como influência dos manuais didáticos, o trabalho completamente compartimentado em unidades geralmente identificadas pelos nomes “frações” , “números decimais” e “ porcentagem”, em lugar de uma abordagem articulada que permita aos alunos a construção da idéia de número racionai e de suas diferentes representações (fracionária, decimal, percentual).
Nota-se, também, um grande descuido no sentido de promover analogia entre sistemas de medidas (como os de comprimento, capacidade, massa), e o sistema de numeração decimal, substituindo-o por meras listas de conversão entre unidades de medida, sem a preocupação das relações entre elas e sem uma adequada proposta de contextualização de grandezas e medidas.
Embora nossa intenção não seja a de estabelecer um paralelo entre uma epistemologia histórica e uma epistemologia de constituição individual de conhecimentos, não é possível ignorar alguns aspectos aparentemente comuns a esses dois processos.
Um deles reside no fato de que, de modo análogo ao que ocorreu historicamente, o uso do princípio aditivo aparece de forma espontânea nos registros das crianças, enquanto a incorporação do princípio multiplicativo é bem mais lenta. O uso dos dedos da mão também pôde ser observado como ferramenta essencial para a contagem e o controle de quantidades.
A compreensão do zero com significado ligado à função de indicar o lugar da "unidade faltante" na escrita de um número, ou com a finalidade de indicar a multiplicação de um número natural por 10, quando colocado à sua direita, ou sem função, quando colocado à esquerda de um natural, foi muito presente nas produções das crianças, sem falar nas interpretações que surgiram nas escritas decimais dos racionais. O zero é, sem dúvida, um grande desafio para os alunos, assim como o foi para a humanidade.
Finalmente, gostaríamos de destacar algumas correlações que pudemos estabelecer e que se referem aos dois atores do processo ensino- aprendizagem: professor e aluno.
Primeiramente buscamos uma correlação entre a atitude dos professores perante a Matemática e a do grupo classe. Para tanto, analisamos respostas e falas dos professores e as organizamos em três categorias: “positiva” (quando ele mostra grande entusiasmo pela Matemática e pelo seu ensino), “negativa” (quando ele explicita medo, insegurança, insatisfação), ou “mais ou menos” (quando, por exemplo, ele parece reconhecer sua importância, mas considera difícil ensinar ou envolver os alunos no processo de aprendizagem). Fizemos análise similar para as respostas dos alunos de cada turma ( vide anexo 7).
Em 55% das situações analisadas há coincidência de atitudes. Apenas em dois casos registrou-se a coincidência de atitudes negativas e num deles a coincidência de atitudes “mais ou menos favoráveis”. Nos demais, a coincidência é de atitudes positivas.
Em 34,5%, uma atitude apenas razoável do professor, diante da Matemática e seu ensino parece não comprometer a atitude dos alunos, que se revelou positiva.
72,4% dos alunos apresentam uma atitude favorável perante a Matemática, enquanto 58,6% dos professores, apresentam essa mesma atitude favorável.
Outro aspecto a ser observado é que a coincidência de atitudes ocorre de forma mais freqüente no grupo das séries iniciais - 55% - contra 45% nas séries finais.
Há que se destacar, ainda, que cresce muito a incidência de atitudes “mais ou menos favoráveis” entre alunos nas séries finais - 45% - enquanto nas séries iniciais esse percentual é de 55%. A mesma incidência de atitudes “mais ou menos favoráveis” ocorre entre os professores das séries iniciais – 44% - enquanto nas séries finais, a incidência é de 18%.
Apenas dois professores apresentaram uma atitude “negativa” diante da Matemática, refletindo negativamente, também, em uma das classes.
Outra correlação que buscamos estabelecer foi entre o desempenho dos professores e o de seus alunos.
Para tanto, analisamos o desempenho dos professores e o organizamos em três categorias: “positivo” (quando ele acertou mais de 70% das questões propostas), “negativo” (quando ele acertou menos de 40% das questões propostas), ou “mais ou menos” (quando teve acertos na faixa de 40% a 70 %). Fizemos análise similar para as respostas dos alunos de cada turma (vide Anexo 8).
Em 48% das situações analisadas, houve coincidência de desempenho. No entanto, no caso das séries finais, essa coincidência é bem menos freqüente ocorrendo em 27% dos casos.
Nas séries iniciais, em dois casos, registrou-se um desempenho “negativo” dos alunos e de seus respectivos professores e, em dois casos, um
desempenho “negativo” dos alunos, mesmo tendo o professor um desempenho “mais ou menos”.
Observamos mais desempenho “positivo” - 48% - por parte dos professores do que por parte dos alunos – 34% (incidência maior nas séries iniciais).
Há que se destacar que, nas séries iniciais, 15,7% dos professores tiveram desempenho “mais ou menos” e seus respectivos alunos obtiveram um desempenho “positivo”, o que não ocorreu nas séries finais, pois 54,5% dos professores tiveram um desempenho “positivo” e seus respectivos alunos tiveram “positivo” – 9% ; “mais ou menos” - 27% e “negativo”- 18%.
Observamos maior incidência de “positivo” por parte dos alunos das séries iniciais do que das séries finais, e maior incidência de “mais ou menos” para os alunos das séries finais do que das séries iniciais.
Notamos também maior incidência de “mais ou menos” por parte dos professores das séries iniciais do que por parte dos professores das séries finais.
Procuramos identificar, ainda, se, no caso desta amostra, havia uma correlação positiva entre a atitude dos professores perante a Matemática e o seu desempenho nos testes diagnósticos.
A análise dos depoimentos dos professores sobre suas relações com o conhecimento matemático revelou algumas especificidades, dependendo de serem eles generalistas ou especialistas.
Também organizamos em três categorias: “positivo”, “mais ou menos” e “negativo”, seguindo o mesmo critério das tabelas anteriores, para os professores (vida Anexo 9).
Em 58,6% das situações analisadas, há coincidência de atitude e desempenho por parte dos professores. Apenas em dois casos, registrou-se coincidência “negativa”, e em 16,2%, coincidência “mais ou menos favoráveis”. Nos demais, a coincidência foi de atitudes e desempenhos “positivos”.
Em 13,8% observa-se uma atitude apenas razoável do professor, diante da Matemática e seu ensino com um desempenho “positivo” por parte desses professores. Enquanto encontramos, dentre os professores pesquisados, apenas três com atitudes “positivas” perante a Matemática e seu ensino, e um desempenho “negativo”; e um professor com atitudes “mais ou menos
razoável” perante a Matemática e seu ensino, com desempenho “negativo”. Observamos que tanto os professores das séries iniciais quanto os professores das séries finais, que participaram da pesquisa, apresentaram atitudes e desempenhos “positivos” ou “mais ou menos favoráveis”.
Convém destacar que há mais desempenho “negativo” do que atitude “negativa”, e mais atitude “positiva” do que desempenho “positivo”, por parte do professor.
Outro ponto que procuramos identificar para esta amostra particular foi se havia uma correlação positiva entre a atitude dos alunos perante a Matemática e o seu desempenho nos testes diagnósticos.
De forma semelhante ao que aconteceu com os professores, também organizamos uma tabela, agrupando a correlação em três categorias: “positivo”, “mais ou menos” e “negativo”, seguindo o mesmo critério das tabelas anteriores (vide Anexo 10).
Constatamos que em 48,3% das situações analisadas há coincidência de atitudes e desempenhos por parte dos alunos. Apenas em três casos, registraram-se coincidências de atitudes “mais ou menos favoráveis” e, apenas em um caso, coincidência “negativa” por parte dos alunos. Nos demais, as coincidências de atitude e desempenho foram “positivas”.
Há que se destacar que em 72,4% de atitudes “positivas” dos alunos perante a Matemática e seu ensino, apenas 34,5% deles apresentaram um desempenho “positivo”, sendo que predominantemente nas séries iniciais do ensino fundamental.
Uma incidência de atitudes “negativas” pouco expressiva – 7% - por parte dos alunos, contrasta com uma incidência de 27,6% de desempenho “negativo”.
24% de incidência de atitudes “mais ou menos favoráveis”, por parte dos alunos, predominantemente nas séries finais do ensino fundamental, contrasta com 34,5% de incidência no desempenho de “mais ou menos favoráveis” por parte dos alunos pesquisados.
Constatamos, observando as tabelas, que em uma das classes envolvidas na pesquisa, uma de segunda série, tanto os alunos quanto a professora apresentaram atitudes e desempenhos “negativos”, e observamos
também que cinco das classes pesquisadas apresentaram atitudes e desempenhos “positivos” tanto por parte dos alunos quanto dos professores.
Como recomendações finais podemos sugerir:
- que sejam ampliadas as investigações sobre as hipóteses que as crianças,
jovens e adultos elaboram, para que possam ser consideradas pelos professores como pontos de partida de seu trabalho;
- que os cursos de formação de professores, inicial ou continuada, de generalistas ou especialistas, não descuidem do desenvolvimento de competências do professor, tanto as ligadas ao conhecimento daquilo que será objeto de ensino, como as que se referem ao conhecimento pedagógico necessário.
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