Foram feitas várias tentativas nos estágios do 8.º grupo do Liceu Normal de Pedro Nunes para desenvolver a axiomatização da matemática no âmbito do ensino liceal. O que entender por axiomatização no contexto destes estágios? “É um alargar do número de verdades primitivas. O aluno tem que dispor de mais verdades que ele aceita sem demonstrar, porque as sente, porque as aceitou intuitivamente e relativamente às quais não vê necessidade de demonstração” (Bento, 1964, pp. 135-136). Esta afirmação da estagiária Maria dos Reis Bento assenta no pensamento de Willy Servais (1913-1979), o qual cita:
Levanta-se agora o problema de saber se aos nossos alunos do liceu (13-16 anos) será lícito apresentar uma cadeia lógica que assente num reduzido número de proposições, como seja a de Euclides, a de Hilbert ou, mesmo, a de Puig Adam.
Não há dúvida que é absolutamente impossível construir, nesta idade, uma teoria que assente num tão reduzido número de “regras do jogo”. Diz Servais: “Eu não gosto de ouvir falar numa axiomática se se trata de propor ao aluno, como um texto revelado, um sistema de axiomas feito. Prefiro que se faça um pouco de axiomatização”. (Bento, 1964, p. 135)
Fazer um pouco de axiomatização é entendido como assumir uma axiomática imperfeita, aumentando o número de afirmações que terão de dispensar as respetivas demonstrações, fazendo prevalecer critérios didáticos aos de rigor lógico, com vista à demonstração de ouras afirmações a partir destas. Três anos antes, outra estagiária também referia as tentativas que têm sido feitas “no sentido de construir uma axiomática acessível a estudantes do ensino médio. Cito como exemplos a apresentada por Severi em “Elementos de Geometria” e por Puig Adam na “Geometria Racional”.” (Rodrigues, 1961, p. 14). Mas esta estagiária, coloca o foco do problema no professor:
o problema não é essencialmente um problema de compêndio, mas didáctico. É um problema para ser vivido por cada professor no âmbito da sua aula, para ser resolvido na presença viva da turma. O penetrar mais ou menos fundo nestes domínios (...) só o professor pode decidir [tendo de ter] bem presente todas as exigências requeridas para a questão ser rigorosamente tratada, não para as apresentar na aula tal como as sente, mas
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para poder levar os alunos a subir novo degrau na busca de maior rigor, sempre que a ocasião seja propícia. (Rodrigues, 1961, p. 14)
E perante o aluno defende que é necessário coloca-lo o mais próximo possível “da observação do concreto, de sua experiência passada” (Rodrigues, 1961, p. 9)
De qualquer forma, o caminho encontrado para a introdução das axiomáticas no ensino liceal da ciência matemática é o mesmo, quer por Maria Odette Rodrigues, quer por Maria dos Reis Bento, é o caminho da axiomatização, mesmo que se perda a independência dos axiomas, já que a compatibilidade não se pode perder, uma vez que não pode haver lugar a contradições:
Desde o momento que se reconhece que o número de axiomas de que o aluno se vai servir tem que ser suficientemente grande para não alongar demasiado a cadeia lógico-dedutiva, tem a axiomática que deixar de respeitar algumas condições. Como seria ilógico que deixasse de respeitar a primeira, somos condescendentes relativamente à segunda e admitimos que os axiomas não sejam independentes, aliás condição que não surpreende uma vez que vamos axiomatizar, isto é, aceitar como verdades primitivas certas proposições que numa construção rigorosa de geometria são teoremas demonstrados em base numa axiomática mais restrita. (Bento, 1964, p. 136)
Assinalámos que era preocupação dos matemáticos que se debruçavam sobre a revisão crítica dos fundamentos da geometria, encontrar um conjunto de postulados independentes. Semelhante preocupação não nos assalta. Prescindimos dela por razões de ordem pedagógica. Não hesitamos em postular uma proposição que poderíamos apresentar como teorema sempre que julgamos conveniente aproveitar a simplificação que daí resulta. O que se torna necessário é que façamos acompanhar o seu enunciado de considerações intuitivas que o tornem fàcilmente aceite. (Rodrigues, 1961, p. 11)
Esta estagiária continua escrevendo que o abandonar da preocupação da independência dos axiomas, não quer dizer abandonar o rigor lógico na demonstração, nem abandonar o definir com precisão e clareza.
Estas ideias e palavras são reflexo das discussões internacionais à época e trazidas para o Liceu Normal de Pedro Nunes, nomeadamente pelos autores que colaboraram
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com a revista Palestra, como exposto na seção 4.1.2 deste trabalho. São assuntos que estavam a ser discutidos pelos próprios metodólogos.
As duas últimas citações referem a axiomatização, em particular para a geometria. Na verdade, a questão da axiomatização aparece quase sempre ligada à geometria, como ilustramos de seguida.
O caso da geometria
O egípcio Gattegno assume ideias próximas dos anglo-saxónicos e do interesse pelas aplicações da matemática, no sentido em que não se deve começar por fornecer uma axiomática ao jovem e à criança, mas sim por criar situações que os levem à necessidade da axiomatização. Este autor continua a ser citado pelos estagiários, agora no contexto específico do ensino da geometria:
No ensino da Geometria, Gattegno declara-se contrário a uma edificação lógica completa da teoria e agrupa os assuntos em torno de centros de interesse activos, geradores de um encandeamento de situações donde o aluno abstrai as relações matemática. A necessidade de uma axiomatização vai surgindo, primeiro em cada situação particular e cada vez de modo mais perfeito. (Lima, 1958, p. 74)
Dez anos depois, a estagiária Maria Alzira Rosa apresenta uma solução para pôr esta intenção em prática, que é evitar que os axiomas apareçam como sinónimos de afirmações evidentes e, em vez disso, que apareçam como regras do jogo:
Uma palavra ainda sobre a orientação dada ao estudo da Geometria: (...) Partiu-se de uma axiomática simples e tanto quanto possível intuitiva, procurando-se, no entanto, evitar que o conceito de axioma aparecesse como sinónimo de proposição evidente — ideia perigosa, que pode provocar nos alunos enorme relutância na demonstração de teoremas que lhes pareçam evidentes.
Os axiomas surgem, pois, como proposições iniciais que devemos fixar, como se fossem regras de um jogo. Esta acepção de axiomática vai permitir alargar o conceito de Geometria, preparando para a aceitação de diferentes geometrias (se as regras do jogo mudarem, o jogo resulta diferente, é outro jogo). E uma certa arbitrariedade na escolha dos axiomas pode fazer ainda ressaltar a origem empírica de toda a ciência, não tirando o rigor
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matemático, pois este diz respeito à maneira como de define ou se demonstra e não àquilo que se demonstra. (1968, p. 108, itálico no original) Desta forma e sem colocar em causa o rigor matemático, evita-se tanto quanto possível que o aluno fique relutante à demonstração de afirmações que lhe pareçam evidentes, para além de evidenciar que quando se mudam as regras do jogo (os axiomas) novos jogos se definem, isto é, novas teorias são criadas, diferentes geometrias se configuram. Este posicionamento descrito pelos estagiários parece-nos muito bom, mas não sabemos em rigor qual a prática que daqui resultou na sala de aula. Uma outra estagiária cita Dieudonné numa frase que ficou célebre: “ ‘À bas Euclides’, que não tem o significado que assim isolada poderá atribuir-se-lhe, quer simplesmente lançar ‘um grito contra a rotina que impede novos melhoramentos, que faz estagnar, que cristaliza’.” (Bento, 1964, p. 136). De qualquer forma, esta perspetiva sobre a utilização dos axiomas não resolve todo o problema da axiomatização, já que não é fácil “distinguir o que deve ser aceite intuitivamente e o que deve considerar-se como axioma” (Ruiz, 1964a, p. 148).
Maria Alzira Rosa (1968), referindo-se ao 3.º ano liceal (atual 7.º ano de escolaridade do ensino básico), continua escrevendo que:
O primeiro teorema que se demonstrou — “dois ângulos verticais opostos são iguais” — foi “explorado” com todo o cuidado, procurando-se, logo de início, pôr em evidencia a implicação “se... então...” que está contida no próprio enunciado.
Tentou-se que os alunos entendessem que demonstrar um teorema é provar a verdade da implicação H => T, e, ainda, que uma demonstração pode ser orientada de diferentes maneiras, para o que se aproveitaram, devidamente, as sugestões de alguns alunos. (p. 109)
Nestas linhas, a estagiária mostra também que houve interação por parte dos alunos no processo de demonstração. Sobre a demonstração desta igualdade de ângulos verticalmente opostos, uma outra estagiária anos antes tem uma opinião diferente:
No ensino secundário elementar já é possível apresentar o encadeamento lógico de certas proposições através de raciocínios fáceis, embora não se atinja a perfeição (...), reduzindo inicialmente o esquema demonstrativo a “implicações formais”.
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É preciso muito material intuitivo e experimental antes de chegar à assimilação dos conceitos abstractos sobre os quais assenta todo o edifício lógico do método dedutivo!
Para a criança não tem qualquer interesse a dedução de uma verdade como consequência lógica de outras, tanto mais que todas as verdades que podem estabelecer-se nesta fase de ensino ou são evidentes ou podem ser verificadas de modo simples, e não é fácil convencê-la da necessidade de certas demonstrações. Basta pensar, por exemplo, no estabelecimento da igualdade de ângulos verticalmente opostos ou no caso de igualdade de triângulos ou na propriedade associativa da adição. (Pais, 1963, p. 111) Ainda no contexto da geometria e partilhando da opinião de Choquet, uma outra estagiária destaca que embora exista alguma sede de lógica por parte de uma minoria de alunos, até para estes devia existir uma axiomática simples de axiomas fortes para verificar com alguma facilidade algumas propriedades do espaço:
há sempre uma minoria de alunos em que parece despertar uma verdadeira sede de lógica e, para esses, ùnicamente seria altura própria de se abordar o raciocínio dedutivo, mas deve haver sempre muito cuidado em lhe fazer precisar as premissas. Ainda segundo a opinião de Choquet, para esses alunos, conviria encontrar uma axiomática simples de axiomas fortes que lhe permitissem ràpidamente o acesso a teoremas não evidentes e não intuitivos, que traduzissem as propriedades do espaço fáceis de verificar. (M. I. Santos, 1967, p. 32)
Outra estagiária diz mesmo que “(é preferível deixar teoremas por demonstrar, a demonstrá-los mal ou a descer a minúcias lógicas fora do alcance mental dos nossos alunos) assim como (...) guardar para mais tarde o estudo axiomático da Geometria e Aritmética” (Reis, 1958, p. 128, parêntesis no original).
Mas a dificuldade não aparece só centrada no aluno, o próprio professor, como os estagiários também referem, lidam com constrangimentos no ensino da geometria e apoiam-se noutros autores para alertarem para este facto. Maria Inês Santos cita Gustave Choquet:
On constate depuis quelques années un malaise croissant parmi ceux qui ont pour tâche l’enseignement de la géométrie élémentaire. Chacun prend conscience que tout n’est pas pour le mieux dans les manuels et les
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traditions que nous a légués le passé. En particulier, ceux qui ont essayé d’enseigner les débuts de la géométrie élémentaire ont sans doute, éprouvé une certaine gêne lorsqu’ils ont voulu préciser le point de départ. Et la lecture des manuels n’a certes pas dû les aider beaucoup91. (M. I. Santos, 1967, p. 31)
Estas palavras realçam as várias tentativas que têm sido feitas no ensino da geometria chamada de elementar para perceber e decidir por onde começar e como fazê- lo. Mas também informam que tais intentos não têm sido satisfatórios ou conclusivos, o que talvez resulte no facto dos manuais não conterem as respostas metodológicas que os professores gostariam de encontrar.
Anos antes, uma outra estagiária confessava a sua dificuldade em decidir se começava pelo ensino da geometria e ia introduzindo gradualmente elementos da lógica matemática à medida que o curso avançava e se sentisse essa necessidade ou se antes do ensino da geometria começava por fazer uma introdução
de noções consideradas básicas como os conceitos de implicação: p => q (se p então q), de equivalência: p <=> q (p se e só se q), a negação, a conjunção, a disjunção e suas propriedades, os valores lógicos das proposições e as tabelas de verdade de cada uma daquelas operações, os princípios da não contradição e do terceiro excluído e a importante distinção entre a designação e o designado. (Bento, 1964, p. 138)
e remata esta sua dúvida com uma citação de Bertrand Russell, no seu livro “Introdução à Filosofia Matemática”. Escreve: “Como dois rios que nascem em vertentes opostas e contornam cordilheiras para, mais adiante, confluírem e misturarem as suas águas, assim a Lógica e a Matemática, independentes na sua origem, acabaram por identificar-se” (Bento, 1964, p. 138). Mas duma coisa esta estagiária pensa estar certa, a necessidade do uso da lógica no ensino:
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Tradução da autora: Nota-se, há vários anos, um desconforto crescente entre aqueles que têm a tarefa de ensinar a geometria elementar. Percebe-se que nem tudo está bem nos manuais e nas tradições deixadas pelo passado. Em particular, aqueles que tentaram ensinar os rudimentos da geometria elementar experimentaram algum desconforto quando tentaram precisar o ponto de partida. E a leitura dos manuais certamente não os ajudaram muito.
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Como meio formativo, é necessário que o aluno possa atingir o fim deste curso convencido de que se iniciou numa ciência de rigor. Para tal, há que fornecer-lhe o material de trabalho e esse material é, neste caso, uma introdução à lógica matemática. (Bento, 1964, p. 137)
Ao longo desta secção sobre o ensino da geometria, o uso de axiomáticas e o interesse das demonstrações no ensino liceal assiste-se, de 1958 para 1968, a um aumento da tendência para aderir e justificar o uso do rigor e o interesse da lógica matemática.