Para que a promoção do pensamento algébrico ocorra, é muito importante aquilo que os alunos pensam, como o fazem e como o expressam. Carraher et al. (2007) apontam que ainda
se começava a perceber quais seriam as condições para promover a early algebra e já se sentia que havia indicações de que as representações podiam ter um papel importante nessa promoção. Para que os alunos aprendam a comunicar e representar torna-se necessário, por parte do professor, encontrar formas de “ajudar os alunos a construir um repertório de ferramentas intelectuais que os apoiem no desenvolvimento do pensamento algébrico” (Canavarro, 2007, p. 110), incentivando-os a desenvolver múltiplas formas de representar e fazê-lo com significado. Representar é uma forma de expressar e comunicar matemática. O conceito de representação “refere-se tanto ao processo como ao resultado e é essencial para o modo como as pessoas compreendem e utilizam essas ideias” (NCTM, 2007, p. 75). Ponte e Velez (2011) afirmam que “em matemática, os objetos são abstrações que não existem no mundo real e só podemos pensar neles através das representações” (p. 54). Os mesmos autores referem que uma representação não pode ser compreendida isoladamente e deve ser analisada sempre no contexto onde surgiu: “Não podemos interpretar uma representação matemática a não ser num contexto bem determinado e à luz de um sistema de representação com as suas regras e significados” (p. 55).
As representações podem assumir várias formas matemáticas e não matemáticas e tornam-se, segundo Blanton e Kaput (2005), modelos intelectuais através dos quais os alunos pensam algebricamente. A escolha entre estas formas de representação é, por parte do aluno, contextualizada com o nível de aprendizagem e com a significação da representação para o mesmo. Os alunos “podem escolher representações que são intrinsecamente significativas para eles” quando têm múltiplas formas de representar uma ideia (Blanton, 2008, p. 97). Esta escolha implica que os alunos conheçam um vasto leque de representações que lhes permita tomar a opção de qual a representação mais adequada e significativa. Por isso mesmo, no momento de discussão é importante partilhar e analisar as representações que os alunos utilizam e fazer conexões entre elas.
A representação é um importante processo para organizar, registar e expressar ideias, perceber fenómenos, interpretar e compreender problemas e dar significado aos objetos próprios da Matemática (NCTM, 2007). A importância do uso de diversas representações na promoção do pensamento algébrico tem vindo a ser estudado ao longo dos anos e a ser considerado como um aspeto muito importante do pensamento algébrico, para além da valorização de representações dos tradicionais símbolos algébricos. Para Carraher et al. (2007), a notação algébrica convencional, associada fortemente ao uso de símbolos algébricos, não é o único meio
para expressar ideias e relações algébricas. Tanto a notação algébrica como as representações como tabelas, esquemas, gráficos e linguagem natural podem ser percutoras utilizadas para comunicar. Para as crianças em anos iniciais, a notação formal – notação algébrica – não é uma opção, como afirmam Carraher, Martinez e Schliemann (2008).
A investigação sobre o pensamento algébrico tem valorizado fornas de representação “que vão muito para além das representações algébricas” (Canavarro, 2007, p. 106), entendidas tradicionalmente como os símbolos, embora não os exclua da importância do pensamento algébrico. Segundo esta autora, a utilização de símbolos como incógnitas é vista como uma translação de ideias e informações que traduzem um conjunto de significados e não uma simples manipulação mecânica de operações e números com incógnitas vazias sem qualquer compreensão.
Em relação à manipulação algébrica, Arcavi (1994) acredita que muitos alunos não têm qualquer sentido de símbolo. Este facto pode estar relacionado com conceções restritas da Álgebra em que, como o NCTM (2007) salienta, a manipulação de símbolos e a consequente execução de equações e simplificação de expressões era o foco. Assim, pouca importância tinha o significado desses símbolos. Pode ser essa a razão para que, segundo Arcavi (1994), mesmo os alunos com capacidades algébricas “falhem muitas vezes em ver a Álgebra como uma ferramenta para entender, expressar e comunicar generalizações, para revelar estruturas, e para estabelecer conexões e formular argumentos matemáticos” (p. 24).
Por este motivo se considera importante que os alunos desenvolvam o que Arcavi (1994, 2006) designa por sentido de símbolo. Ponte, Branco e Matos (2009) consideram que ter sentido de símbolo implica saber “interpretar e usar de forma criativa os símbolos matemáticos na descrição de situações e resolução de problemas” (p. 10). Para que os alunos atinjam uma compreensão do que é um símbolo Arcavi (2006) sintetiza seis componentes com mais importância: (1) o desenvolvimento de uma simpatia com os símbolos, através da sua compreensão e o sentido estético do seu poder, no sentido de saber “quando e como os símbolos podem e devem ser usados como objetos para estabelecer relações, generalizações e demonstrações” (p. 30); (2) a promoção da capacidade de manipular e analisar expressões simbólicas, de modo a que os alunos sejam capazes de separar a sua observação dos significados e ter uma visão global dos símbolos; (3) ter a consciência de que se pode estabelecer relações simbólicas com sucesso; (4) a capacidade de escolher a representação simbólica mais significativa; (5) ter a consciência de rever se os símbolos são os mais
adequados durante a resolução de um problema e ver se os símbolos se adequam ao seu contexto do problema; e (6) ter a consciência que os símbolos podem representar vários papéis de acordo com os contextos em que são utilizados.
A utilização dos símbolos deve ser assim promotora da busca pelo seu significado e compreensão que permita assim estabelecer relações e possibilite a sua manipulação com sentido. Deste modo, pode tentar-se ultrapassar os conflitos dos alunos com a manipulação algébrica. Parece assim fazer todo sentido “introduzir desde cedo as diversas utilizações dos símbolos literais, nomeadamente como incógnita, número generalizado e variável” (Ponte, Branco & Matos, 2009).