Emigration Aspirations and Emigration Plans

A Álgebra “sempre foi considerada uma das áreas essenciais da Matemática” (Boavida & Guimarães, 2007), área que tem merecido cada vez mais a atenção da investigação. O ensino

desta temática está fortemente relacionado com a manipulação de símbolos e a resolução de equações, porém vai muito para além disso (Vale, Palhares, Cabrita & Borralho, 2007). Na evolução deste campo, ao longo dos anos “foram surgindo várias perspetivas e formas de a concetualizar” (Boavida & Guimarães, 2007). Muitas das discussões realizadas ao longo do tempo tentam delimitar e caraterizar o campo da Álgebra. Dessas discussões surgiu “o interesse pela caracterização do pensamento algébrico” (Ponte, Branco & Matos, 2009, p. 9). Aliás, as investigações realizadas sobre a Álgebra e, particularmente, sobre o pensamento algébrico, nos anos iniciais, têm vindo a ser cada vez mais crescentes (Canavarro, 2007). Autores como Blanton e Kaput (2003, 2005), Carraher e Schliemann (2007), Kaput (1999, 2008), Kieran (1992, 2004) e Radford (2006, 2010a, 2010b) têm contribuído para algumas das mais importantes discussões e publicações sobre o tema. Discute-se, de seguida, algumas perspetivas sobre o que se entende por pensamento algébrico e por Álgebra.

A propósito da definição de pensamento algébrico, Kieran (1992), uma das principais autoras sobre este tema, distingue duas perspetivas da Álgebra: a processual e a estrutural. Na Álgebra processual, o destaque é a substituição de variáveis por números. Apenas num momento posterior a esta substituição acontece a realização de operações aritméticas. Na Álgebra estrutural, o foco é dado ao conjunto de operações realizadas com expressões algébricas em detrimento do uso de números. A Álgebra processual trabalha assim com a concretização numérica em expressões algébricas, enquanto a Álgebra estrutural trabalha com expressões algébricas.

Definindo o pensamento algébrico, Kieran (1992) destaca o uso de símbolos quando afirma que o pensamento algébrico “desenvolve formas de pensamento através de atividades nas quais o simbolismo algébrico pode ser usado como uma ferramenta” (p. 149). Apesar desta definição, Kieran (2004) faz questão de ressalvar que estas atividades podem também ser abordas sem o uso destes símbolos, usando outras capacidade como a análise de relações entre quantidades, evidência de estruturas e estudo das variações, permitindo generalizar, resolver problemas, modelar, justificar, provar e prever.

O uso de símbolos é também destacado por outros autores, como Radford (2006, 2010a, 2010b), como um importante aspeto quando falamos em pensar algebricamente. Este autor adotou uma caracterização de pensamento algébrico com base em três elementos: o caráter indeterminado, próprio dos objetos algébricos básicos (como incógnitas, variáveis e

parâmetros), a forma se como lida com esses objetos e o modo simbólico como os mesmos são designados.

Apesar do destaque que ambos os autores conferem ao uso de símbolos algébricos, ambos acautelam que a utilização de letras não é a única ferramenta de raciocínio algébrico. Radford (2010a) considera mesmo que no pensamento algébrico existem muitas outras ferramentas (que não são algebricamente simbólicas) que são utilizadas para expressar ideias algébricas. Carraher e Schliemann (2007) corroboram com esta perspetiva, especialmente quando se consideram alunos mais jovens, já que "os estudantes mais precoces fazem por vezes generalizações algébricas sem usar notação algébrica" (p. 681). Os alunos que não possuem capacidades algébricas conseguem assim expressar generalizações e identificar relações – aspetos que se incluem no pensamento algébrico – e então ‘fazer Álgebra’ sem necessitar manipular símbolos formais como letras, através de outras formas de comunicação matemática, como a linguagem ou a elaboração de tabelas, por exemplo.

Carraher e Schliemann (2007), em consonância com os autores anteriores, também atribuem importância ao simbolismo, uma vez que consideram que pensamento algébrico se pode definir como o conjunto dos “processos psicológicos envolvidos na resolução de problemas em que os matemáticos conseguem facilmente expressar usando notação algébrica" (p. 670). Acrescentando a esta definição, Carraher e Schliemann (2007) também consideram essencial atribuir importância no pensamento algébrico às capacidades aritméticas. Esta relação com a aritmética é valorizada por outros autores. O estudo da aritmética generalizada é uma das vertentes mais comuns de pensamento algébrico no ensino elementar, conjuntamente, com o pensamento funcional (Blanton & Kaput, 2005; Canavarro, 2007; Carraher & Schliemann, 2007).

A aritmética generalizada baseia-se no que Carraher e Schliemann (2007) definiram como caráter potencialmente algébrico da aritmética e é caraterizada pelo “uso da aritmética com um domínio para expressar e formalizar generalizações” (Blanton & Kaput, 2005, p. 413). Existem alguns aspetos que podem descrever esta vertente como “a exploração de relações e de propriedades das operações de números inteiros; exploração da igualdade como expressão de uma relação de quantidade; tratamento algébrico dos números; resolução de expressões com incógnitas (números desconhecidos em falta)” (Blanton & Kaput, 2005, pp. 419-422).

A outra vertente diz respeito à “generalização de padrões numéricos para descrever relações funcionais” – pensamento funcional. Este aspeto permite “a descrição de regularidades

através de símbolos, comparar diferentes expressões relativas à mesma regularidade ou determinar valores particulares de uma função” (Canavarro, 2007, p. 90). Esta vertente inclui as capacidades de “simbolização de quantidades e operações com expressões simbólicas; representação gráfica de dados; descoberta de relações funcionais; previsão de resultados desconhecidos através de dados conhecidos; e identificação e descrição de padrões numéricos e geométricos” (Blanton & Kaput, 2005, pp. 423-427).

Blanton e Kaput (2005) referem para além destas mais duas vertentes para caraterizar o pensamento algébrico: “a modelação como um domínio para expressar e formalizar generalizações e a generalização sobre os sistemas matemáticos abstratos através da computação e relações” (p. 413). A modelação é uma forma de pensamento algébrico que envolve “a generalização de regularidades através da análise de situações e fenómenos” (Blanton & Kaput, 2005, p. 413). A última vertente, menos comum nos currículos dos ensinos elementares, é descrita como uma matemática mais abstrata e diz respeito à generalização de objetos e sistemas abstratos.

Do estudo das várias vertentes, uma das grandes capacidades que emergem da promoção do pensamento algébrico é a capacidade de generalizar. A generalização é o “coração do pensamento algébrico” (Carraher, Schliemann & Brizuela, 2007, p. 12). Pensar algebricamente pode mesmo ser visto como um “processo em que os alunos generalizam ideias matemáticas a partir de um conjunto de casos particulares, estabelecem essa generalização através do discurso da argumentação e a expressam, gradualmente, de formas cada vez mais formais e adequadas à sua idade” (Blanton & Kaput, 2005, p. 413). Kaput (2008), numa das suas últimas publicações, refere que a generalização e a sua expressão gradual são, juntamente com o raciocínio sintaticamente orientado sobre as generalizações, os dois aspetos essenciais do pensamento algébrico. Estes dois aspetos materializam-se em três vertentes para a Álgebra, segundo Kaput (2008). Este autor começou por definir cinco vertentes da Álgebra em 1999, quatro em conjunto com Blanton em 2005 e por fim numa das últimas publicações, em 2008, definiu então nas vertentes seguintes:

a) O estudo das estruturas e sistemas abstraídos a partir do resultado de operações e estabelecimento de relações, incluindo os que surgem na Aritmética (Álgebra como Aritmética generalizada) ou no raciocínio quantitativo;

b) O estudo das funções, relações e (co) variação.

c) A aplicação de um conjunto de linguagens de modelação, tanto no domínio da Matemática, como no seu exterior. (Kaput, 2008, p. 11)

Apresentadas algumas perspetivas da Álgebra e do pensamento algébrico, entende-se que não há uma definição concisa e convergente que defina ambos. Embora se possam considerar alguns aspetos que foram enunciados. Esta não existência de uma definição concisa que permita definir o que significa pensar algebricamente (Lins & Gimenez, 1997), pode dever- se, como Radford (2006) afirma, à variedade de objetos algébricos, tais como “equações, funções ou padrões”, e processos próprios como a “inversão, simplificação” (p. 89).

Quando falamos sobre a Álgebra e o pensamento algébrico nos primeiros anos existem algumas premissas a considerar. Embora a Álgebra ainda não seja valorizada por todos, vários são os autores que referem que o ensino de conteúdos algébricos serve de base ao desenvolvimento de competências futuras na Matemática, desde anos muito iniciais (Canavarro, 2007). Mesmo antes de entrarem no ensino básico, as crianças reconhecem e expressam as mudanças que ocorrem à sua volta, estabelecem relações de quantidade, preveem qual será o termo seguinte numa sequência de dados ou identificam um padrão. Tudo isto contribui para que progressivamente mergulhem num pensamento de natureza cada vez mais algébrico (NCTM, 2007). Esta precoce ligação dos alunos a modos de pensamento algébricos não significa que não seja necessário promover capacidades neste campo. De acordo com o NCTM (2007), os professores podem preparar os seus alunos para terem sucesso na Álgebra se desde o início os ensinarem a pensar algebricamente, isto é, se promoverem o seu pensamento algébrico.

Radford (2010b) aponta que “o pensamento algébrico não surge por acaso, nem surge como uma consequência necessária da maturação cognitiva. Para fazer surgir o pensamento algébrico algumas condições pedagógicas têm de ser criadas” (p. 4). O trabalho com o desenvolvimento da Álgebra não parte de nada que os alunos tenham de começar do zero, é preciso sim ‘algebrizar’ (Blanton & Kaput, 2003) as tarefas que se usam na sala de aula, a maneira como se ‘olha’ o pensamento dos alunos e de como os professores agem na sala de aula. Estes autores indicam três dimensões baseadas na atividade do professor que devem ocorrer quando se algebrizam as atividades das aulas de Matemática: a criação de oportunidades onde se possa desenvolver o pensamento algébrico; a capacidade de identificar quando existem possibilidades de fazer e expressar generalizações; e a criação de um ambiente de sala de aula que promova essa capacidade. A algebrização é assim conseguida “encontrando e apoiando o pensamento algébrico dos alunos e criando uma cultura de sala de aula e práticas de ensino que promovam o pensamento algébrico” (Blanton & Kaput, 2003, p. 70).

Redesenhando tarefas preexistentes numa perspetiva que valorize a atividade do aluno, em que ele tenha oportunidades de reconhecer o que é geral numa dada situação, estabelecendo relações e expressando de forma mais ou menos informal essas generalizações é conseguir algebrizar as tarefas que são usadas na atividade matemática. Porém, esta algebrização das tarefas não alcança, por si só, a promoção do pensamento algébrico, se os alunos não forem envolvidos e estimulados a pensar, expressar e comunicar algebricamente. Precisa-se, por isso, não só de dar oportunidades aos alunos para trabalharem com tarefas que promovam este raciocínio como explorar e valorizar o que eles fazem com essas tarefas.

A voz dos alunos assume um papel fundamental nestas práticas de sala de aula e, em consequência, o professor tem de surgir como um percutor de oportunidades e tem de desenvolver “ouvidos e olhos para a Álgebra” (Blanton & Kaput, 2003, p. 73), a fim de identificar quando as oportunidades de generalizar e expressar possam ocorrer. O simples questionamento de perguntas — tais como, como é que estão a pensar sobre isto? Alguém resolveu de forma diferente? Como sabemos que isso é verdade? O que utilizaram para expressar essa ideia? Isso é verdade para todos os casos? Como convenceriam os outros dessa ideia? Porquê é que pensaste assim? — Permitem não só perceber o que os alunos estão a ponderar sobre a tarefa em questão como desenvolver neles capacidades de argumentação que possibilitam expressar e defender provando aquilo que pensam. É passível perceber que, para que este questionamento aconteça e para que possam ocorrer oportunidades de valorizar a atividade do aluno, é necessário criar um ambiente de sala de aula que promova discussões entre os alunos e entre os alunos e o professor e considere o que os alunos dizem e fazem.

A criação de um ambiente de sala de aula capaz de promover o pensamento algébrico implica práticas que permitam aos alunos ter oportunidade de conjeturar, generalizar, argumentar e representar os seus raciocínios.

Uma premissa tem de ser apoiada pela outra. Se por um lado, se torna fulcral trabalhar e transformar os tarefas já existentes de maneira a transformá-las com potencial algébrico – seja pela transformação de uma resposta unicamente numérica em uma resposta menos limitada, variando os parâmetros de um problema, fazendo extensões das perguntas já existentes, solicitando a justificação de respostas, por exemplo – também por si só isso não desenvolve o pensamento algébrico nos alunos (Blanton & Kaput, 2003). É importante, por isso, reforçar os papéis que o professor tem numa sala de aula que promove o pensamento algébrico dos alunos. Como Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) referem, o professor tem a responsabilidade de não

só "propor e organizar as tarefas a realizar" como "coordenar o desenvolvimento da atividade dos alunos" (p. 28).

Blanton e Kaput (2003) referem ainda que para conseguir o desenvolvimento desta capacidade é necessário que a Álgebra seja vista sob um ponto de vista mais profundo e abrangente para que se consiga integrar o pensamento algébrico transversalmente em toda a disciplina da Matemática, ou seja, em todos os tópicos e ao longo de todos os anos. Esta nova visão pretende ser transformadora das conceções mais limitadas da Álgebra e para isso é fulcral “encontrar formas de ensino que criem ambientes de sala de aula que permitam aos alunos aprender com compreensão” (Kaput, 1999, p. 3). Para conseguir criar este ambiente de sala de aula é necessário uma reorientação de métodos de ensino e da própria Álgebra, como se tem referido. Deste modo, surgiu uma nova concetualização de Álgebra que pretende transformar antigas definições do campo deste tema: a early algebra.

Neste estudo, entende-se por pensamento algébrico para os anos iniciais como o pensamento que os alunos revelam quando conseguem: identificar regularidades, utilizando essas regularidades para a construção de generalizações para um número elevado de casos ou para um nível onde qualquer que seja o elemento a generalização é válida; estabelecer relações entre configurações diferentes e entre duas variáveis; traduzir situações e operações numéricas em algébricas; e expressar ideias comunicando através de formas que tenham significado para os alunos.