2.2 Innsyn i pasientjournalen – en juridisk rettighet
2.2.3 Krav til journalen – og oppfyllelse av disse
Nesse tópico apresentamos os artistas do Renascimento que produziram sólidos arquimedianos em suas obras, bem como os procedimentos utilizados que levaram a redescoberta dos mesmos.
Field (1997) assinala que cinco renascentistas – Piero della Francesca (1412-1492), Luca Pacioli (1445-1517), Leonardo da Vinci (1452-1519), Albert Durer (1471-1528) e Daniele Barbaro (1513-1570) – descreveram em suas obras os Sólidos de Arquimedes sem o conhecimento do estudo de Arquimedes, relatado por Pappus, em escritos que foram impressos em 1588 e seus manuscritos não estavam disponíveis antes de 1560.
Para Field (1997), a história da redescoberta de poliedros arquimedianos durante o Renascimento não é a da recuperação de um texto clássico perdido, diz respeito à redescoberta da matemática real, matemática figurada por profissionais que exerceram atividades outras que não a de matemáticos, o que neste caso poderia ter sido puramente racional.
Dos cinco renascentistas apontados por Field (1997), três deles – Piero della Francesca, Leonardo da Vinci e Albert Durer – estão presentes na obra biográfica de Coolidge (1950 apud Brolezzi, 1991) “Matemática dos Grandes Amadores” cujo destaque maior é dado a matemáticos não profissionais. Coolidge (1950 apud Brolezzi, 1991, p. 211) considerou que:
através de séculos têm havido um certo número de homens, não matemáticos profissionais, que fizeram contribuições significativas para essa, a mais antiga das Ciências.
Pareceu-me que valia a pena fazer algum estudo das contribuições desses homens que, por falta de um termo melhor, chamei amadores.
Os artistas renascentistas como sinaliza Field (1997), não estavam interessados, pelo menos não a sério, na regularidade combinatória desses sólidos, mas na existência de uma esfera circunscrita. Como a busca de outros sólidos também inscritíveis em uma esfera era o que os movia, os cortes sobre as arestas de sólidos platônicos não poderiam ser feitos de maneira arbitrária. O processo utilizado por esses artistas, que deu origem a essa redescoberta, é
chamado de truncatura, eliminação de partes de um sólido de forma simétrica que pode ser feita sobre seus vértices ou sobre suas arestas.
Embora, não haja qualquer explicitação ou esquematização do estudo das relações entre sólidos platônicos e os sólidos arquimedianos e os diferentes processos de construção a partir de truncaturas, Field (1997) pontua que tais artistas tiveram que se dirigir a Os Elementos de Euclides, mais especificamente ao livro XIII.
O autor, ainda, destaca dois livros pseudo-euclidianos, livro XIV e livro XV, cuja importância não está em sua autoria (provavelmente considerados por seus autores como suplementos do livro 13 de Euclides), mas sim em seu conteúdo. O livro XIV discorre a respeito da secção áurea e as relações métricas entre os poliedros regulares inscritos em uma mesma esfera. O livro XV apresenta sólidos regulares inscritos em outros sólidos. Esses dois livros, apontados por Field (1997), são as supostas fontes para a redescoberta de alguns sólidos arquimedianos por Piero della Francesca.
Piero della Francesca (1412-1492)
De acordo com Cromwell (2008), os princípios para representações realistas do espaço estabelecido por Alberti10 não foram suficientes para permitir que desenhos mais complexos, como o de poliedros, fossem produzidos. Embora os métodos de construção de poliedros fossem conhecidos por Alberti, ele não os descreveu. Foi Piero della Francesca que os apresentou pela primeira vez e após isso, a construção de poliedros em perspectivas tornou-se uma característica normal para pintores.
Piero della Francesca, pintor do século XV, foi também um estudioso em matemática. Conhecedor de Os Elementos de Euclides, ele escreveu vários tratados matemáticos, três deles já recuperados e impressos, mas não em seu nome. Field (1997) afirma que dois desses tratados, Trattato d’Abaco (1450) e Libellus de Quinque corporibus regularibus (1480), apresentam alguns estudos
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10 De acordo com Veloso (1998), Leon Battista Alberti nasceu em Florença em 1404, foi pintor,
compositor, poeta e filósofo, mas ficou mais conhecido como “arquiteto” e autor da primeira análise científica da perspectiva.
realizados com poliedros regulares e fornecem a construção de alguns sólidos arquimedianos.
Segundo o autor, Trattato d’Abaco é um tratado derivado de duas obras
de Leonardo de Pisa (1170-1250), também conhecido como Fibonacci. Nesse tratado, os problemas apresentados por Piero della Francesca envolvem dois sólidos arquimedianos, o tetraedro truncado e o cuboctaedro, ilustrados na Figura 30.
Figura 30. Tetraedro truncado e cuboctaedro. Fonte: Kepler, 1864, p.123 e 124.
Para o tetraedro truncado temos o exemplo: “existe um corpo esférico cujo diâmetro é seis; nele, quero colocar um corpo com oito faces, quatro triângulos e quatro hexágonos. Eu pergunto: quais são suas arestas?”. (FRANCESCA, p. 230 apud FIELD, 1997, p. 248, tradução nossa).
Para completar essa descrição Piero della Francesca fornece-nos um diagrama, como mostra a Figura 31, em que um círculo indica a esfera circunscrita. Para Field (1997), Piero della Francesca sabia que esse novo sólido resultaria de cortes nos cantos de um tetraedro regular, entretanto não apresentou qualquer informação de como esse sólido pôde ter sido redescoberto.
Figura 31. Escrito de Piero della Francesca de um Tetraedro truncado. Fonte: Field, 1997, p.249.
Para o cuboctaedro temos o exemplo:
existe um corpo esférico, cujo diâmetro é seis braças; nele, quero colocar uma figura com quatorze faces, seis quadrados e oito triângulos, de arestas congruentes. Eu pergunto: qual é a medida de cada aresta?
Tal figura é obtida a partir do cubo, porque ele (o cubo) tem seis faces e oito cantos; cortando seus oito cantos, obtêm-se quatorze faces, como segue. Você tem o cubo ABCD.EFGH, divide cada lado na metade: AB no ponto I, CD no ponto L, BD no ponto K, AC no ponto M...(FRANCESCA, p. 231 e 232 apud FIELD, 1997, p. 248, tradução nossa).
O digrama fornecido por Piero della Francesca, conforme mostra a figura 32, utiliza, mais uma vez, um círculo para indicar a presença da esfera circunscrita. Para esse sólido, Piero della Francesca adverte quanto à forma como deve ser construído, visto que por meio dos pontos médios de suas arestas, os cantos de um cubo são removidos de forma simétrica. Seu diagrama, no entanto, omite o cubo.
Figura 32. Escrito de Piero della Francesca de um Cuboctaedro. Fonte: Field, 1997, p.249.
Já o livro Libellus Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca descreve, de acordo com Field (1997), cinco sólidos arquimedianos obtidos pela eliminação dos cantos dos sólidos platônicos. Como já observado, executar truncaturas em um desenho ou em um sólido requer descobrir o ponto em que o corte será efetuado, e isso implica cálculos.
Field (1997) assinala que Piero della Francesca introduz os cinco arquimedianos – tetraedro truncado, cubo truncado, icosaedro truncado, dodecaedro truncado e octaedro truncado – a partir de problemas que relacionam a aresta do sólido com o diâmetro de sua esfera circunscrita.
Assim, segundo o autor, quando as faces do sólido de partida são triângulos (tetraedro, octaedro e icosaedro), Piero della Francesca forma faces hexagonais pela divisão das arestas em três partes iguais, como mostra a Figura 33.
Figura 33. Hexágono regular a partir de um triângulo eqüilátero. Fonte: Field, 1997, p. 251.
Esse procedimento resulta nos sólidos arquimedianos conhecidos como tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado, ilustrados na Figura 34.
Figura 34. Tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado. Fonte: Cromwell, 2008, p. 161.
Os dois sólidos arquimedianos restantes, dodecaedro truncado e cubo truncado, mostrados na Figura 35, são obtidos por cortes nas arestas do dodecaedro regular e do cubo, respectivamente, sólidos que os originam. Dessa forma, faces formadas por octógonos e decágonos são obtidas como resultado.
Figura 35. Cubo truncado e Dodecaedro truncado. Fonte: Cromwell, 2008, p. 161.
De acordo com Field (1997), parece ter sido Piero della Francesca quem inventou o uso da truncatura como um procedimento matemático, em que mostrou preocupação com a simetria e com o tratamento de formas tridimensionais, ao invés de reduzir o problema a uma série de problemas bidimensionais em planos distintos. O autor, ainda, pontua o grau de habilidade incomum para um pintor em manusear composições pictóricas no espaço, o que evidencia capacidade de visualização tridimensional bastante desenvolvida.
Além de Piero della Francesca, os artistas Luca Pacioli e Leonardo da Vinci redescobriram alguns sólidos arquimedianos como segue.
Luca Pacioli (1445-1517) e Leonardo da Vinci (1452-1519)
Luca Bartolomeo de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano. Segundo Cromwell (2008), em uma de suas obras mais importantes, De Divina Proportioni (publicada em 1509), é apresentado um estudo de sólidos regulares e outros sólidos que podem ser derivados a partir deles. Nessa obra, seis dos sólidos arquimedianos aparecem, dois dos quais não estão presentes nas obras de Piero della Francesca.
Assim como o trabalho de Piero della Francesca a respeito de poliedros,
como os sólidos arquimedianos são obtidos, além de complicações adicionais assinaladas por Field (1997). Para o autor, uma dessas complicações está relacionada aos diagramas, que acompanham parte do trabalho. Estes diagramas por sua vez ilustram os sólidos, que se sabe terem sido desenhados por Leonardo da Vinci e que contém muitas informações que não constam no texto. Para Field (1997) isso pode ser observado nas Figuras 36 e 37, desenhos de Leonardo da Vinci que salientam a estrutura dos poliedros, representando somente as suas arestas, informações não fornecidas por Luca Pacioli.
Figura 36. Desenho de Leonardo da Vinci do Icosidodecaedro. Fonte: Field, 1997, p.257.
Figura 37. Desenho de Leonardo da Vinci do Rombicuboctaedro. Fonte: Field, 1997, p.258.
Field (1997) afirma que os seis sólidos arquimedianos trazidos por Pacioli são produzidos pelo método de truncamento descrito por Piero della Francesca no Trattato d’Abaco. Assim, Pacioli redescobre também o tetraedro truncado, o
não aparecem nas obras de Piero della Francesca, icosidodecaedro e o rombicuboctaedro, ilustrados na Figura 38.
Figura 38. Icosidodecaedro e rombicuboctaedro. Fonte: Cromwell, 2008, p.160.
Assim como o cuboctaedro, o icosidodecaedro é obtido por truncaturas sobre os pontos médios das arestas dos sólidos platônicos dodecaedro ou icosaedro. O rombicuboctaedro resulta de truncaturas no sólido arquimediano cuboctaedro, mas Pacioli não fornece qualquer informação que explique tal truncatura. Para Field (1997), o estilo geral da obra de Pacioli seria a desculpa para a ausência de uma explicação matemática da origem do novo sólido.
Além do procedimento de truncatura descoberto por Piero della Francesca para a obtenção de sólidos arquimedianos, outro procedimento matemático é apontado por Dürer, mostrado no que segue.
Albert Dürer (1471-1528)
Segundo Cromwell (2008), Albert Dürer dedicou muitos dos seus últimos anos de vida a estudos teóricos de textos clássicos, cujo interesse no espírito humanista do Renascimento abrangia áreas como a Matemática, em especial a Geometria, a Geografia, a Arquitetura e a Engenharia.
Em 1525, publicou Unterweysung der Messung MIT dem Zirkel um
Richtscheyt in Linien Ebnen unnd Gantzen Corporen (Instrução da Arte da
Medição com Compasso e Regras de Linhas, Planos e Corpos Sólidos), um trabalho compreendido em quatro livros. Segundo Field (1997), no primeiro livro discute conceitos básicos da geometria (ponto e reta) e avança para conceitos
mais complexos. O segundo traz discussões a respeito de polígonos regulares e, Dürer, expõe como polígonos regulares podem ser incorporados em ornamentos, pisos e pavimentações. No terceiro livro aborda problemas de arquitetura e engenharia e no quarto os sólidos arquimedianos são introduzidos.
Sete arquimedianos são discutidos em conjunto com sólidos platônicos e cada um deles é ilustrado apenas pela planificação de sua superfície. Dos sete arquimedianos descritos, Field (1997) sinaliza que quatro podem ter sido retirados da obra, De Divina Proportioni, de Pacioli (tetraedro truncado, cuboctaedro, octaedro truncado e o rombicuboctaedro), um da obra Libellus Quinque
Corporibus Regularibus de Piero della Francesca (cubo truncado) e os dois
restantes, cuboctaedro truncado e cubo achatado, ilustrados na Figura 39, podem ter sido redescobertos por ele.
Figura 39. Cuboctaedro truncado e cubo achatado. Fonte: Cromwell, 2008, p.160.
Com base nos escritos de Dürer sobre o arquimediano cuboctaedro truncado, Field (1997) pontua a ausência de um procedimento matemático evidente, ou ainda indicativo, que aponte como o novo sólido foi redescoberto. No entanto, de acordo com o autor, o procedimento efetuado por Dürer parece não ter sido o truncamento, mas sim o procedimento de construção de sólido a partir da planificação de sua superfície.
Field (1997) sinaliza que a idéia de construção introduzida por Dürer torna mais simples a representação da superfície dos sólidos arquimedianos por sua forma planificada do que por perspectiva. Ainda para o autor, esse método pode ter sido essencial para a redescoberta do cubo achatado por Dürer.
O cubo achatado foi descrito por Dürer como um sólido de seis faces quadradas e trinta e duas faces triangulares, com vinte quatro ângulos sólidos e sessenta arestas. A planificação da superfície do sólido, ilustrada na Figura 40 destaca uma simetria diferente dos arquimedianos anteriores e desta forma nos leva a crer que ele não pode ser obtido por um processo simples de truncamento, como os descritos por Piero della Francesca.
Figura 40. Planificação da superfície do cubo achatado. Fonte: Field, 1997, p.268.
A Figura 41 mostra que o cubo achatado pode ser construído a partir do cubo. De acordo com Schreiber, Fischer e Sternath (2007), o problema está em encontrar x e y de modo que todas as arestas sejam congruentes, o que resulta na equação x3 2x2 2x 12.
Figura 41. Construção do cubo achatado a partir do cubo. Fonte: Schreiber, Fischer e Sternath, 2008, p. 463.
O método da planificação introduzido por Dürer também foi utilizado por Danielle Barbaro para ilustrar onze dos treze sólidos arquimedianos que apresentamos no que segue.
Danielle Barbaro (1513-1570)
Segundo Field (1997), a maneira pela qual os sólidos arquimedianos são retratados na obra Pratica della perspectiva (1568 e 1569) de Danielle Barbaro, é muito semelhante à De Divina Proportioni de Pacioli, pois o foco está na apresentação visual desses sólidos e apenas uma breve discussão matemática nos é fornecida.
Todos os onze sólidos arquimedianos apresentados em sua obra são obtidos por truncaturas, fato que para Field (1997) pode explicar a ausência do sólido arquimediano cubo achatado redescoberto por Dürer. No entanto, o autor sinaliza que Danielle Barbaro utiliza o método de planificação de Dürer para ilustrá-los.
Dos onze sólidos arquimedianos descritos por Barbaro, dois deles, rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado, ilustrados na Figura 42, não haviam sido ainda obtidos, ou talvez indicados, por Piero della Francesca, Luca Pacioli e Albert Dürer.
Figura 42. Rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado. Fonte: Cromwell, 2008, p.161.
De acordo com Field (1997), Danielle Barbaro redescobriu o rombicosidodecaedro ao truncar as arestas do icosidodecaedro em seus pontos médios. No entanto, não há qualquer informação da maneira como obteve o icosidodecaedro truncado.
Para finalizar, apresentamos no Quadro 7, uma síntese que possibilita observar melhor os sólidos arquimedianos redescobertos pelos artistas do Renascimento. A primeira coluna mostra a nomenclatura dada por Kepler a cada sólido arquimediano, e as demais indicam em que obras os sólidos aparecem. A letra “T” refere-se ao Trattato d’Abaco e a letra “L” a Libellus Quinque Corporibus
Regularibus, ambas as obras de Piero della Francesca.
Quadro 7. Sólidos Arquimedianos no Renascimento.
Sólido
Arquimediano Piero della Francesca Luca Pacioli Albert Dürer Danielle Barbaro
Cubo truncado L - Tetraedro truncado T, L Dodecaedro Truncado L - - Icosaedro Truncado L - Octaedro Truncado L Cuboctaedro truncado - - Icosidodecaedro truncado - - - Cuboctaedro T Icosidodecaedro - - Rombicuboctaedro - Rombicosidodecaedro - - - Cubo achatado - - - Dodecaedro achatado - - - -
Além de pinturas, a madeira foi também um meio utilizado por artesões no Renascimento para representar poliedros. Segundo Cromwell (2008), alguns artistas renascentista associavam a perspectiva com marchetaria, considerada no período do Renascimento como arte de construir objetos tridimensionais tendo como principal suporte a madeira. A madeira era uma espécie de marca registrada, motivo de sua popularidade.
Sólidos Arquimedianos em Madeira
De acordo com Cromwell (2008), as formas simples de poliedros eram as favoritas dos artesões e assim, poliedros platônicos e alguns arquimedianos foram produzidos. O autor apresenta, na Figura 43, um bloco em madeira feito por artesões florentinos em 1470. Pontua, ainda, que para tornar a construção mais difícil e expor maior habilidade técnica, os artesões produziam apenas as estruturas de poliedros para que todas as faces se tornassem visíveis. Poliedros inscritos em outros também foram produzidos.
Figura 43. Estrutura de poliedros em madeira. Fonte: Cromwell, 2008, p. 118.
Muitos autores afirmam que Kepler foi o primeiro a explorar todos os Sólidos Arquimedianos. No entanto, Schreiber, Fischer e Sternath (2007) apontam evidências que a história sobre esses sólidos, dita e aceita até hoje pode não estar completa.
De acordo com os autores, no outono de 2006, em um curso de criação de um catálogo digital para a Galeria Albertina11, foi dada atenção, mais uma vez, para as telas de quarenta blocos construídos a partir de cortes em madeira que exibem sólidos regulares e semi-regulares. Todos os Sólidos Arquimedianos foram apresentados por meio da planificação de suas superfícies, uma delas é mostrada na figura 44.
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Figura 44. Planificação de superfície de poliedros em madeira. Fonte: Schreiber, Fischer e Sternath, 2008, p. 459.
O catálogo foi feito por Gisela Fischer, que descobriu recentemente em três dos blocos, a assinatura de Hieronymus Andreae, conhecido na história da arte como colaborador de Dürer, além de editor e impressor. Com a assinatura de Andreae nos blocos, os autores puderam presumir uma conexão com os trabalhos de Dürer,
Com a morte de Andreae em 1556, os autores estabeleceram um ano limite para a produção dos blocos e assim constataram que anterior a Kepler existiu um matemático, ainda que desconhecido, interessado em explorar todos os Sólidos Arquimedianos. No entanto, segundo os autores, nenhuma informação se tem a respeito desse desconhecido, talvez pelo fato de inexistirem documentos impressos acerca dos blocos produzidos. Ainda assim, os autores listam detalhes do projeto dos quarenta blocos.
A conexão do trabalho desse matemático desconhecido com Dürer, também pode ser justificada por ambos compartilharem do mesmo método para a produção de superfícies de Sólidos Arquimedianos, o da planificação. Para os autores, assim como Dürer obteve o cubo achatado, esse matemático obteve o dodecaedro achatado, mostrado na Figura 45, único sólido arquimediano que ainda não havia sido explorado. A planificação da superfície desse sólido é mostrada na Figura 46.
Figura 45. Dodecaedro achatado. Fonte: Cromwell, 2008, p.92.
Figura 46. Superfície de um dodecaedro achatado em madeira. Fonte: Schreiber, Fischer e Sternath, 2008, p. 462.
Com a planificação da superfície do dodecaedro achatado representada em bloco de madeira, o conjunto completo dos treze Sólidos Arquimedianos pode ter sido explorado antes mesmo de Kepler.
A seguir apresentamos o estudo matemático sobre os Sólidos Arquimedianos realizado por Kepler que não só retoma o estudo de Pappus, mas também o sistematiza.