Durante o processo de construção dos arquimedianos observamos que qualquer sólido arquimediano obtido a partir de truncaturas diretas em um sólido platônico apresenta faces de dois tipos: faces que provêm de faces e faces que provêm da eliminação dos cantos do poliedro de partida. Isto quer dizer que as características numéricas (número de faces, de vértices, bem como a ordem14) dos arquimedianos obtidos, indicadas no Quadro 24, dependem do número de faces e vértices do poliedro platônico de partida.
Quadro 24. Características numéricas dos arquimedianos estudados.
Arquimediano Características numéricas Superfície planificada
Cuboctaedro 12 vértices; 6 faces quadradas; 8 faces triangulares; 24 arestas. Icosidodecaedro 30 vértices; 12 faces pentagonais; 20 faces triangulares; 60 arestas. ____________
Tetraedro truncado 12 vértices; 6 faces hexagonais; 4 faces triangulares; 18 arestas. Octaedro Truncado 24 vértices; 6 faces quadradas; 8 faces hexagonais; 36 arestas. Icosaedro truncado 60 vértices; 12 faces pentagonais; 20 faces hexagonais; 90 arestas. Cubo truncado 24 vértices; 6 faces octogonais; 8 faces triangulares; 36 arestas. Dodecaedro truncado 60 vértices; 12 faces decagonais; 20 faces triangulares; 90 arestas.
Podemos também relacionar as características numéricas dos arquimedianos obtidos ao tipo de truncamento, conforme é mostrado no Quadro 25. A primeira coluna indica os tipos de truncamentos efetuados, já a segunda coluna indica que o número de arestas das faces que provém de faces depende do tipo de truncamento. No truncamento tipo 1 essas faces têm o mesmo número de arestas das faces do poliedro platônico de partida. Já no truncamento tipo 2 o número de arestas das faces duplica.
A terceira coluna mostra que em ambos os tipos de truncamento, o número total de arestas do arquimediano obtido depende do número de vértices
ou arestas do poliedro de partida e de sua ordem. Nos poliedros obtidos pelo truncamento do tipo 1 o total de arestas do poliedro obtido é o produto entre o número de vértices do poliedro inicial e sua ordem. No truncamento do tipo 2 o total de arestas do poliedro obtido é o produto entre o número de arestas do poliedro inicial e sua ordem.
Já na quarta coluna, está indicado que o número de vértices do poliedro resultante é igual ou o dobro do número de arestas do poliedro inicial. Com o truncamento do tipo 1 cada aresta do poliedro original se converte em um vértice, enquanto que com o truncamento do tipo 2, por cada aresta aparecem dois vértices.
A última coluna mostra que os vértices dos poliedros resultantes no truncamento do tipo 1 são de ordem 4. Com o truncamento do tipo 2 se obtém poliedros com vértices de ordem 3.
Quadro 25. Características numéricas a partir do tipo de truncamento. Tipo de Truncamento Número de arestas em cada face Número total de arestas Número total de vértices Ordem dos vértices Truncamento 1 Mesmo número do poliedro de partida Produto entre o número de vértices do poliedro de partida e sua ordem Igual ao número total de arestas do poliedro de partida Ordem quatro Truncamento 2 O dobro do poliedro de partida Produto entre o número de arestas do poliedro de partida e sua ordem Dobro do número total de arestas do poliedro de partida Ordem três
A seguir apresentamos nossas considerações finais em relação ao estudo.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesse momento, retomamos aspectos abordados ao longo dos capítulos anteriores deste trabalho, sendo oportuno mencionar a convergência de pontos de vista a respeito do que foi investigado, analisado e percebido. Consideramos também oportuno apontar as reais possibilidades de concretização desse estudo nas aulas de Geometria, bem como as possíveis adaptações que podem ser feitas com o auxílio da tecnologia, na perspectiva de contribuir para a melhoria da aprendizagem da Geometria Espacial na Educação Básica.
Nossos estudos preliminares nos permitiram identificar que os principais problemas enfrentados pelo ensino e aprendizagem de Geometria Espacial estão associados à visualização, interpretação e representações de objetos tridimensionais. Tais problemas contribuem para que alguns conteúdos geométricos espaciais não sejam mais abordados, como por exemplo, os Sólidos de Arquimedes.
Por outro lado, com o surgimento do conhecimento por simulação advindo da informática, programas de auxílio ao ensino têm sido desenvolvidos na busca de minimizar tais dificuldades, ou ainda, na possibilidade de resgatar conteúdos não mais presentes na matemática ensinada. A utilização de ambientes de Geometria Dinâmica, especialmente o Cabri 3D que simula um ambiente em três dimensões, pode contribuir para que conteúdos geométricos espaciais sejam recordados e revisitados com um dinamismo inexistente em ambiente lápis e papel.
Nesse sentido, concordamos com Lévy (2002, p. 129) ao afirmar que
à aparição de novas tecnologias intelectuais ativam à expansão de formas de conhecimento que durante muito tempo estiveram relegadas a certos domínios, bem como o enfraquecimento relativo de certo estilo de saber, mudanças de equilíbrio, deslocamentos de centros de gravidade. A ascensão do conhecimento por simulação deve ser entendida de acordo com uma modalidade aberta, plurívoca e distribuída.
É dentro desse contexto que se inseriu nossa pesquisa, se propondo oferecer uma contribuição a estudos sobre ensino de matemática e o uso de tecnologias em Educação Matemática. Para tanto, tomamos como eixo,
apresentar uma possibilidade para o ensino e aprendizagem dos Sólidos Arquimedianos e sua inclusão na Educação Básica por meio do ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D aliada a história como fonte geradora de conhecimento.
Os procedimentos metodológicos utilizados contribuíram para que o estudo do objeto matemático Sólidos Arquimedianos fosse realizado. Vale ressaltar que a metodologia utilizada nos permitiu evidenciar um processo de construção para esses sólidos bem diferente da planificação de superfície, estudada na disciplina Desenho Geométrico. O estudo bibliográfico, realizado a partir de fontes históricas, foi fundamental para a realização do estudo matemático do objeto proposto, uma vez que foi a partir dele que descobrimos a relação existente entre os sólidos arquimedianos e platônicos, além do procedimento matemático truncamento.
Consideramos que os referenciais adotados na pesquisa, Transposição Didática e a Problemática Ecológica de Chevallard (1991) e Registro de Representação Semiótica de Duval (1995), foram pertinentes para nosso estudo.
Com as teorias de Chevallard (1991), pudemos nos aproximar dos saberes matemáticos que entram em associação com o objeto matemático Sólidos Arquimedianos e assim identificar dentre eles, os saberes que determinam a existência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino, bem como analisar ecologicamente as interações entre eles. Assim, foi possível distinguir os diferentes saberes envolvidos no processo de ensino e analisar a transformação do objeto de saber Sólidos Arquimedianos em um objeto a ser ensinado.
Em se tratando dos registros de representação semiótica, constatamos que as construções dos arquimedianos no Cabri 3D só foram possíveis mediante a articulação entre o registro figural dinâmico e um registro discursivo. Desse modo, concordamos com Duval (2002) quando afirma que toda atividade geométrica requer um diálogo contínuo entre a visualização (registro figural) e o discurso (registro discursivo). No trabalho, percebemos que o discurso pode ser realizado por meio do registro de língua natural e do registro algébrico.
Assim, podemos responder nossa questão de pesquisa - O objeto
matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? – considerando as reflexões apresentadas em nossas análises e nessa
parte do trabalho. Diante do que foi apresentado, entendemos que esse ambiente se confirmou como um habitat para o ensino desses sólidos, na medida em que permitiu que as construções dos arquimedianos propostos fossem realizadas, reconhecendo como objetos todos os saberes que determinam a existência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino.
Para finalizar, acreditamos que a relevância de nossa pesquisa foi contribuir para uma reflexão acerca da utilização de meios informáticos em âmbito escolar para resgatar conteúdos matemáticos não mais ensinados. Nesse sentido, acreditamos na importância de outros estudos buscarem o auxílio de novas tecnologias intelectuais para que conteúdos matemáticos adormecidos ou mesmo esquecidos possam voltar a fazer parte do cotidiano escolar.
Como pesquisa futura, tendo em vista o resultado positivo dessa investigação, acreditamos na possibilidade de elaborar e desenvolver uma seqüência de atividades, apoiada nos referenciais teóricos apresentados, no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D para que os Sólidos Arquimedianos sejam explorados e ensinados por meio de suas construções. Deste modo, o saber a ensinar Sólidos Arquimedianos passaria a ter também um status de saber ensinado, o que caracterizaria a segunda transposição didática proposta por Chevallard (1991).
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APÊNDICE A: TRANSFERINDO MEDIDAS NO CABRI 3D
Para utilizar a ferramenta transferência de medidas do Cabri 3D, mostrada na Figura 128, é necessário indicar a medida que se deseja transferir e uma semi-reta. A Figura 129 mostra a transferência de uma medida para uma semi-reta de origem um vértice do cubo, e em seguida é omitida com o recurso esconder/mostrar.
Figura 128. Ferramenta transferência de Medidas.
Figura 129. Transferindo medidas.
Podemos transferir qualquer medida. Para isso, como mostram as Figuras 130 e 131, podemos obtê-la com as ferramentas distância ou comprimento (ou digitando um valor na calculadora, conforme mostra a Figura 130.
Figura 130. Ferramentas distância e comprimento.
APÊNDICE B: APLICANDO O TEOREMA DE TALES NO
CABRI 3D
Utilizando o teorema de tales podemos dividir um segmento qualquer em n partes iguais. Esse procedimento é mostrado no Cabri 3D para dividir um segmento em três partes iguais como segue.
Com a ferramenta semi-reta, mostrada na Figura 132 traçamos uma semi- reta AD, conforme indica a Figura 133.
Figura 132. Ferramenta semi-reta.
Figura 133. Criação semi-reta.
Na semi-reta AD, com a ferramenta ponto, mostrada na Figura 134, marcamos um ponto qualquer que chamaremos de P1, conforme é indicado na
Figura 134. Ferramenta ponto.
Figura 135. Ponto 1 na semi-reta.
Com a ferramenta esfera, indicada na Figura 136, construímos uma esfera com centro em P1 e raio P1A para encontrar P2, o ponto de intersecção
entre a esfera e a semi-reta AD. Em seguida, outra esfera é construída com centro em P2 e raio P2P1 para encontrarmos P3, conforme mostra a Figura 137.
Figura 137. Ponto 2 e ponto 3 na semi-reta.
Com a ferramenta segmento, mostrada na Figura 138, traçamos o segmento P3B, conforme mostra a Figura 139.
Figura 138. Ferramenta segmento.
Com a ferramenta paralela, mostrada na Figura 140, traçam-se duas retas paralelas ao segmento P3B, passando por P1 e P2, para encontrar P1’ e P2’, os
pontos de intersecção com a aresta AB, conforme mostra a Figura 141. Assim temos que A P1’ Ξ P1’ P2’ Ξ P2’ P3’.
Figura 140. Ferramenta paralela.
Figura 141. Criação paralelas.