Após falarmos da aritmetização que Gödel propõe para um determinado sistema axiomático, o de Dedekind-Peano, estamos aptos a falar sobre a sentença G 124. A genialidade do argumento é justamente a de produzir uma sentença formal rigorosamente construída no cálculo aritmético equivalente à idéia da seguinte sentença em linguagem informal:
72 G: “A sentença G não é um teorema do sistema” – (notemos que a
sentença G é o nome dessa mesma que acabamos de relatar. Ela fala de si mesma!)
Antes de entrarmos em alguns de seus detalhes técnicos, reflitamos: A sentença G é ou não um teorema do sistema?
Se considerarmos que sim, haverá uma demonstração formal para ela (uma seqüência específica de fórmulas), e então o que ela diz de si mesma será falso, já que afirma que essa demonstração não existe. O que nos levaria dizer que o sistema formal da aritmética é incorreto 125. Todavia, sabemos que os axiomas da aritmética de Peano são verdadeiros, e sua formalização possui, sim, a propriedade da corretude 126.
Resta-nos a hipótese de que a sentença G não seja um teorema e, assim, seja verdadeira. O que concluímos então? Se ela é verdadeira, e, como diz de si, não demonstrável, a aritmética de Peano só pode ser incompleta.
Podemos pensar também no caso de ela ser inconsistente. Nesse caso, sendo trivial, é óbvio que terá como teorema até mesmo a sentença G. Portanto, se a aritmética de Peano é consistente, ela é incompleta.
Gödel construiu a propriedade Dem(x,y) que expressa exatamente: A relação aritmética que encontramos entre o número de Gödel (x) de uma seqüência de fórmulas e o número de Gödel (y) da última fórmula desta seqüência.
125 Lembremos que a corretude é a propriedade de um sistema ter garantido que, se seus axiomas forem verdadeiros, então seus teoremas também o serão.
126
Sabemos que a aritmética de Peano fora formalizada com o cálculo de predicados de primeira ordem, e esse cálculo, por sua vez, é comprovadamente correto. Cf. BARWISE, ETCHEMENDY, Language,
73 Por exemplo:
se x = × × × ×
Então, para que o par (x,y) possua a propriedade Dem x e y devem ser números de Gödel.
Cada deve ser um número de Gödel. E y = .
Notemos que Dem(x,y) expressa tanto uma propriedade aritmética quanto meta-aritmética. Enquanto propriedade aritmética, a fórmula não está dizendo nada mais de que ‘y é um fator de x’. Por outro lado, em sentido meta- aritmético, é o mesmo que dizer que ‘x é uma demonstração para y’, ou ‘a seqüência de fórmulas com número de Gödel x é uma prova da fórmula com número de Gödel y’. Estamos prontos para falar da sentença G em termos um pouco mais técnicos:
G: ∀x¬Dem(x,ng(G))
Ela pode ser lida assim “não existe nenhum número x que esteja na relação Dem com o número de Gödel de G”. Em sentido meta-aritmético, o que ela expressa? Ela está afirmando que não existe demonstração para a sentença cujo número de Gödel é G. O que é ng(G)? É uma abreviação para o número de Gödel correspondente a essa própria sentença. Esse é um passo da prova que aqui omitimos, mas que é obtido pelo matemático através de uma complexa construção de funções recursivas. Quando mencionamos a ideia de
74 pontos fixos, era a esse ponto do argumento que estávamos nos remetendo 127.
Já raciocinamos que a existência da sentença G implica dizer que a axiomatização da aritmética de Peano é incompleta. Um sistema axiomático ser incompleto, a princípio, não deve causar todo espanto do mundo. Afinal, pode ser que o matemático que trabalhou em sua axiomatização tenha se descuidado em algum ponto e deixado a tarefa inacabada. Mas esse trabalho poderia ser revisado, e o enriquecimento do sistema, o acréscimo de novos axiomas, poderia ser proposto com a finalidade de suprir essa falta 128. Todavia, esse não é o caso. A descoberta de Gödel vai mais além de simplesmente enunciar a incompletude dos axiomas da aritmética; ele, de fato, demonstra que para qualquer acréscimo de novos axiomas seria possível criar, pelos mesmos métodos, uma nova sentença G e igualmente provar a incompletude desse novo sistema. O que nos leva a concluir que a aritmética de Peano não é apenas incompleta, mas incompletável. Essa é a ideia do primeiro teorema de incompletude.
O segundo teorema de Gödel, pode-se dizer, é um corolário desse. Ele é obtido muito rapidamente como uma conseqüência do primeiro teorema. Gödel construiu a seguinte fórmula:
A: ∃y∀x¬Dem(x,y)
Podemos lê-la assim: existe pelo menos um número Gödel y que não está na relação Dem com nenhum número Gödel x. Mas, em termos meta- aritméticos, ela pode ser lida de forma bastante interessante: A aritmética é consistente. Para interpretá-la dessa forma, é preciso lembrar aquilo que dissemos sobre provas absolutas de consistência. Se em sistemas triviais toda
127 Recorde-se o leitor do paradoxo de Epimênides: Os i oi os são se p e e ti osos – mas o orador da frase é minóico. A sentença G se refere a um número Gödel que não possui demonstração, mas o número em questão coincide com o número da sentença.
128 Um ótimo exemplo desse procedimento seria a geometria obtida com os quatro primeiros axiomas de Euclides. Essa teoria é incompleta, como demonstra o fato de o quinto axioma não poder ser derivado delas como um teorema, mas pode se tornar completa caso acrescentemos ele enquanto axioma.
75 fórmula é um teorema, encontrarmos uma única fórmula que não seja teorema, ou seja, demonstrável, significa encontrar uma prova absoluta de que o sistema em pauta é consistente. A sentença A está dizendo que essa fórmula existe. Não é difícil pensarmos que a sentença G satisfaria essa exigência, pois já averiguamos que ela não é demonstrável:
(∃y∀x¬Dem(x,y) (∀x¬Dem(x,ng(G))) Ou
Se A, logo G
Por hora, devemos pensar que esse condicional lógico, “se A, logo G” seja um legítimo teorema do sistema 129. Também pode ser lido “se a aritmética é consistente, então G é demonstrável”. O que acontece se assumirmos que a sentença A é demonstrável? Por Modus Ponens, deveremos assumir que G também seja demonstrável. O que não é. Logo, a sentença A não é demonstrável na aritmética de Peano. Parafraseando: se a aritmética de Peano é consistente, então ela não pode demonstrar a sua própria consistência.
Resumindo:
Primeiro teorema de incompletude: Qualquer sistema formal consistente "S" no qual uma certa quantidade de aritmética elementar pode ser realizada é incompleto no que diz respeito às declarações de aritmética elementar: existem afirmações que não podem ser provadas nem refutadas em "S" 130.
Segundo teorema de incompletude: Para qualquer sistema formal consistente “S” no qual uma certa quantidade de aritmética elementar pode ser
129NAGEL; NEWMAN (Op. cit., p. 83) afirmam que também esta fórmula é demonstrável formalmente. 130FRANZÉN, Op. cit., p. 16 (tradução minha).
76 realizada, a consistência de “S” não pode ser provada no próprio sistema “S” 131.
Os enunciados acima englobam detalhes muito importantes do significado matemático – pertinentes ao significado filosófico – dos teoremas de incompletude. Existem nessas definições a generalização dos resultados na axiomática de Dedekind-Peano para “qualquer sistema formal”; a condição expressa em “uma certa quantidade de aritmética elementar”; além de “no que diz respeito às declarações de aritmética elementar”. Essas condições serão comentadas mais a frente a fim de especificar os alcances do teorema, ou seja, suas limitações, seus usos dentro e fora da aritmética.