3. RESULTS AND ANALYSIS
3.2 AX-S
3.2.3 Identified Performance Influencing factors (PIFs) at the AX-S vessel
Descartes cria a geometria analítica transformando o espaço (figuras geométricas, segmentos de reta, pontos, áreas etc.) em coordenadas numéricas. Em suma, como já sugerido nesse texto, ele reduz a geometria à álgebra, no fundo, à aritmética. O termo que Nagel 114 utiliza para esse tipo de procedimento é mapeamento ou espelhamento 115. “A feição básica do mapeamento é que se pode provar que uma estrutura abstrata de relações incorporadas em um domínio de “objetos” também vale entre “objetos” (em geral de uma espécie diferente do primeiro conjunto) de outro domínio” 116. Gödel realiza um procedimento análogo. Ele toma a linguagem lógica expressa nos Principia Mathematica de Russell e Whitehead, juntamente à axiomatização da aritmética realizada por Dedekind e Peano, e produz um mapeamento dentro do conjunto dos números naturais, a partir da aritmética. Como já dissemos, a utilidade dos Principia Mathematica está em essa obra prover uma maneira objetiva e unívoca de se expressar enunciados lógicos.
As línguas naturais, mesmo munidas de vocabulários técnicos, são sujeitas a abrir margem a compreensões equívocas. Não seria possível fazer um mapeamento de uma linguagem natural mesmo que se aceite que ela venha ser suficientemente precisa, pois ainda resta a questão de que se pode haver precisão utilizando-se formatos diferentes da fala. A linguagem contida nos Principia permite que se tenha não apenas precisão, mas um jeito mecânico de se levar a informação determinada. Todas as operações nas linguagens formais são mera manipulação simbólica a partir de regras estabelecidas – o que não ocorre nas linguagens naturais. Existe a segurança de que a língua está se “comportando” de maneira premeditada e mensurável. Essa mensuração da língua será importante para Gödel, pois os axiomas de Dedekind-Peano, escritos nessa linguagem, serão codificados em números naturais. A codificação de Gödel opera no formato de uma lista, que, aliás, é muito semelhante à de Richard. Gödel estabeleceu um método para atribuir
114
NAGEL; NEWMAN, Op. cit., p. 60.
115 O termo isomorfismo também poderia ser adequado. 116 NAGEL; NEWMAN, Op. cit., p. 60.
64 mecanicamente um único número a toda sentença formalizada na linguagem da aritmética de Peano. Ele construiu um método original de mapeamento.
Chamemos esse mapeamento de aritmetização de Gödel. O que ele aritmetiza, analogamente ao que Descartes fez com a geometria? Ele aritmetiza um sistema axiomático. O curioso é que esse sistema axiomático é um que foi proposto para a própria aritmética. A inspiração richardiana desse procedimento está justamente na sugestão de que “seja possível “mapear” ou “espelhar” enunciados metamatemáticos sobre um sistema formal suficientemente compreensivo no próprio sistema” 117. Na atmosfera do programa de Hilbert, Gödel construirá um argumento que “flerta” com as provas absolutas de consistência, pois não recorre a outras áreas do conhecimento matemático, senão à própria aritmética como prova para enunciados meta- aritméticos. Muito próximo daquilo que Hilbert planejava para com a aritmética finitária.
Algumas coisas podem ser ditas sobre os paradoxos de Richard e do Mentiroso em consideração a uma importante fórmula dos teoremas de incompletude chamada de sentença G. Falaremos dessa sentença mais à frente. Segundo Nagel 118, o paradoxo de Richard comporta uma falácia em seu raciocício, e a mesma crítica pode ser estendida ao paradoxo do mentiroso. A propriedade de ser richardiano é uma propriedade da notação das definições, e não dos próprios números. Essa propriedade não deveria estar elencada. Violar-se-ia, com isso, as próprias regras estabelecidas para a construção da lista. Há uma sutil confusão entre as linguagens que estão sendo utilizadas. “Ser richardiano” não seria uma propriedade aritmética, pois não pode ser definida em termos aritméticos. O número de caracteres, da linguagem natural, contidos em uma sentença aritmética, só aparentemente é uma propriedade aritmética. Não é difícil perceber que, se num momento está a se falar sobre números cardinais, em outro serão propriedades lingüísticas que participarão da definição. Trata-se, na verdade, de um pseudo-paradoxo, pois a propriedade “ser richardiano” não é definível nos termos do sistema. Para tanto, devemos compreender que definir uma propriedade em um determinado
117Idem.
65 sistema é uma tarefa que deve incontornavelmente “respeitar” as limitações formais do mesmo. Uma propriedade deve ser, antes de mais nada, computável dentro do sistema. Computabilidade é o termo utilizado para expressar a ideia de que algum procedimento só poderá ser realizado dentro do sistema formal caso obedeça exclusivamente à regras formais. Nem toda propriedade que a imaginação descreve pode ser traduzida como uma fórmula de um dado sistema. “Ser richardiano” não é uma propriedade computável dentro da aritmética, mas veremos que a originalidade de Gödel com os seus teoremas é a de criar uma maneira de tornar computável propriedades meta- aritméticas dentro da própria aritmética.
Gödel produziu em sua prova uma fórmula que faria um papel semelhante à “ser richardiano”, com a diferença de que ela estaria no nível da aritmética, e não no da meta-aritmética. As duas idéias fundamentais de sua prova são as idéias de Mapeamento e de Auto-referência (ou suposta auto- referência 119). Ele construiu um mapeamento entre seqüências de símbolos e os números naturais. Assim, informações contidas no primeiro grupo são passadas univocamente para o segundo, o que nos permite dizer que certas propriedades simbólicas são igualmente transformadas em propriedades aritméticas.
Seqüências
de símbolos ⇔ Números naturais
propriedades simbólicas ⇔ propriedades aritméticas
Esse mapeamento possibilita ao matemático algo bastante interessante, que é o mapeamento entre propriedades aritméticas e propriedades meta-aritméticas.
Propriedades
aritméticas ⇔ Metaritméticas Propriedades
119 Conforme FRANZÉL (Op. cit., p. 44-46).
66 (sobre os
números) propriedades) (sobre as
A)
Ser primo é uma propriedade de números.
Com essa propriedade podemos criar a seguinte proposição
aritmética: ‘Existem infinitos números primos’. B)
Ser demonstrável é uma propriedade de propriedades.
Com essa propriedade de propriedades podemos construir a seguinte proposição meta-aritmética: “ ‘existem infinitos números primos’ é uma sentença demonstrável”.
Já vimos que a prova de Gödel depende da formalização da aritmética de Peano, posto que, para ser possível um mapeamento, é necessário que essa aritmética seja expressa em um sistema de símbolos manipuláveis por meio de regras bem definidas 120. Veremos alguns exemplos de como algumas sentenças aritméticas podem ser expressas em uma linguagem formal.
a) A propriedade aritmética ‘o número 16 é um quadrado perfeito’ é descrita pela seqüência de símbolos:
∃y(y.y=16)
O que pode ser lido como: existe um número y, tal que y vezes y é igual a 16. Alerto o leitor de que o seguinte exemplo é muito importante para o que se seguirá.
120 O sistema mg é o nosso exemplo de como um aparato simbólico pode se comportar de forma mecanicamente calculada.
67 b) A propriedade meta-aritmética: “ ‘a existência de números que são quadrados perfeitos’ é demonstrável na aritmética de Peano” é uma propriedade (relação) simbólica entre a seqüência de símbolos ∃x∃y(y.y=x) e duas seqüências de seqüências de símbolos: os axiomas e regras da AP e uma seqüência P (a prova formal da propriedade).
Leiamos a segunda: existe um número x e um número y, sendo que y vezes y é igual a x. Na primeira, o que se pretende dizer é que 16 é um quadrado perfeito. Na segunda, o que se quer afirmar é que, de todos os números naturais, existem casos de quadrados perfeitos. Existe mais coisa. A propriedade meta-aritmética é “ser demonstrável”. Uma demonstração, como já explicamos, é uma seqüência de fórmulas. Vamos substituir a fórmula ∃x∃y(y.y=x) por uma letra, por exemplo C. Como indicado no exemplo, a propriedade “ser demonstrável” é uma propriedade simbólica entre seqüências simbólicas. Para ilustrar, diríamos que uma prova P poderia ser: P = {A, B, C}. Ou seja, se for possível escrever toda essa cadeia simbólica como se fosse uma única fórmula, então podemos dizer que ∃x∃y(y.y=x) tem a propriedade de ser demonstrável. Ora, uma seqüência de símbolos como essa é expressável pela aritmetização de Gödel. Assim, podemos concluir que tanto fórmulas aritméticas quanto meta-aritméticas podem ser definíveis. Para ilustrar a distinção entre os níveis de linguagem, imaginemos que essas fórmulas respondem a perguntas fundamentalmente distintas:
∃y(y.y=16) ∃x∃y(y.y=x) é demonstrável
O número 16 tem a propriedade de ser um quadrado perfeito?
A fórmula ‘existe a propriedade de ser um quadrado perfeito’ tem a propriedade de ser demonstrável? Propriedade aritmética Propriedade meta-aritmética
68 A técnica que Gödel inventa possibilita que, a partir de seu mapeamento, ele possa expressar fórmulas da meta-aritmética dentro da aritmética. Como vimos, é exatamente nisso que o paradoxo de Richard erra, pois a propriedade de ser um número richardiano, na verdade, não é expressável na aritmética, não deveria estar em sua lista. ‘Ser demonstrável’, no mapeamento de Gödel, é construível adequadamente. Para a sua prova, essa propriedade meta-aritmética é essencial.
Gostaríamos que o leitor tivesse alguma noção de como a aritmetização de Gödel funciona. Nosso primeiro passo será ilustrar a sua maneira de fazer corresponder cada símbolo de uma linguagem formal a um número natural. A seguinte tabela servirá como exemplo:
Símbolos
constantes Num. de Gödel
¬ 1 2 3 4 ∃ 5 ∀ 6 = 7 0 8 S 9 ( 10 ) 11 , 12
Perceba o leitor que para cada símbolo da linguagem equivale um único número. Chamemos de número de Gödel os números naturais que correspondem a algum símbolo ou fórmula da linguagem. Esses símbolos são chamados constantes, e estão entre eles operadores lógicos (¬, , , ) e
69 quantificadores (∃, ∀), dentre outros. Não é nosso interesse aqui dar ao leitor uma explicação detalhada sobre como funcionam esses símbolos dentro da linguagem formal. Queremos apenas dar a noção do nível de detalhamento e formalidade que fazem parte do processo.
Esses não são os únicos símbolos. Ainda existem aqueles que chamamos de variáveis. É preciso uma quantidade infinita desses símbolos para compor a linguagem:
Símbolos Variáveis Números de Gödel variáveis numéricas , , , ,... 13, 17, 19, 23... Variáveis sentenciais , , , ,... , , , ... Variáveis predicativas , , , ,... , , , ...
Aqui o raciocínio começa a mudar. As variáveis numéricas, aquelas que utilizamos quando quisermos nos referir a algum número sem mencioná-lo diretamente, deverão seguir uma seqüência diferente. Cada variável numérica possuirá como seu representante respectivamente um número primo conforme indicado. As variáveis sentenciais, aquelas utilizadas para substituir fórmulas, serão enumeradas igualmente com números primos, com a diferença de que agora eles serão elevados à segunda potência. As variáveis predicativas, aquelas que substituem os predicados dentro das fórmulas, receberão números primos elevados à terceira potência. Agora vejamos na prática como funciona a enumeração de Gödel. Tomemos, por exemplo, a seguinte fórmula ∃
( =s ) – existe um , tal que esse é igual ao sucessor 121 de . Parafraseando, é o sucessor de Não apenas os símbolos da linguagem
devem possuir um único número Gödel que os represente, mas todas as fórmulas ou conjuntos de fórmulas também. Que regra aplicaremos para
70 conseguir isso? Ao observarmos a tabela abaixo, veremos que cada símbolo da fórmula é primeiramente transformado em um número. De acordo com nossas tabelas anteriores, já sabemos quais números equivalem em cada situação. O que faremos agora é pegar em seqüência cada um desses números obtidos e transformá-los sucessivamente em potências de números primos a começar pelo número 2. A última linha nos dará a seqüência de números que teremos de multiplicar para obter nosso número de Gödel final.
∃ ( =s ) ∃ ( = S ) 5 13 10 13 7 9 17 11
Por se tratar de um número muito extenso o representaremos apenas pela letra n. Duas perguntas devem surgir nesse momento. Através desse procedimento podemos transformar seqüências de símbolos em um único número, mas depois que esse número é obtido, é possível recuperar os símbolos originais? A resposta é sim. Com um pouco de habilidade é possível fatorar o número Gödel final exatamente na seqüência de números da última linha da tabela. Basta reconhecer em seguida que as potências desses números equivalem em sua ordem àquela dos símbolos originais. A outra pergunta é: como saber se duas fórmulas diferentes não nos levariam ao mesmo número Gödel? Nossa garantia seria o que é chamado de Teorema fundamental da Aritmética, que podemos enunciar da seguinte maneira: todo número composto122 possui uma única decomposição123 em fatores primos. Ou
122 Um número natural é composto quando possui mais de dois divisores naturais distintos. Devem ser contrastados com os números primos, que possuem apenas dois divisores: o número 1 e o próprio número. P.e., o número 10 pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10 – é, portanto, um número composto; o número 13 só pode ser dividio por 1 e 13, assim sendo um número primo.
123
Denominamos fatoração ao ato de decompor um número natural em um produto de fatores primos. P.e. a fatoração do número 195 seria (não existe outra maneira de fatorá-lo!); a fatoração do número 37 seria o próprio 37 – observemos que todos os números (3, 5, 13, 37) são primos.
71 seja, fatorar um número Gödel leva inevitavelmente a uma única fórmula da linguagem formal e vice versa. Por isso é chamado de mapeamento.
Ainda precisamos explicar o que fazer quando temos uma demonstração, seqüência de seqüência de símbolos. O procedimento é igualmente simples. Para obtermos um número Gödel correspondente a uma demonstração, multiplicarmos os números Gödel das fórmulas da mesma forma que fizemos com os símbolos. Aceitemos que as duas fórmulas abaixo sejam a demonstração de ∃ ( = s0) – que pode ser lido “o número 0 possui um sucessor”. Portanto, chamemos o número de Gödel dessa demonstração de d. Esse número d possui uma única fatoração que, logicamente, contém como elementos dessa fatoração os números que fatoram N e M. O número d, portanto, guarda as informações de N e M.
Prova ng das sentenças Ng da prova ∃ ( =s ) N = d ∃ ( =s0) M