Consideremos agora a equa¸c˜ao n˜ao linear f (x) = 0
onde f denota uma fun¸c˜ao real de vari´avel real, cont´ınua num intervalo fechado [a, b] de R. Se f (a)f (b) < 0 ent˜ao, o teorema do valor interm´edio garante a existˆencia de uma raiz real de f (x) = 0 em (a, b). Sabemos, tamb´em, que se para al´em disso f0 n˜ao muda de sinal em (a, b) ent˜ao, a equa¸c˜ao tem uma ´unica raiz nesse intervalo.
Um m´etodo para a determina¸c˜ao das ra´ızes de uma equa¸c˜ao n˜ao linear ´e o m´etodo da Secante.De seguida apresenta-se a descri¸c˜ao deste m´etodo.
B.2. EQUAC¸ ˜OES N ˜AO LINEARES 143 xn−1 y =f( x) xn + 1 xn y x
Figura B.2: M´etodo da Secante.
Dadas duas aproxima¸c˜oes iniciais x0 e x1 para a raiz α de f (x) = 0, o valor de x2 ´e a
abcissa do ponto de intersec¸c˜ao da secante que passa em (x0, f (x0)) e (x1, f (x1)) com o
eixo dos xx. O processo ´e repetido com as aproxima¸c˜oes x1e x2e assim sucessivamente.
Na figura B.2 ´e apresentada a interpreta¸c˜ao geom´etrica deste m´etodo para um passo. Como
y = f (xn) +
f (xn) − f (xn−1)
xn− xn−1
(x − xn)
´e a equa¸c˜ao da recta que passa em (xn−1, f (xn−1)) e (xn, f (xn)), ter-se-`a, ent˜ao, a
seguinte forma iterativa para o m´etodo da secante xn+1 = xk−
xn− xn−1
f (xn) − f (xn−1)
f (xn) , n = 1, 2, . . . (B.9)
x0, x1 dados (B.10)
Este m´etodo tem ordem de convergˆencia p = 1+
√ 5
2 > 1, sendo, portanto, de con-
vergˆencia superlinear. Tem a vantagem de n˜ao necessitar do c´alculo das derivadas e de em cada itera¸c˜ao necessitar de apenas um valor de f , com excep¸c˜ao da primeira itera¸c˜ao em que s˜ao necess´arios dois. Uma desvantagem deste m´etodo ´e ser de con- vergˆencia local, i.e., as aproxima¸c˜oes iniciais tˆem de estar suficientemente pr´oximas da raiz para haver convergˆencia.
Apˆendice C
Conceitos de C´alculo Diferencial
e Integral
Neste apˆendice s˜ao apresentados alguns resultados de C´alculo Diferencial e Integral uti- lizados ao longo da disserta¸c˜ao, que podem ser encontrados, por exemplo, em (Apostol, 1991) e (Tveito e Winther, 1998).
C.1
Campos Escalares e Vectoriais
Considerem-se fun¸c˜oes com dom´ınio no espa¸co n-dimensional Rn e contradom´ınio no
espa¸co m-dimensional Rm.
- Quando n = m = 1, a fun¸c˜ao diz-se uma fun¸c˜ao real de vari´avel real.
- Quando n = 1 e m > 1, a fun¸c˜ao diz-se uma fun¸c˜ao vectorial de uma vari´avel real.
- Quando n > 1 e m = 1, a fun¸c˜ao diz-se uma fun¸c˜ao real de uma vari´avel vectorial ou, mais sucintamente, um campo escalar.
- Quando n > 1 e m > 1, a fun¸c˜ao diz-se uma fun¸c˜ao vectorial de uma vari´avel vectorial ou, mais sucintamente, um campo vectorial.
Note-se que as componentes dum campo vectorial s˜ao campos escalares.
Nota¸c˜ao: Os escalares ser˜ao representados com letra de tipo corrente, e os vectores com letra a negrito. Assim, se f ´e um campo escalar definido no ponto x = (x1, . . . , xn)>
de Rn, f (x) e f (x1, . . . , xn) representam o valor de f no ponto x. Por outro lado, se
f ´e um campo vectorial escrevemos f (x) ou f (x1, . . . , xn) para representar o valor da
fun¸c˜ao em x.
O produto interno de dois pontos x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de Rn, ´e definido
como x · y = n X i=1 xiyi (C.1)
Defini¸c˜ao C.1 (Gradiente de um campo escalar) Dado um campo escalar f : D ⊂ Rn −→ Rm e a ∈ D◦, chama-se gradiente de f no ponto a a um vector de Rn cujas componentes s˜ao as derivadas parciais de f em a. Pode representar-se por gradf (a), ou por ∇f (a), em que o operador diferencial ∇ ´e definido por
∇ = ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , . . . , ∂ ∂xn Assim, ∇f (a) = ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , . . . , ∂f ∂xn (a)
No espa¸co bidimensional o vector gradiente escreve-se muitas vezes ∇f (x) = ∂f (x)
∂x i + ∂f (x)
∂y j onde x = (x, y).
No espa¸co tridimensional o vector gradiente escreve-se ∇f (x) = ∂f (x) ∂x i + ∂f (x) ∂y j + ∂f (x) ∂z k onde x = (x, y, z).
Sejam f e g dois campos escalares diferenci´aveis, temos as seguintes propriedades do gradiente:
1. ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g, ∀α, β ∈ R, ou seja, o gradiente ´e uma transforma¸c˜ao linear, cujo n´ucleo ´e formado pelas fun¸c˜oes constantes.
C.1. CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS 147 2. ∇(f g) = f ∇g + g∇f 3. ∇ f g = g∇f − f ∇g
g2 , nos pontos em que g 6= 0
Defini¸c˜ao C.2 (Fun¸c˜ao potencial) Se um campo vectorial f ´e o gradiente de um campo escalar ϕ, ent˜ao ϕ chama-se uma fun¸c˜ao potencial para f .
Defini¸c˜ao C.3 (Integral de linha) Seja α uma linha seccionalmente regular no espa¸co n dimensional definido num intervalo [a, b], e seja f um campo vectorial definido e li- mitado sobre o gr´afico de α. O integral de linha de f ao longo de α representa-se pelo s´ımboloR f .dα e define-se por
Z
f .dα = Z b
a
f [α(t)].α0(t)dt,
sempre que o integral do segundo membro existe, quer como integral pr´oprio ou integral impr´oprio.
Condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que um campo vectorial seja um gradiente
Teorema C.1 Seja f um campo vectorial cont´ınuo num conjunto conexo aberto D de Rn, ent˜ao s˜ao equivalentes as trˆes proposi¸c˜oes seguintes:
(a) f ´e o gradiente de alguma fun¸c˜ao potencial em D.
(b) O integral de linha de f ´e independente da linha considerada em D.
(c) O integral de linha de f , ao longo de qualquer linha fechada seccionalmente regular contida em D, ´e zero.
Condi¸c˜oes necess´arias para que um campo vectorial seja um gradiente Teorema C.2 Seja f = (f1, f2, . . . , fn) um campo vectorial continuamente diferenci´avel
num conjunto aberto D de Rn. Se f ´e um gradiente em D, ent˜ao as derivadas parciais das componentes de f est˜ao relacionadas pelas f´ormulas
∂fi
∂xj
= ∂fj ∂xi
Defini¸c˜ao C.4 (Ponto de estacionaridade) Um ponto a ∈ int(D) diz-se um ponto de estacionaridade ou um ponto cr´ıtico de f se e s´o se todas as primeiras derivadas parciais de f se anularem em a.
Defini¸c˜ao C.5 (M´aximo absoluto e relativo) Diz-se que um campo escalar f tem um m´aximo absoluto num ponto a ∈ D de Rn se
f (x) ≤ f (a)
para todo x em D. O m´ınimo f (a) chama-se o valor m´aximo absoluto de f em D. A fun¸c˜ao f diz-se ter um m´aximo relativo em a se a desigualdade anterior ´e satisfeita para todo x pertencente a uma certa n−bola B(a) de D.
De forma an´aloga se define m´ınimo absoluto e m´ınimo relativo.
Defini¸c˜ao C.6 (Extremo) Um n´umero que seja quer m´aximo relativo ou m´ınimo relativo de f chama-se extremo de f .
Defini¸c˜ao C.7 (Ponto de sela) Um ponto de estacionaridade de f diz-se um ponto de sela se toda a n−bola B(a) cont´em pontos x tais que f (x) < f (a) e outros para os quais f (x) > f (a).
Considere-se a matriz Hessiana de f no ponto de estacionaridade a:
H(a) = ∂2f ∂x21 ∂2f ∂x∂ 1x2 . . . ∂ 2f ∂x1∂xn ∂2f ∂x2∂x1 ∂2f ∂x2 2 . . . ∂ 2f ∂x2∂xn . . . . ∂2f ∂xn∂x1 ∂2f ∂xn∂xn . . . ∂ 2f ∂x2 n (a)
A natureza dos pontos de estabilidade determinada pelos valores pr´oprios da matriz Hessiana
Teorema C.3 Se f ´e um campo escalar com derivadas de segunda ordem cont´ınuas numa n-bola B(a), e H(a) representa a matriz Hessiana num ponto de estacionari- dade a, ent˜ao tem-se:
C.2. EQUAC¸ ˜OES DE DERIVADAS PARCIAIS 149 (a) Se todos os valores pr´oprios de H(a) s˜ao positivos, f tem um m´ınimo relativo
em a;
(b) Se todos os valores pr´oprios de H(a) s˜ao negativos, f tem um m´aximo relativo em a;
(c) Se H(a) tem valores pr´oprios positivos e negativos, ent˜ao f tem um ponto de sela em a.
Crit´erio das derivadas de segunda ordem para extremos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis
Teorema C.4 Seja a um ponto de estacionaridade de um campo escalar f (x1, x2)
admitindo derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas numa 2-bola B(a) e sejam A = ∂ 2f (a) ∂x21 , B = ∂2f (a) ∂x1∂x2 , C = ∂ 2f (a) ∂x22 e ∆ = det H(a) = A C − B2 Ent˜ao verifica-se:
(a) Se ∆ < 0, f admite um ponto de sela em a;
(b) Se ∆ < 0 e A > 0, f admite um m´ınimo relativo em a; (c) Se ∆ < 0 e A < 0, f admite um m´aximo relativo em a; (d) Se ∆ = 0, o crit´erio n˜ao ´e conclusivo.