A Matemática de Guelli é apresentada em três volumes para alunos da 1ª série à 3ª série do Ensino Médio. O autor coloca no manual do professor ao final do livro que esta coleção procura apresentar todos os conceitos matemáticos do Ensino Médio de um modo simples, direto e sem artifícios, porém perseguindo firmemente dois objetivos fundamentais:
1. Os exercícios que os alunos vão trabalhar foram organizados numa seqüência extremamente cuidadosa e detalhista, dos mais simples aos que exigem maior capacidade de interpretação e imaginação, e que conduzem à compreensão prática e efetiva de conceitos matemáticos. 2. Foi dada grande ênfase aos problemas que tratam da vida e do trabalho
das pessoas, e que, para sua discussão, requeiram a aplicação de conceitos matemáticos.
1ª série:
O livro é dividido em unidades, já na Unidade 1 encontramos o tópico: “O Plano de Coordenadas” dentre os temas trabalhados nesse tópico, estão a declividade de um segmento, como descrever uma reta com uma equação e aplicações da equação da reta.
Declividade de um Segmento
Temos como parte integrante do livro o Manual do Professor os objetivos do autor para se trabalhar o tópico “Declividade de um Segmento”. Segundo ele, o objetivo do tema é que o aluno seja capaz de interpretar o significado do número que expressa a declividade de um segmento não vertical; de interpretar o significado do sinal da declividade de um segmento não vertical nem horizontal e de determinar a declividade de uma reta não vertical.
O autor inicia o tema “Declividade de um segmento”, com uma breve explicação de que um segmento é horizontal se a reta que a contém é horizontal, um segmento é vertical se a reta que a contém é vertical. Depois a idéia de declividade é dada através de alguns segmentos no plano cartesiano. (ver figura 8)
Figura 8: Idéia de declividade (p. 14)
Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Os autores mostram a seguir, que a declividade m, para um segmento não vertical é dado pela fórmula
2 1 2 1 x x y y m − − = .
A partir da apresentação da fórmula são trabalhadas algumas observações, como o caso da reta ser vertical, implicando, neste caso, em se ter o denominador igual a zero, e então a fórmula da declividade não apresentar um número; o caso do segmento ser horizontal, e assim a declividade ser igual a zero, pois o numerador é igual a zero, o autor traz em seguida a seguinte informação: se um segmento se eleva da esquerda para a direita, a declividade é positiva; se se eleva da direita para a esquerda, a declividade é negativa (p.15). (grifo nosso)
Acreditamos que essa informação é incorreta já que: se um segmento se eleva da esquerda para a direita será obtido um ângulo obtuso formado pela reta com o sentido positivo do eixo Ox, assim ela estará em sentido decrescente, portanto sua declividade será negativa. Já no caso se se eleva da direita para a esquerda obteremos um ângulo agudo formado pela reta com o sentido positivo do eixo OX, assim a reta estará crescente, portanto sua declividade será positiva.
Concordamos ainda que esse tipo de informação, exposta sem nenhuma justificativa ou prova que a valide poderá induzir o aluno a uma
memorização, pois, ele não obtém nesse tipo de informação subsídios necessários para entende-la.
Os autores dão um exemplo de como calcular a declividade de um segmento de extremidades A (2,1) e B(6,4), aplicando a fórmula dada anteriormente.
Como podemos perceber o autor já no exemplo, primeiro momento em que o aluno se inspirará para resolver os exercícios propostos, foca o cálculo e a aplicação da fórmula, sem que se justifique ou analise o resultado.
Cabe destacar que em nenhum momento é trabalhado nem comentado que o coeficiente angular da reta é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α, como também não se faz nenhuma menção sobre a Taxa de Variação Média.
Neste tema, o autor trabalha com conteúdos sistematizados, ou seja, por meio de definições, propriedades e fórmulas, sem trabalhar com prova ou iniciação a ela e sem estimular a participação ou envolvimento ativo do aluno.
Os exercícios subseqüentes à introdução do tema declividade, utilizam em sua resolução apenas a fórmula dada anteriormente
2 1 2 1 x x y y m − − = , da
mesma maneira como foi trabalhado no exemplo (que deveria ser apenas um exemplo e não uma regra a ser seguida), como se fossem exercícios de: siga o que foi feito, sem que o aluno precise analisá-los para resolvê- los.
Tal resolução, ao nosso ver não desperta a vontade do aluno de investigar, argumentar ou questionar como provar os resultados obtidos nos exercícios propostos, já que eles não apresentam nenhuma situação na qual o aluno se sinta motivado para isso.
Outras atividades trabalham a idéia que: numa reta não vertical, aos sucessivos aumentos iguais nas abscissas de seus pontos correspondem sucessivos aumentos iguais nas ordenadas dos mesmos. Ressaltamos que esta idéia não foi trabalhada na definição fato este que leva o aluno a analisar a situação e levantar conjecturas, já que não se trata simplesmente de aplicar a fórmula.
Figura 9: Exercício sobre declividade (p. 15) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Como descrever uma reta com uma equação
No Manual do Professor encontramos os objetivos do autor para se trabalhar agora com o tópico “Como descrever uma reta com uma equação”, segundo ele o objetivo do tema é que o aluno seja capaz de descrever uma reta no plano cartesiano mediante uma equação; descrever uma reta mediante diferentes formas de equações e descrever uma reta vertical por meio de uma equação.
O autor inicia o tema trabalhando com a razão de duas distâncias, mas sem especificar quais são essas distâncias e sem mencionar que ele está considerando a distância entre dois pontos distintos do plano cartesiano, e que a distância entre eles é a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades.
“Se um segmento tem declividade positiva, a declividade é a razão de duas distâncias; tem-se declividade negativa, a declividade é o oposto de uma razão de duas distâncias”. (p.16)
Figura 10: Razão entre duas distâncias (p.16) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Mas, novamente, o autor apenas apresenta a fórmula sem estimular o aluno a analisar e interpretar o gráfico acima, de forma que ele aprenda a partir de suas construções.
Seguindo o plano de aula e com o conhecimento acima (fig.10) o autor mostra, através de semelhança de triângulos utilizando uma linguagem formal (fig. 11 e 12) que, se uma reta não é vertical, todos os segmentos têm a mesma declividade e utiliza apenas a representação figural para especificar quais são esses segmentos e que eles estão contidos numa reta não vertical.
Figura 11: Representação figural (p.16) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Figura 12: Representação figural (p.17) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Mais uma vez o autor expõe os conceitos e procedimentos, com alguns exemplos e problemas resolvidos, e assim propõe exercícios de aplicação sem estimular a participação do aluno na aquisição do conhecimento.
Ele segue com a idéia de declividade para escrever a equação de uma reta, que passa por um ponto (x1, y1), apresentando a fórmula y− y1 =m
(
x−x1)
e aplicando-a imediatamente no exemplo abaixo:“Para determinar a equação da reta que passa por A(1,2) e B(2,5),
determinamos a declividade de AB:
Figura 13: Exemplo de como determinar a equação da reta (p.17) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Com a resposta do exemplo anterior o autor mostra de maneira sucinta como expressar a equação de uma reta na forma de ponto e declividade, na forma reduzida e na forma geral.
Os exercícios que seguem no texto trabalham com a aplicação da fórmula y−y1 =m
(
x−x1)
de duas maneiras: quando é fornecido a declividade (m) e um ponto, e quando são fornecidos dois pontos. Até que um exercício(fig.14) pede ao aluno, que demonstre a equação da reta r dada por + =1
b y a x
, sem ter-se trabalhado antes com exemplos genéricos para que, assim, o aluno progredisse paulatinamente em direção a uma prova.
Acreditamos que como esse exercício (fig.14) foi proposto há um “salto” informacional de aplicação de fórmulas para um raciocínio dedutivo.
Exemplo:
Figura 14: Exercício de prova (p.19) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série
Aplicações da equação da reta
O autor inicia o tema “Aplicações da equação da reta” já com um exemplo (fig.15), representado abaixo:
“O gerente de vendas de uma loja de materiais esportivos fez um gráfico das receitas em reais obtidas em seis anos de funcionamento e observou que os pontos se encontram aproximadamente em linha reta”:
Figura 15: Aplicações da equação da reta (p.20) Fonte: livro: “Matemática” -Guelli - 1ª série
Usando os pontos relativos ao primeiro e ao sexto ano, ele determinou uma equação que expressa uma estimativa para as vendas dos próximos anos. Na seqüência, são apresentados 5 exercícios semelhantes ao exemplo, descrevendo situações que se apresentam em Economia para que sejam determinadas equações que expressem estimativas.
O autor nesse tópico apresenta exercícios ou questões contextualizadas com o objetivo de fixar os conhecimentos estudados no tema anterior.
Paralelismo
Já, sobre o estudo de paralelismo, apenas um exercício (fig.16) é proposto considerado este de revisão, não verificamos em nenhuma parte do livro o trabalho com a condição “se duas retas não verticais são paralelas então os seus coeficientes angulares são iguais”.
Figura 16: Exercício de revisão – Paralelismo Fonte: livro: “Matemática” -Guelli - 1ª série
2ª série:
O livro não trabalha com nenhum tópico de Geometria Analítica em seu conteúdo explicativo nem faz abordagem alguma em nenhum momento sobre a mesma, o livro também não apresenta exercícios que utilizam os conceitos de Geometria Analítica em suas resoluções.
3ª série:
O livro é organizado em unidades, e cada unidade é dividida em aulas. O Tópico Geometria Analítica é apresentado na Unidade 1, onde é trabalhado dentre vários temas o que nos interessa: declividade de um segmento; como escrever uma reta com uma equação; aplicações da equação da reta e retas paralelas.
Os temas “Declividade de um segmento” e “Como descrever uma reta
com uma equação”, são definidos e apresentados da mesma forma que são apresentados na 1ª série. Os exercícios propostos se igualam aos exercícios propostos no livro da 1ª série, apenas alterando os dados numéricos, refletindo as mesmas idéias.
Acreditamos que, se o autor tinha o intuito de trabalhar esses tópicos em espiral, o objetivo não foi alcançado, pois os conteúdos não foram aprofundados da maneira devida.
O autor inicia a aula “Aplicações da equação da reta”, com um exemplo (fig.17), muito parecido com o exemplo que está no livro da 1ª série, as mesmas idéias e objetivos são trabalhados, como são representados abaixo:
Um pequeno empresário fabrica relógios de pulso. Mediante uma tabela, ele observa como aumenta o número de relógios de um certo modelo vendido mensalmente quando o preço unitário diminui.
Figura 17: Exemplo de aplicação da equação da reta (p.23) Fonte: livro: “Matemática” -Guelli - 3ª série
nenhuma justificativa ou prova da mesma, o que ao nosso entender pode não favorecer a compreensão de futuros estudos que necessitem dessa condição. Ousamos ainda afirmar que para o aluno, esse tipo de abordagem não é significativa, pois o aluno enxerga esse tipo informação matemática apenas como uma informação a decorar”, dentre tantas outras.
Um exemplo de como determinar uma equação da reta paralela à reta de equação y=2x+3 e que passa pelo ponto P(-1,2) é dado. Esse exemplo aplica a fórmula y− y1 =m
(
x−x1)
mantendo m e substituindo as coordenadas do ponto P.Logo em seguida são dados cinco exercícios onde os alunos trabalham com a questão se r paralela a s, então m=m’, com a maioria desses exercícios fornecendo a equação de uma reta, sua declividade e pedindo a equação de outra reta passando por um ponto específico e paralela a primeira.
Vale destacar, por ser o único exercício de prova que trabalha com propriedades da geometria e não só aplicação de fórmula, o 1º exercício desse bloco para o qual é pedido que seja comprovado que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo sendo dado seus vértices A (-4, -9), B(2,3), C(-2,5) e D(-8, - 7).
O aluno deverá nesse caso, primeiro verificar se os pontos dados não são colineares e depois relembrar uma das definições do paralelogramo: ”um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos dois a dois”, para depois traçar o gráfico determinando seus lados e calcular suas declividades e verificar a condição de paralelismo em Geometria Analítica.
Num contexto geral, a obra expõe os conceitos e procedimentos, com alguns exemplos e problemas resolvidos, e propõe exercícios de aplicação sem estimular a participação ativa do aluno na aquisição do conhecimento.
O enfoque dado aos conteúdos é, essencialmente, algébrico, com ênfase na simbologia matemática, o que pode gerar dificuldades para a aprendizagem do aluno.