O objetivo dessa etapa era apresentar subsídios para que os alunos conseguissem provar suas conjecturas.
Essa etapa foi formada por 10 atividades, metade delas trabalhadas no ambiente papel e lápis e a outra metade no ambiente informatizado.
Nessa etapa introduzimos a taxa de variação média, por acreditarmos que esse assunto traz a possibilidade de utilizar questões contextualizadas e a possibilidade de questões descontextualizadas objetivando o domínio do conteúdo matemático.
Acreditamos que abordar um conteúdo de modos diferentes, apresentando vários conceitos e estratégias, pode atingir, de maneira mais expressiva os alunos, já que um determinado conceito ou explicação, ao nosso entender, têm um significado diferente para cada aluno. E não podemos excluir o fato de que essa abordagem não é trabalhada nos livros didáticos analisados nesta pesquisa, se constituindo assim de um novo instrumento para que os alunos possam se sentir motivados a novas descobertas.
Na atividade 1 o objetivo era fazer o aluno perceber que dada uma reta não vertical o coeficiente permaneceria igual em qualquer segmento contido nessa reta. Inicialmente os alunos não entenderam a definição da taxa de variação média e sue conceito, o que foi resolvido com a ação mediadora do professor.
Todas as duplas calcularam corretamente a taxa de variação média e no final da atividade perceberam e relacionaram a taxa com a tangente do ângulo, portanto o objetivo dessa atividade foi alcançado.
Como as respostas das duplas foram validadas apenas numericamente ou empiricamente, consideramos que elas apresentaram respostas com características de um empirismo ingênuo.
Na atividade 2 o objetivo era que o aluno percebesse a relação que existe entre a tangente do ângulo e a taxa de variação média.
Como apontada na análise dos resultados, houve um erro na concepção dessa atividade, pois, esse pesquisador na intenção de facilitar o procedimento, apresentou o registro gráfico com escala de 1x1, mas com erro
verificar possíveis erros e quais são eles.
Acreditamos ainda, que procedimentos e atividades que o aluno deve validar e verificar se ela está correta ou errada, possa ser mais uma ferramenta produtiva a disposição do professor, já que o aluno ao analisar esse tipo de atividade encontra um momento propicio para pensar, refletir, discutir e questionar.
Salientamos ainda que esse fato não prejudicou o andamento da seqüência.
Na atividade 3 o objetivo era que o aluno através da taxa de variação média e o caso da função afim, encontrasse e interpretasse que o coeficiente angular é igual a taxa de variação média.
Essa atividade era constituída por dois itens, no item a o aluno trabalhou com valores empíricos e no item b, o aluno trabalhou com valores genéricos, ou seja o aluno verificaria que a taxa de variação média é igual ao coeficiente angular, primeiro com um caso particular. Fe – os números são para substituir? Para depois chegar a uma generalização. Fe – esse (se referindo ao item b) é a mesma coisa que o item a.
Uma dificuldade apresentada por todas as duplas foi em se trabalhar com valores genéricos o que foi superado após as instruções, previstas na análise a priori, dadas pelo professor.
As duplas apresentaram respostas com características de um exemplo genérico.
Na atividade 4 o objetivo era que o aluno relacionasse o coeficiente angular com a tangente do ângulo.
Os alunos analisaram as atividades anteriores e concluíram corretamente. Percebemos nessa atividade que os alunos ainda sentiam
dificuldades em utilizar uma linguagem mais formal, o quem ao nosso ver não prejudicou o raciocínio e nem o entendimento que eles tiveram da atividade.
Todas as duplas apresentaram respostas com características de uma experiência mental e o objetivo traçado a priori foi alcançado.
Na atividade 5 o objetivo era que os alunos percebessem que se as tangentes são iguais então os ângulos são correspondentes.
As duplas levantaram hipóteses e analisaram as respostas obtidas produtivamente, porém não relacionaram os ângulos, só relacionaram a tangente do ângulo ou taxa de variação média com o paralelismo das retas, portanto o objetivo dessa atividade foi parcialmente alcançado.
Todas as respostas analisadas apresentaram características de um exemplo genérico.
Na atividade 6 o objetivo era aplicar os conhecimentos vistos nas atividades anteriores, para isso ela foi dividida em dois itens, se diferenciando nas ferramentas que os alunos não poderiam utilizar para verificar se as retas dadas eram paralelas.
Todas as duplas alcançaram o objetivo traçado nessa atividade. Elas analisaram as ferramentas possíveis para determinar uma estratégia de resolução, o que ao nosso ver foi muito satisfatório, pois, se depararam com uma atividade que não era só aplicar um conceito ou uma estratégia era preciso primeiro analisar todas as possíveis para verificar qual era permitida.
As duplas A, B e C apresentaram respostas com características de uma experiência crucial, já a dupla D além de analisar a atividade também levantou hipóteses e criou conjecturas, apresentando uma resposta com características de uma experiência mental.
“Se medirmos os ângulos das retas r e s e constatarmos que são iguais. Ou se traçarmos uma reta perpendicular as retas e forma-se um ângulo de 90 graus” então as retas são paralelas.
Na atividade 7 o objetivo era proporcionar ao aluno um momento possível a conjecturas e argumentações, pois o aluno deveria associar os conhecimentos anteriores para chegar a uma prova.
As duplas A, C e D utilizaram justificativas e argumentos, porém não chegaram a uma prova formal.
Na atividade 8 o objetivo era verificar se o aluno se apropriou do conteúdo estudado, construindo sua resposta através da taxa de variação média ou calculando a tangente do ângulo.Essa atividade continha dois itens.
Essa atividade foi resolvida pelas duplas A, B e C com a estratégia prevista na análise a priori, nos dois itens.
Já a dupla D nos surpreendeu, pois, escolheu no item a uma estratégia onde predominou a análise e a aplicação das propriedades envolvidas, optando por uma resolução não prevista na análise a priori.
Acreditamos que as duplas mostraram que poderiam traçar uma reta paralela a qualquer reta dada, pois, compreenderam as propriedades necessárias para tal, ou seja, o reconhecimento analítico de retas paralelas, suas respostas apresentam características de uma experiência mental.
Na atividade 9 o objetivo era que o aluno utilizasse as propriedades do paralelogramo estudadas nas 1ª e 2ª etapas da seqüência.
Todas as duplas utilizaram a estratégia prevista na analise a priori em sua resolução.
As justificativas ocorreram através de deduções lógicas baseadas em propriedades, porém ainda com o uso de uma representante particular.
Car - é paralela porque o número de x é igual.
Car – o de baixo é igual, só coloca não, pois, os coeficientes angulares não são iguais.
As duplas apresentaram respostas com características de um exemplo genérico.
Na atividade 10 o objetivo era verificar se o aluno aplicaria os conhecimentos adquiridos em toda a seqüência.
Nessa atividade os alunos formadores das duplas, dialogaram e interagiram para determinar a melhor estratégia de resolução, utilizando os
termos e conceitos matemáticos adquiridos ao longo da seqüência, as duplas não apresentaram dificuldades para traçar uma reta paralela a reta dada, portanto o andamento e o objetivo da atividade se deu satisfatoriamente.
As duplas apresentaram respostas com características de uma experiência mental.
Finaliza-se a 3ª etapa da nossa seqüência, com 4 respostas com características de empirismo ingênuo, 14 respostas com características de experiência crucial, 21 respostas com características de exemplo genérico e 22 respostas com características de experiência mental.
Nessa etapa, percebeu-se que os alunos formadores das duplas dialogaram, trocaram idéias, experimentaram e buscaram estratégias de resolução em conjunto através da releitura das atividades anteriores, buscando um significado do que aprenderam para agir nas atividades subseqüentes.
Ma – podemos afirmar ..., olha o x, lembra que muda.
A predominância de respostas com características de uma experiência mental e de exemplos genéricos nos faz, acreditar que o objetivo dessa etapa que era de proporcionar subsídios para que os alunos conseguissem provar suas conjecturas foi alcançado satisfatoriamente.
A análise a posteriori indica que, o conjunto de atividades propostas na seqüência didática, atendeu as expectativas e os objetivos traçados na análise a priori, já que as justificativas apresentadas em sua maioria foram feitas com argumentos pertinentes, e que os alunos ao longo da seqüência mostraram que praticaram o pensar matemático, pois, formularam conjecturas, levantaram hipóteses e produziram provas, mesmo que ainda não formal.
natureza dedutivo.
No delineamento da seqüência didática, parte integrante da engenharia didática utilizada como metodologia, privilegiou-se a importância de uma proposta para a aprendizagem da geometria analítica em que o aluno pudesse levantar conjecturas, supor hipóteses, argumentar, justificar seus resultados como também prová-los.
Nessa abordagem, desenvolvemos uma seqüência didática composta de 3 etapas, a 1ª etapa foi concebida com atividades trabalhadas no concreto, a 2ª etapa com atividades trabalhadas num ambiente de geometria dinâmica e a 3ª etapa com atividades trabalhadas tanto no ambiente papel e lápis quanto no informatizado.
O apóio teórico nos trabalhos de Parsysz e Balacheff subsidiaram a concepção da seqüência didática e a análise dos resultados obtidos. De Parsysz, consideramos o seu modelo para um quadro teórico do ensino da geometria constituída de quatro etapas no desenvolvimento do pensamento geométrico. De Balacheff, consideramos o mapeamento de categorias de provas: provas pragmáticas e prova intelectual e os tipos de validações: empirismo ingênuo, experiência crucial, exemplo genérico e experiência mental.
Na análise das respostas observamos que durante o processo os alunos alcançaram os objetivos das atividades satisfatoriamente e produziram algum tipo de prova.
Nos protocolos das duplas encontramos as seguintes validações segundo a classificação de Balacheff (1988): empirismo ingênuo (10), experiência crucial (14), exemplo genérico (21) e experiência mental (22), compondo assim 45 provas pragmáticas e 22 provas intelectuais.
Faremos a seguir uma síntese dos resultados encontrados nas três etapas da nossa seqüência.
Nas atividades apresentadas na 1ª etapa, percebemos que os alunos interagiram e questionaram seus conceitos de paralelismo e sobre a definição e propriedades de um paralelogramo. Os resultados apontados ao longo da etapa mostraram que os alunos em sua grande maioria conseguiram construir um paralelogramo utilizando suas propriedades, em destaque a utilização da propriedade: é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos dois a dois, por todas as duplas.
Na 2ª etapa, que foi trabalhada num ambiente informatizado, os alunos tiveram momentos propícios a investigação e experimentação, avançaram em seus conhecimentos sobre as propriedades de algumas figuras quadriláteras entre elas o paralelogramo e fizeram o reconhecimento analítico de duas retas paralelas, porém nesse momento ainda empiricamente.
Na 3ª etapa, os alunos interagiram e buscaram estratégias de resolução em conjunto, percebe-se uma apropriação dos conceitos estudados nas justificativas apresentadas, que em sua grande maioria, foram feitas com argumentos pertinentes e quando os alunos formularam suas conjecturas, levantaram hipóteses e produziram provas, mesmo que algumas ainda pragmáticas.
E é através das análises das respostas dos alunos, que podemos responder à nossa primeira questão de pesquisa: De que forma os ambientes
de geometria dinâmica contribuem para que os alunos construam argumentações e provas?
Os alunos formularam conjecturas, levantaram hipóteses, argumentaram, justificaram suas respostas e produziram provas o que caracteriza o pensar matemático. Como podemos ver, por exemplo na resposta da dupla D, atividade 5 da 3ª etapa: “Se a taxa de variação média são iguais significa que as retas são paralelas. Ou seja se traçarmos uma reta perpendicular às retas a e b, forma-se um ângulo reto”.
Ou na resposta da dupla B, atividade 7, 3ª etapa: “α = β, tg α = tg β e
exigem explicações que devem ser justificadas e provadas. Como podemos comprovar, por exemplo, na resposta da dupla B, atividade 3 da 2ª etapa: “quando nós mudamos o ângulo, a equação muda junto com o resultado, porém o número que acompanha x é o resultado”.
Ou na resposta da dupla C, atividade 4, 2ª etapa: “Observamos, que quando mudamos o paralelogramo, os valores de x dos lados opostos paralelos não se alteram”.
Os alunos compreenderam que construções geométricas acarretam em propriedades geométricas que as validam. Fato que ocorreu, por exemplo na atividade 8, item a, turma B: Ma – não pode desenhar, tem que construir!
As combinações do menu, no caso específico dessa pesquisa, a supressão de ferramentas, em algumas atividades, permitiram ao aluno mais uma oportunidade de análise, pois, além de determinar o que deveriam provar, eles tinham que determinar como provar. Esse fato se caracteriza na atividade 5 da 2ª etapa, dupla B: Car – acho que são paralelas, é melhor não arriscar
Ma – vamos ver ângulos?
Car – não pode; Ma – pede equação como no outro. O dinamismo do software e a facilidade que ele oferece ao usuário, de experimentar, visualizar, simular e validar foi útil para que os alunos apresentassem soluções variadas o que indica uma aquisição de autonomia para argumentar e provar. O que podemos perceber com a resposta da dupla D na atividade 2 da 2ª etapa, onde essa dupla apresenta duas estratégias diferentes: “traçamos uma reta perpendicular a uma paralela e constatamos que um segmento deu um ângulo de 90º e no outro segmento deu outro ângulo de 90º” e a outra solução apresentada na mesma atividade: “as retas são paralelas porque todos os ângulos internos e alternos são iguais”.