Data analysis

A Matemática do Antigo Egipto, contrariamente à opinião muito popular, nunca atingiu o nível alcançado pela Matemática babilónica. (Eves, 1969, p. 36)

No âmbito da Matemática babilónica, somos muito menos afortunados do que relativamente à Matemática egípcia. Dado que o modo de escrita em placas de argila, utilizado pelos babilónios, desencoraja a compilação de longos tratados, não há nada entre os registos babilónicos que seja comparável ao papiro de Rhind. No entanto, algumas centenas de placas com conteúdo matemático foram encontradas, embora muitas delas estivessem em mau estado de conservação.

A grande maioria destas (cerca de dois terços) é da Antiga Babilónia. É através desta rica fonte de material original que agora sabemos que, excepto para determinadas regras geométricas, a Matemática babilónica ultrapassou a Matemática dos egípcios. Embora a Matemática babilónica também tivesse fortes raízes empíricas que estão claramente presentes na maioria das placas que foram traduzidas, parece ter havido a tendência para uma expressão mais teórica.

É possível encontrar centenas de placas babilónicas contendo tabelas, quer se trate de tabuadas, de tabelas de inversos, tabelas relacionadas com ternos pitagóricos (muito antes de Pitágoras ter reclamado a descoberta do seu famoso teorema), ou tabelas descrevendo a resolução do que hoje designamos por problemas de Matemática, normalmente agrupados de modo que uma dada placa contém problemas do mesmo tipo, por vezes sequenciados numa complexidade crescente (Neugebauer, 1969).

Depois de uma análise da Matemática babilónica, podemos concluir que os antigos babilónios foram incansáveis construtores de tabelas, calculadores de alta habilidade e, definitivamente, mais fortes na álgebra do que na geometria. E ficamos, certamente, impressionados com a complexidade e a diversidade dos problemas por eles considerados.

A actividade matemática dos escribas babilónicos parece ter nascido das necessidades do dia-a-dia. Do conteúdo dessas placas pensa-se que, por volta de 2500 a. C., já existiam escolas de escribas, cujo objectivo era a preparação dos jovens para as diferentes tarefas exigidas por uma burocracia complexa.

No entanto, no contexto escolar dos escribas, as pessoas tornavam-se interessadas na matéria para o seu próprio prazer, aprofundando os problemas e as técnicas para além

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18 do que era estritamente prático. O objectivo era tornar-se um matemático virtuoso, capaz de resolver problemas impressionantes e complexos.

Podemos considerar, então, que a Matemática dos babilónios não era exclusivamente focada em aplicações práticas. Os babilónios mostraram o início de um interesse teórico em problemas de Matemática.

Tal como os egípcios, os escribas babilónicos sabiam resolver equações lineares. Também conseguiam resolver uma variedade de problemas que conduziam a equações do 2º grau. Muitos destes problemas eram bastante artificiais e parece que existiam apenas como um modo dos escribas demonstrarem as suas proezas. A maior mestria dos escribas babilónicos na resolução de equações revela-se nas equações quadráticas. Podemos dizer que os escribas da Antiga Babilónia resolviam qualquer equação do 2º grau completa, por processos que correspondem à aplicação da nossa fórmula resolvente.

Acresce dizer que os babilónios podem reivindicar prioridade em várias descobertas, sendo a mais notável a do Teorema de Pitágoras, geralmente atribuída a escolas matemáticas posteriores. A geometria babilónica, tal como a dos egípcios, era dedicada, maioritariamente, às medições e os babilónios tinham fórmulas para aproximações de áreas e volumes de várias figuras e sólidos.

Um aspecto interessante da matemática babilónica é a ocorrência de problemas que nem pretendem ser práticos, mas, ao contrário, têm um aspecto recreativo. Eram problemas lúdicos que, normalmente, conduziam a uma equação quadrática.

Todos os problemas que aparecem nas placas babilónicas estão expressos retoricamente, ou seja, com frases em linguagem corrente, sem notação simbólica. Algumas das placas contêm as respostas ou até mesmo as soluções completas, mas há muito poucas que explicam como foi descoberto o processo por detrás dos métodos ensinados ou demonstrados. Isto torna difícil compreender a forma de pensamento seguido pelo escriba na resolução dos problemas. No entanto, quando interpretados à luz dos actuais conceitos e símbolos algébricos, os cálculos adquirem algum sentido.

Essa interpretação levou alguns historiadores da Matemática a defenderem que os babilónios tinham desenvolvido uma “álgebra babilónica”. Esta álgebra tem sido considerada diferente da nossa moderna álgebra elementar, principalmente pela sua falta de representações simbólicas.

19 Muitos dos problemas da Matemática da Babilónia levantam-nos algumas interrogações. Durante décadas ouvimos os historiadores dizerem que a Matemática se iniciou na Grécia Antiga e que outras culturas anteriores em torno do Mediterrâneo, os egípcios e os povos da Mesopotâmia, possuíam uma Matemática essencialmente prática, virada para a resolução de problemas do dia-a-dia, nomeadamente, o cálculo de áreas de terrenos e de volumes de recipientes, a partilha de bens, etc. No entanto, é difícil entrever a aplicação prática da Matemática contida em determinados problemas, como por exemplo:

Exemplo 1 (Problema 19 da placa YBC 4652): “Encontrei uma pedra, [mas] não a pesei; [depois] pesei 6 vezes [o seu peso], adicionei 2 gin3, [e] adicionei um terço de um sétimo [deste peso total] multiplicado por 24, pesei [tudo]: 1 mina4. Qual era o [peso] original da pedra?”

Um segundo problema, contido noutra placa de problemas, sensivelmente da mesma época, cerca de 1.700 a. C., constitui um exemplo mais elaborado:

Exemplo 2: “Somei 7 vezes o lado do meu quadrado a 11 vezes a sua área e é 6;15.”

Qual a situação da vida real em que queremos conhecer a altura de uma pedra, e para tal, em vez de a medir directamente, imaginamos 6 pedras iguais, juntamos duas unidades, dividimos a altura obtida por 3, depois por 7 e multiplicamos por 24? O mesmo se passa no segundo problema. Qual a situação prática na qual é necessário somar 7 vezes o lado do quadrado a 11 vezes a sua área? Estes problemas não são casos isolados. Pelo contrário, estas questões poder-se-iam colocar em relação a muitos outros problemas contidos em placas provenientes da Mesopotâmia que chegaram até nós, envolvendo situações artificiais que só aparentemente se destinavam a aplicações práticas.

Por outro lado, o modo como os problemas aparecem sequenciados indicia uma preocupação não com cada problema em si, mas com métodos gerais de resolução. Trata- se, como afirma Neugebauer (1969), do desenvolvimento de procedimentos puramente algébricos.

Para este arqueólogo alemão, as relações algébricas constituem o centro do principal interesse dos problemas babilónicos. Assim, por exemplo, a solução de um

3 _{1 gin = 1/60 mina}

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20 problema que propõe calcular a profundidade de um canal e o número de trabalhadores necessários para tal trabalho conduz a um resultado pouco realista de um número fraccionário de trabalhadores. Para o escriba que redigiu este problema, é claro que o método de resolução era mais importante do que o resultado.

Quando analisamos, por exemplo, as instruções do escriba para resolver um problema que pode ser traduzido por uma equação do tipo _{notamos que é} inegável o carácter pedagógico dos problemas babilónicos. De facto, não restringem os seus exemplos apenas a números tais que _{seja um número inteiro, mas, na} maioria das vezes, impõem igualmente que a divisão final por _{seja exacta (ver anexo} A.2).

Muitas das indicações de resolução dadas pelos escribas babilónicos são um conjunto de instruções, cuidadosamente sequenciadas, conduzindo o leitor à resolução do problema.

Um professor de Matemática reconhece, facilmente, nos exemplos apresentados anteriormente, artefactos comummente associados às aulas de Matemática: tabuadas, sequências de problemas do mesmo tipo de complexidade crescente, situações que só aparentemente são da vida real, listas de instruções de procedimentos a seguir, ou o cuidado em apresentar casos em que a resolução dos problemas pode ser efectuada por processos que divergem do habitual.

Podem ainda apontar-se outras características associadas a uma abordagem “pedagógica”, por exemplo, a utilização de números “simples”, a selecção de situações com uma e uma só solução, ou a escolha de problemas visando destacar alguma particularidade matemática.

Há placas que contêm dezenas e mesmo centenas de enunciados, alguns com as soluções, outros não. Em determinadas colecções, os enunciados são apresentados de forma abreviada, devido ao seu carácter repetitivo, onde apenas é alterado o valor das dimensões. Parece óbvio que tais colecções eram usadas para ensinar métodos matemáticos (Neugebauer e Sachs, 1986 apud Estrada, 2000b).

Além de Neugebauer, outros historiadores da Matemática têm realçado o cunho didáctico de muitos textos de Matemática da Babilónia e têm-nos relacionado com as escolas de escribas. Hoyrup é um desses historiadores e defende que:

21 “diversos tipos de evidência sugerem que a unificação e a coerência [da matemática da Mesopotâmia] não correspondem efectivamente a necessidades práticas administrativas. Pelo contrário, [...] parecem ser o produto das escolas onde os futuros funcionários eram treinados, e onde as técnicas que eles iam aplicar eram também desenvolvidas.”

(1994, p. 4)

Também Katz partilha da mesma opinião, ao afirmar que:

“a finalidade de resolver vários problemas não é determinar a solução, mas aprender vários métodos de reduzir problemas complicados noutros mais simples. Podemos especular, portanto, que as placas matemáticas em geral, […], eram usadas para treinar as mentes dos futuros líderes do país.”

(1998, p. 39)

Ainda segundo Katz (1998), “o que era importante era que os alunos desenvolvessem capacidades na resolução de problemas” (p. 39). Geralmente, quando os alunos nos perguntam para que serve a Matemática, dizemos-lhes que um dos principais objectivos de estudar Matemática é para “treinar a mente” e desenvolver o raciocínio. Parece que esta resposta não é nova e já os babilónios de há 4000 anos deviam responder a mesma coisa!

É ainda de salientar que alguns dos erros cometidos pelos escribas babilónicos são, também, cometidos actualmente pelos nossos alunos. Um exemplo disso é a incorrecta aplicação da fórmula _{para determinar a área de um trapézio, considerando,} incorrectamente, _{o valor de um dos lados não perpendicular às bases. Este facto deveria} levar os professores de Matemática a prever esta falha, geralmente cometida pelos alunos, e a tentar arranjar estratégias para a evitar.

Analisando a Matemática babilónica de um ponto de vista pedagógico, podemos ainda encontrar ideias para ensinar Matemática nas nossas escolas. Um exemplo disso é o ensino da resolução de equações do 2º grau através da “geometria do recorta e cola”, como podemos ver em (Radford e Guérette, 2000). Inspirados pela pesquisa histórica, estes autores desenvolveram, com êxito, uma sequência de ensino em sala de aula em que, através de “geometria do recorta e cola”, os alunos redescobrem a fórmula para a resolução de equações do 2º grau.

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