No que concerne à aritmética, os árabes basearam-se nas descobertas dos indianos e pouco contribuíram para o seu desenvolvimento, conforme o destaca Vasconcellos:
“Baskara, o último dos grandes matemáticos da Índia antiga, resolveu problemas que necessitavam de grandes habilidades de cálculo, abrindo novos caminhos e apresentando novas ideias que os Árabes (que certamente, devem ter conhecido a obra de Baskara, logo que a mesma foi publicada) não souberam depois utilizar convenientemente, nem desenvolver.”
(Vasconcellos, 2009, p. 412)
O papel desempenhado pelos árabes relativamente à geometria foi mais de preservação do que de descoberta, pois foram eles que traduziram os grandes clássicos gregos, “não deixando cair a tradição grega” (Santos et al, 2008 (Vol VII), p. 16). No entanto, destaque-se que “os árabes não se limitaram a copiar, contribuindo com novos olhares e novas aplicações do excelente trabalho grego” (idem).
As maiores contribuições dos matemáticos árabes verificaram-se no campo da álgebra geométrica. Para provar as suas regras, os árabes também usaram demonstrações geométricas; inspirados pelos Elementos de Euclides, pareciam acreditar que um argumento teria que ser geométrico para que fosse convincente.
A álgebra dos antigos árabes estava, ainda, numa fase primitiva de retórica, caracterizada pela total ausência de símbolos matemáticos, em que os cálculos eram efectuados por meio de palavras (até mesmo os números eram escritos por palavras em vez de apresentados como símbolos).
2. Estudar o passado para ensinar no presente
30 Os árabes também usaram as regras da falsa posição e da dupla falsa posição, para resolver certos problemas de álgebra de uma forma aritmética. Além disso, calcularam raízes quadradas e cúbicas, trabalharam com fracções e usaram a regra de três. Esta regra, tal como muitos outros aspectos da aritmética elementar, parece ter tido origem no trabalho dos indianos.
Foi a partir do trabalho de al-Kwarizmi (ver anexo A.6) que os europeus ocidentais começaram a aprender álgebra. Não parece provável que o seu conhecimento de técnicas algébricas tenha a influência de Diofanto (ver anexo A.3), cuja Aritmética não foi traduzida até o final do século X. Além disso, a álgebra de Diofanto tem um carácter totalmente diferente, estando principalmente preocupada com a Teoria dos Números.
Ao compararmos a solução das equações quadráticas de al-Kwarizmi com as soluções dadas por Euclides, é notório o progresso e a evolução das antigas práticas matemáticas para métodos mais gerais e mais fáceis de aplicar. Nos Elementos de Euclides, a geometria sobrepunha-se à álgebra, revestindo todos os conteúdos algébricos; com al-Kwarizmi, a álgebra ganha mais protagonismo e as explicações geométricas passam a desempenhar apenas um papel auxiliador do raciocínio algébrico.
Por outro lado, a justificação geométrica de al-Kwarizmi para a resolução das equações quadráticas mostra a sua herança babilónica; a descrição de um dos seus métodos corresponde à descrição dada pelos babilónios para a solução da equação
Mas, apesar da descrição geométrica de al-Kwarizmi parecer ter sido baseada em fontes babilónicas, há diferenças substanciais. A primeira delas está relacionada com o facto de que os babilónios estavam interessados em encontrar os lados dos quadrados enquanto al-Kwarizmi pretendia encontrar números que satisfizessem determinadas condições. A segunda diferença e, na minha opinião, a mais relevante, é que os babilónios usavam truques engenhosos, que variavam de problema para problema, o que não acontece com al-Kwarizmi, que sistematiza as equações quadráticas em seis tipos padrão, resolvendo cada tipo de acordo com regras específicas.
Em suma, apesar das equações quadráticas já terem sido consideradas em civilizações anteriores, é no trabalho dos algebristas árabes que se encontra uma abordagem mais sistemática e generalizada, que visa compreender não só estes tipos específicos de equações, mas a estrutura fundamental dos procedimentos algébricos e do raciocínio.
31 Quando comparada com a Matemática indiana, é notória a ausência da vertente recreativa na Matemática dos árabes, aspecto tão característico na Matemática dos seus antecessores.
Outro aspecto que é de ressaltar na Matemática árabe é a falta de utilidade prática, o que é salientado por Katz (1998) ao referir que “embora al-Kwarizmi tivesse prometido no seu prefácio que iria escrever sobre o que era „útil‟, muito poucos dos seus problemas que conduzem a equações quadráticas lidam com qualquer ideia „prática‟” (p. 249). Muitos dos seus problemas, semelhantes a alguns propostos por Diofanto, começam com “Dividi 10 em duas partes”. Há poucos problemas que abordam a divisão de dinheiro entre um certo número de homens, mas, mesmo esses, não têm sentido prático. Na verdade, um desses problemas traduz-se pela equação onde representa o número de homens, mas a sua solução é o que contradiz qualquer intenção prática.
Podemos concluir que al-Kwarizmi estava interessado em ensinar os seus leitores a resolverem problemas matemáticos, em especial a resolver equações quadráticas, mas não conseguia imaginar problemas da vida real que envolvessem tais equações. Parece que, neste aspecto, não houve alterações desde os tempos dos babilónios.
É de salientar ainda que a Álgebra de Abu-Kamil detém um lugar especialmente importante no desenvolvimento da Matemática no Ocidente, através da sua influência sobre as obras de Fibonacci. Quando Fibonacci escreveu o seu Liber Abaci (1202), baseou- se muito no trabalho de Abu-Kamil, reproduzindo 29 dos seus problemas com pouca ou nenhuma alteração. Porém, Fibonacci não deve ser considerado um plagiador, pois os métodos de Abu-Kamil estavam tão divulgados nessa altura que qualquer matemático tinha a liberdade de usar os seus resultados.
Actualmente, sabe-se que muitas das ideias que antes se pensava terem sido descobertas pelos brilhantes matemáticos europeus dos séculos XVI, XVII e XVIII foram, afinal, desenvolvidas por matemáticos árabes, cerca de quatro séculos antes.