Begrepet studentevaluering av undervisning i norsk tradisjon

O ensino de álgebra atualmente se dá por uma relação de regras que devem ser executadas pelos alunos para encontrar o “xis” da questão, ou seja, a resposta exigida. Esse é o resultado de um processo de didatização que a álgebra sofreu ao longo dos anos e que se mantém até hoje na escola. Mesmo com várias reformas educacionais, diferentes diretrizes e orientações propostas para o sistema de ensino brasileiro, o ensino

de álgebra permaneceu com poucas alterações no Ensino Fundamental e, até mesmo, no Ensino Médio.

Assim, concordamos com Barbosa e Borralho (2009) quando afirmam que ainda prevalece, no ensino de álgebra, o desenvolvimento de um conjunto de técnicas operatórias que busca apenas resolver equações. Os alunos aprendem o como fazer, mas poucos aprendem a respeito do porquê e do para quê. Isso nos leva a questionar o quanto esse ensino está proporcionando uma aprendizagem de fato. Para entendermos esse processo não basta criticar as pessoas envolvidas no momento atual. Ressaltamos que seja necessário compreendermos como o ensino de álgebra se desenvolveu ao longo dos tempos e quais as concepções que permearam esse caminho. Para isso, apoiamo-nos em Fiorentini, Miguel e Miorim (1993a), que procuram descrever cada momento do desenvolvimento do ensino de álgebra.

Além disso, Fiorentini, Miguel e Miorim (1993a) destacam que ao longo da história do ensino da matemática elementar, manifestaram-se diferentes concepções sobre o ensino da álgebra. Uma primeira noção do ensino de álgebra, vigente durante todo o século XIX e a primeira metade do século XX, tanto no Brasil quanto em outros países, admitia a ideia de que somente a aquisição do transformismo algébrico (entendido como o processo de obtenção de expressões algébricas equivalentes entre si mediante o emprego de regras e propriedades válidas) seria necessário e suficiente para que o aluno adquirisse a capacidade de resolver problemas, mesmo que esses fossem quase sempre artificiais. O transformismo algébrico resumia-se numa sequência de tópicos, passando pelas expressões algébricas, por operações, equações e, finalmente, pela resolução de problemas.

O movimento da Matemática Moderna, cujo predomínio ocorreu desde o final dos anos 50 ao final dos anos 70, tanto no Brasil, quanto no contexto internacional, iria se contrapor à concepção acima. Nesse segundo movimento, o papel pedagógico da álgebra passa a ser o de fundamentar os vários campos da matemática escolar. No que se refere, particularmente, à forma de abordagem daqueles conteúdos ditos algébricos, prevaleceu a ideia de que a introdução de propriedades estruturais das operações com os números, que justificassem logicamente cada passagem presente no transformismo algébrico, capacitaria o estudante a identificar e a aplicar essas estruturas nos diferentes contextos.

Em busca dessa compreensão, os tópicos algébricos foram reorganizados e expressões algébricas, valores numéricos, operações e fatoração seriam antecedidos

pelos conjuntos numéricos, pelas propriedades estruturais, pelas sentenças abertas e fechadas, pelo conjunto-universo e conjunto-verdade, pelas equações e inequações do 1º grau e sucedidos por “novos conteúdos algébricos” (funções) (Fiorentini, Miguel e Miorim, 1993a).

Uma terceira concepção do ensino de álgebra tentou fazer a síntese entre as duas anteriores, uma vez que procurou, por um lado, recuperar o valor instrumental da álgebra e, por outro, manter o caráter de justificação das passagens presentes no transformismo algébrico. Essa nova forma de justificar baseou-se, na maioria dos casos, em recursos analógicos geométricos e, portanto, visuais. Nesse sentido, os adeptos dessa ideia acreditam que uma “álgebra geométrica”, por tornar visíveis certas identidades algébricas, seria didaticamente superior a qualquer forma de abordagem estritamente lógico-simbólica. Isso, porém, não significa defender a impossibilidade de acesso do estudante a uma forma de abordagem meramente simbólica e mais abstrata, mas, simplesmente, acreditar que a etapa geométrico-visual constitui-se em um estágio intermediário e/ou concomitante à abordagem simbólico-formal. Outro recurso bastante comum é a “justificação” de certas passagens do transformismo algébrico, através da utilização de leis do equilíbrio físico, recorrendo, para isso, a materiais concretos como balanças, gangorras, etc.. No entanto, observa-se que nessa terceira concepção continua a se conferir o papel principal às “regras algébricas”, isto é, ao “transformismo algébrico”. As três abordagens parecem incorrer no equívoco de reduzir o ensino da álgebra à mera apropriação ou à manipulação de sua linguagem.

Atualmente, essa visão pouco foi mudada, pois ainda temos um ensino de álgebra muito focado em treinar as técnicas algébricas. Segundo Usiskin (1994), o ensino de álgebra na escola básica ainda está baseado na capacidade de manejar diversas técnicas operatórias e essa capacidade não está mesmo sendo mais tão necessária na vida adulta.

Nessa perspectiva, House (1994) complementa que o ensino de álgebra está muito pautado em formar alunos que terão aulas de Cálculo Diferencial e Integral na sua formação, ou seja, uma formação muito acadêmica. Para ele, essas reestruturações que ocorreram ao longo dos tempos acabaram não alterando muito os conteúdos ensinados. O autor acredita que a reformulação deveria ser mais qualitativa. Para ele, isso se deve aos avanços tecnológicos computacionais. Algumas áreas profissionais, atualmente, necessitam de conhecimentos matemáticos. Então, isso fez surgir a necessidade de muito mais alunos terem uma formação em matemática voltada para a álgebra, ou seja,

matemática discreta. House (1994) acredita que os alunos necessitam de um aprofundamento em álgebra diferente da formação exigida para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral.

Machado (1991) defende um ensino mais voltado para a compreensão da forma de pensar do que com a escrita algébrica quando declara:

Pensamos que a Matemática tem sido ensinada em quase todos os níveis com uma ênfase que consideramos exagerada na linguagem matemática. A preocupação central parece ser escrever corretamente, falar corretamente, em detrimento essencial do papel que a Matemática pode desempenhar quanto ao favorecimento de um pensamento, e um tempo, ordenado e criativo.

Evidentemente, não se trata de contrapor o pensamento à linguagem; não se pode pretender considera-los desvinculadamente, ou entificá- los, tratando-os um por vez, uma vez que é só na relação entre ambos que se pode aprendê-los. No entanto, em Matemática, com uma frequência muito grande, o pensamento situa-se a reboque da linguagem matemática. Numa parte considerável dos textos, mesmo nos didáticos, o caminho escolhido para a obtenção dos resultados é o mais curto, o mais cômodo ou o esteticamente mais agradável, sempre de um ponto de vista linguístico. (Machado, 1991, p. 97-98)

Assim, Machado (1991) defende que para ensinar álgebra o desenvolvimento do pensar, do raciocinar algébrico, deve estar associado com a forma de escrever esse pensamento. Essas duas habilidades devem ser desenvolvidas conjuntamente e os resultados obtidos devem estar vinculados com a forma de pensar daquele momento de ensino e não com a forma mais fácil de resolver.

Essa tendência do ensino de álgebra em acreditar que o pensamento algébrico só se manifesta e se desenvolve através da manipulação de sua linguagem específica é discutida por Fiorentini, Miguel e Miorim (1993a) como uma abordagem equivocada. Para os autores:

Essa relação de subordinação do pensamento algébrico à linguagem desconsidera o fato de que, tanto no plano histórico quanto no pedagógico, a linguagem é, pelo menos em princípio, a expressão de um pensamento. (Fiorentini, Miguel e Miorim, 1993a, p. 85)

Pesquisadores de outras Ciências, também, reconhecem a matemática, ou mais, a álgebra, como uma expressão do pensamento e, como tal, deveria ser ensinada na escola. Ao tratar da relação entre matemática e física, Peitrocola (2002) afirma que:

Se a matemática é a linguagem que permite ao cientista estruturar seu pensamento para apreender o mundo, o ensino da ciência deve propiciar meios para que os estudantes adquiram esta habilidade. Não parece que um mero domínio operacional dos conteúdos matemáticos seja capaz de permitir a incorporação de tal habilidade. (Pietrocola, 2002, p.110)

Pietrocola (2012) ressalta ainda que a matemática não é apenas uma linguagem de comunicação, ela assume, predominantemente, um papel estruturante do pensamento em Física. Ricardo (2012) completa dizendo que:

É razoável assumir que quando esse papel estruturador que a matemática desempenha no interior dos modelos teóricos não é reconhecido ou compreendido pelos professores, as dificuldades de fazer com que os estudantes e alunos aprendam física se tornem maiores. (Ricardo, 2012, p. 100)

Para construirmos esse conhecimento precisamos mais que estudar as regras e procedimentos de resolução. Precisamos compreender a álgebra e seus conceitos; precisamos desenvolver o conhecimento algébrico. Neves (1995) nos ajuda a entender melhor o que estava chamando de pensamento algébrico ao afirmar que:

Como toda forma de conhecimento, o conhecimento algébrico é também um produto cultural, construído no processo de ensino e aprendizagem a partir de um conhecimento humano já existente. Para se construir um conhecimento deste tipo será preciso pensar algebricamente. Chamaremos de pensamento algébrico esta intenção ou forma de pensar que possibilite a construção de um conhecimento algébrico. (Neves, 1995, p. 1-2)

Ou seja, para construir esse conhecimento algébrico precisamos desenvolver uma forma de pensar que favoreça essa construção. Para essa forma de pensar, usaremos a expressão pensamento algébrico.

O desenvolvimento de um pensar algébrico deve possibilitar ao aluno aprender álgebra. Para Usiskin (1994) esse ensino de álgebra deve estar pautado em algumas concepções, tais como: a álgebra deve ser ensinada como uma aritmética generalizada e, mais que isso, como um meio para resolver problemas, não esquecendo que o ensino de álgebra é um estudo de relações e que na própria álgebra em si existem estruturas e propriedades dessas estruturas.

Precisamos compreender que a álgebra, tanto quanto toda a matemática em si, não existe apenas para resolver problemas práticos ou questões do cotidiano. A álgebra

tem sua estrutura e suas propriedades e deve ser trabalhada dentro de si mesma. Esse mundo abstrato também precisa ser conhecido e desenvolvido na formação dos alunos, pois o raciocínio abstrato desenvolvido dentro deste universo dará condições para que esses alunos tenham condições de participar desse mundo mais ativamente.

Pensando dessa maneira, o ensino de álgebra deveria ter como objeto de estudo o pensamento algébrico, e então o desenvolvimento do uso da linguagem algébrica seria uma consequência intencional desse estudo, como ressalta House (1994), quando afirma que a reformulação do ensino de álgebra deveria ser mais qualitativa, ou seja, modificar o objeto de estudo e não simplesmente os conteúdos ou as metodologias de ensino.

Entretanto, não podemos negar que a utilização da linguagem algébrica é de extrema importância para o desenvolvimento da álgebra. Ao observarmos o desenvolvimento da história da álgebra a partir de Boyer (1974), Eves (2004) e Roque (2012) podemos identificar que o desenvolvimento da álgebra pode estar atrelado a três fatores cruciais: estabelecimento de boas notações, tanto para as variáveis quanto para as expressões (letras representando números) e símbolos para +, -, ... e outros; um entendimento melhor do significado dos números (a abstração da ideia de número) e a criação de um sistema numérico posicional. Os dois primeiros fatores são referentes ao desenvolvimento de uma linguagem algébrica. Isso fica mais evidente se pensarmos que o desenvolvimento da linguagem algébrica faz parte da história da álgebra.

Em relação ao desenvolvimento da linguagem algébrica, Fiorentini, Miguel e Miorim (1993a) mostram algumas leituras sobre o desenvolvimento histórico da álgebra. Uma dessas leituras é muito frequente nos manuais de história da matemática e relaciona o desenvolvimento da álgebra com a evolução da linguagem algébrica, separando-o em três fases: retórica, sincopada e simbólica.

A fase retórica corresponde ao período em que não se usava nem símbolos, nem abreviações para escrever as expressões algébricas. Tudo era descrito através da linguagem corrente.

Na fase sincopada, começam a aparecer alguns símbolos para representar um número desconhecido, mas ainda se utiliza uma forma mais abreviada e concisa para expressar as equações. Diofanto de Alexandria (século III a. C.) foi quem usou pela primeira vez um símbolo para representar uma incógnita.

A fase simbólica é quando se passa a usar somente símbolos para representar as expressões algébricas. Viète (1540-1603) foi quem começou a introduzir novos símbolos na álgebra e marcou essa nova fase da linguagem algébrica. Devido à

necessidade e à importância da linguagem algébrica para o aprofundamento dos conceitos algébricos, o ensino de álgebra não pode se recusar a desenvolver sua linguagem.