Geodesic Webs of Hypersurfaces

arXiv:0812.2126v1 [math.DG] 11 Dec 2008

2008 ã.,Â. Â. îëüäáåðã, Â. Â. Ëû÷àãèí

∗

Àííîòàöèÿ

 äàííîé ðàáîòå ìû èçó÷àåì ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû, ñâÿçàííûå ñ ãåîäåçè÷åñêèìè

òêàíÿìè ãèïåðïîâåðõíîñòåé. Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ñ êàæäîé ãåîäåçè÷åñêîé

( n + 2)

^{-òêàíüþ}

ãèïåðïîâåðõíîñòåé íà

n

-ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíû åäèíñòâåí-

íàÿïðîåêòèâíàÿñòðóêòóðàè,ïðèóñëîâèèîòìå÷åííîãîñëîåíèÿ,åäèíñòâåííàÿàèííàÿ

ñòðóêòóðà.Ïðîåêòèâíàÿñòðóêòóðàâûäåëÿåòñÿòðåáîâàíèåì,÷òîáûñëîèâñåõñëîåíèéòêàíè

áûëèâïîëíåãåîäåçè÷åñêèìè,ààèííàÿñòðóêòóðàäîïîëíèòåëüíûìòðåáîâàíèåì,÷òîáû

îäíàèçóíêöèéòêàíèáûëààèííîé.

Ýòè ñòðóêòóðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äèåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãåîäåçè÷åñêèõ

òêàíåé, à òàêæå äàòü ãåîìåòðè÷åñêè ïðîçðà÷íûåîòâåòû íà êëàññè÷åñêèåâîïðîñû òåîðèè

òêàíåé,òàêèåêàêïðîáëåìàëèíåàðèçàöèèèòåîðåìàðîíâàëëà.

1 Ââåäåíèå

 äàííîé ðàáîòå ìû èçó÷àåì ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû, ñâÿçàííûå

ñ ãåîäåçè÷åñêèìè òêàíÿìè ãèïåðïîâåðõíîñòåé. Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ñ

êàæäîé ãåîäåçè÷åñêîé

(n + 2)

^{-òêàíüþ} ãèïåðïîâåðõíîñòåé íà

n

^{-ìåðíîì}

ìíîãîîáðàçèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíû åäèíñòâåííàÿ ïðîåêòèâ-

íàÿ ñòðóêòóðà è, ïðè óñëîâèè îòìå÷åííîãî ñëîåíèÿ, åäèíñòâåííàÿ

àèííàÿ ñòðóêòóðà. Ïðîåêòèâíàÿ ñòðóêòóðà âûäåëÿåòñÿ òðåáîâàíè-

åì, ÷òîáû ñëîè âñåõ ñëîåíèé òêàíè áûëè âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèìè, à

àèííàÿ ñòðóêòóðàäîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì, ÷òîáû îäíà èç

óíêöèé òêàíè áûëà àèííîé.

Ýòè ñòðóêòóðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äèåðåíöèàëüíûå èíâàðè-

àíòû ãåîäåçè÷åñêèõ òêàíåé, à òàêæå äàòü ãåîìåòðè÷åñêè ïðîçðà÷íûå

∗

New Jersey Institute of Tehnology, USA; Tromso University, Tromso, Norway; email:

vladislav.goldberggmail.om,lyhaginyahoo.om

ëèíåàðèçàöèè è òåîðåìà ðîíâàëëà.

Ýòà ðàáîòà ÿâëÿåòñÿíåïîñðåäñòâåííûì ïðîäîëæåíèåì ðàáîò [1℄,[2℄,

[3℄ àâòîðîâ ïî ãåîäåçè÷åñêèì òêàíÿì íà ïëîñêîñòè.  [8℄ àíàëîãè÷íûé

âîïðîñîñóùåñòâîâàíèèïðîåêòèâíûõñòðóêòóð ðàññìîòðåíäðóãèììå-

òîäîì, êîòîðûé, êàê ïèøåò ñàì àâòîð, íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì. Â

äàííîé ðàáîòå â îòëè÷èå îò [2℄ ìû èñïîëüçóåì ÿçûê äèåðåíöèàëü-

íûõîðì,êîòîðûé ïîçâîëÿåòçíà÷èòåëüíî óïðîñòèòüîðìóëûè äàòü

ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ èíâàðèàíòîâ ãåîäåçè÷åñêîé òêàíè.

2 Àèííûå ñâÿçíîñòè

Ïóñòü

M = M ⁿ

^{ãëàäêîå} ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè

n

^,

∇

^àèííàÿ

ñâÿçíîñòüáåçêðó÷åíèÿâêîêàñàòåëüíîìðàññëîåíèè

T ^∗ M

^è

d ∇

êîâàðèàíòíûé äèåðåíöèàë :

d _∇ : Ω ¹ (M ) → Ω ¹ (M ) ⊗ Ω ¹ (M ).

Ýòîò äèåðåíöèàë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå

d _∇ = d ⊕ d ^s _∇ ,

ãäå

d

^{äèåðåíöèàë äå àìà, à}

d ^s _∇ : Ω ¹ (M ) → S ² (Ω ¹ )(M )

ñèììåòðè÷åñêàÿ ÷àñòü äèåðåíöèàëà

d _∇

^.

3 åîäåçè÷åñêèå ñëîåíèÿ è ïðîåêòèâíûå ñòðóêòóðû

Íåîáðàùàþùàÿñÿ â íóëü äèåðåíöèàëüíàÿ 1-îðìà

ω 6 = 0

^çàäàåò

ñëîåíèå êîðàçìåðíîñòè îäèí, åñëè

ω ∧ dω = 0

^{. Ñëîè ýòîãî ñëîåíèÿ}

áóäóòâïîëíåãåîäåçè÷åñêèìèâñâÿçíîñòè

∇

^{òîãäàèòîëüêîòîãäàêîãäà}

(ñì. [2℄)

d ^s _∇ ω = θ · ω,

⁽¹⁾

ãäå

θ

^{íåêîòîðàÿ} äèåðåíöèàëüíàÿ 1-îðìà.

Ìû íàçûâàåì óíêöèþ

f

^âïîëíå ãåîäåçè÷åñêîé â ñâÿçíîñòè

∇

^{, åñëè}

åå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ

f = const .

^{ÿâëÿþòñÿ âïîëíå} ãåîäåçè÷åñêèìè â ñâÿçíîñòè

∇

^{, è óíêöèþ}

f

^{ìû íàçûâàåì àèííîé â ñâÿçíîñòè}

∇

^,

åñëè

d ^s _∇ df = 0.

⁽²⁾

àçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2) áóäåì íàçûâàòü

àèííûì ðàíãîì ñâÿçíîñòè

∇

^.

Çàìåòèì, ÷òî àèííûé ðàíã ñâÿçíîñòè

∇

^ðàâåí ðàçìåðíîñòè ìíî- ãîîáðàçèÿ

M

^{òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñâÿçíîñòü}

∇

^{ïëîñêàÿ.}

Äâå ñâÿçíîñòè

∇

^è

∇ ^′

^{ïðîåêòèâíî} ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíèèìåþò îäíè è òå æå ãåîäåçè÷åñêèåèëè (ñì.[10℄)êîãäà

d ^s _∇ (ω) − d ^s _∇ ′ (ω) = ρ · ω

äëÿ íåêîòîðîé 1-îðìû

ρ

^{è âñåõ 1-îðì}

ω

^{. Áîëåå òîãî,} ñîîòíîøåíèå (1) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíûå ñâÿçíîñòè èìåþò îäíè

è òå æå âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèåñëîåíèÿ.

4 Òêàíè

Ïîä

d

^{-òêàíüþ êîðàçìåðíîñòè îäèí ìû ïîíèìàåì íàáîð}

d

^{ñëîåíèé êî-}

ðàçìåðíîñòè îäèí íà

M

^{, åñëè ñëîåíèÿ çàäàíû} äèåðåíöèàëüíûìè 1-îðìàìè

ω _i , i = 1 , . . . , d

^{, è êàæäûå}

n

^{èç íèõ ëèíåéíî} íåçàâèñèìû.

Ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

< ω ₁ , . . . , ω _d >

^òàêóþ

d

^-òêàíü.

Äëÿ çàäàííîé ñâÿçíîñòè

∇

^{ìû ãîâîðèì, ÷òî}

d

^{-òêàíü ÿâëÿåòñÿ ãåî-}

äåçè÷åñêîé, åñëè ñëîè âñåõ ñëîåíèé òêàíè ÿâëÿþòñÿ âïîëíå ãåîäåçè÷å-

ñêèìè â ñâÿçíîñòè

∇

^.

Íàáîðû

< ω ₁ , . . . , ω _d >

^è

< s ₁ ω ₁ , . . . , s _d ω _d >

^{çàäàþò îäíó è òó æå}

d

^{-òêàíü, åñëè}

s ₁ 6= 0, . . . , s d 6= 0

^{, ãäå}

s _i ∈ C ^∞ (M )

^.

Ïóñòüîðìû

ω ₁ , . . . , ω _d

^çàäàþò

d

^{-òêàíü.Âûáåðåì}

n

^{èçíèõ, ñêàæåì,}

ω ₁ , . . . , ω _n

^{, çà áàçèñ. Òîãäà îðìû}

ω _i , i ≥ n + 1

^{, â áàçèñå}

ω ₁ , . . . , ω _n

çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:

a _i1 ω ₁ + · · · + a _in ω _n + ω _i = 0,

⁽³⁾

ãäåêîîðäèíàòû

a ij

^{íåîáðàùàþòñÿâíîëü,à}

a _{i n+2}

^{ìûâäàëüíåéøåìäëÿ}

ïðîñòîòû îáîçíà÷èì ïðîñòî

a _i

^{. Âûáîðîì ìíîæèòåëåé}

s _i , i = 1, . . . , n,

ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî èìååò ìåñòî îðìóëà

ω ₁ + · · · + ω _n + ω _n+1 = 0.

⁽⁴⁾

 äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü íîðìèðîâêè (3) è(4 ). Îòìå-

òèì, ÷òî ïðè íîðìèðîâêàõ (3 ) è (4) îðìû

ω ₁ , . . . , ω _n , ω _n+1 , . . . , ω _d

^è

s ₁ ω ₁ , . . . , s _n ω _n , s _n+1 ω _n+1 , . . . , s _d ω _d

^{çàäàþò îäíó è òó æå}

d

^{-òêàíü òîãäà}

è òîëüêî òîãäà, êîãäà

s = s ₁ = . . . s _n = s _n+1 = · · · = s _d

^{, à òî÷êè}

a ⁽ⁱ⁾ = [a _i1 : · · · : a _in ]

ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà

RP ⁿ⁻¹

^{ÿâëÿþòñÿ èíâà-}

ðèàíòàìè òêàíè. Ìû íàçûâàåì èõ áàçèñíûìè (ñì. [1℄).

5 åîäåçè÷åñêèå òêàíè

Èç îðìóëû (1) âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:

Òåîðåìà 1.

d

^-òêàíü

< ω ₁ , . . . , ω _d >

^áóäåò ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

d ^s _∇ ω _i = θ _i · ω _i , i = 1, . . . , d,

äëÿ íåêîòîðûõ

1

^-îðì

θ _i

^.

Âûáåðåì áàçèñ

∂ ₁ , . . . , ∂ _n

^{âåêòîðíûõ ïîëåé,} äâîéñòâåííûé êîáàçèñó

ω ₁ , . . . , ω _n

^:

ω _i (∂ j ) = δ _ij

^{. Òîãäà}

[∂ i , ∂ _j ] = X

k

c ^k _ij ∂ _k

äëÿ íåêîòîðûõ óíêöèé

c ^k _ij ∈ C ^∞ (M )

^è

∇ ∂ i (∂ j ) = X

k

Γ ^k _ji ∂ k , 1 ≤ i, j ≤ n,

ãäå

Γ ^k _ij

^{ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ âòîðîãî ðîäà ñâÿçíîñòè}

∇

^.

Ñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü

d ^s _∇

^{ïðèíèìàåò âèä}

d ^s _∇ ( ω ^k ) = − X

i,j

Γ ^k _ij ω ^j · ω ⁱ .

⁽⁵⁾

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

Γ ^k _ji − Γ ^k _ij = c ^k _ij .

⁽⁶⁾

Èññëåäóåìóñëîâèÿïîëíîé ãåîäåçè÷íîñòèïåðâûõ

n + 1

^{ñëîåíèé òêà-}

íè. Äëÿñëîåíèé, îïðåäåëÿåìûõ îðìàìè

ω ₁ , . . . , ω _n

^{, ýòè óñëîâèÿèìå-}

þò âèä

d ^s _∇ ω _i = θ _i · ω _i , i = 1, . . . , n,

ãäå

θ _i =

n

X

j=1

θ _ij ω _j .

⁽⁷⁾

Ñðàâíèâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (5) è (7), ïîëó÷àåì

Γ ^k _ik + Γ ^k _ki + θ _ki = 0 , i, k = 1 , . . . , n, Γ ^k _ij + Γ ^k _ji = 0,

^åñëè

i 6= k

^è

j 6= k.

Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèÿ(6) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæ-

äó

Γ ^k _ij

^è

c ^k _ij , θ _ki

^:

Γ ^k _ik = c ^k _ki − θ _ki

2 ,

⁽⁸⁾

Γ ^k _ij = c ^k _ji

2 ,

^åñëè

i 6= k

^è

j 6= k.

⁽⁹⁾

Îáîçíà÷èì ÷åðåç

σ _ij

^è

α _ij

ñèììåòðè÷íóþè êîñîñèììåòðè÷íóþ ÷àñòü ìàòðèöû

(θ ij )

^{, ò.å.}

σ _ij = θ _ij + θ _ji

2 , α _ij = θ _ij − θ _ji 2 ,

è ïîëîæèì

t _i = θ _ii

^{. Òîãäà óñëîâèå ïîëíîé} ãåîäåçè÷íîñòè

( n + 1)

^-ãî

ñëîåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ñèììåòðè÷åñêóþ ÷àñòü

θ _ij

^,

σ _ij = t _i + t _j

2 ,

à òàêæå äàåò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå äèåðåíöèàëüíîé îðìû

θ _n+1

^:

θ _n+1 =

n

X

i=1

t _i θ _i .

Óñëîâèÿ ïîëíîé ãåîäåçè÷íîñòè

(n + 2)

^{-ãî ñëîåíèÿ ïîçâîëÿþò îïðå-}

äåëèòü êîñîñèììåòðè÷íóþ ÷àñòü

α _ij

^:

α _ij = t _j − t _i

2 + s _ij ,

ãäå

s _ij = s ^a _ij = 1 a _i − a _j

a _i ∂ _j − a _j ∂ _i

log a _j a _i ,

è

θ _n+2 = θ _n+1 +

n

X

i=1

a _i,i a _i ω _i ,

ãäå

a _i,i

ïðîèçâîäíàÿ îò

a _i

^âäîëü

∂ _i

^.

Îêîí÷àòåëüíî, äèåðåíöèàëüíûå îðìû

θ _i , θ _n+1 , θ _n+2

^{èìåþò âèä}



 

 

 



 

 

 



θ _i = θ _n+1 +

n

X

i=1

s _ij ω _j , i = 1, . . . , n, θ _n+1 = θ _n+1 ,

θ _n+2 = θ _n+1 +

n

X

i=1

a _i,i

a _i ω _i .

Òåîðåìà 2. Àèííàÿ ñâÿçíîñòü áåç êðó÷åíèÿ, äëÿ êîòîðîé

(n + 2)

^-

òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, çàäàåòñÿ îðìà-

ìè

θ ₁ , . . . , θ _n

^âèäà

θ _i = θ _n+1 +

n

X

i=1

s _ij ω _j ,

⁽¹⁰⁾

à ñîîòâåòñòâóþùèå ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî îðìó-

ëàì

(

⁸

)

^è

(

⁹

)

^.

Òåîðåìà 3. Êàæäàÿ

(n + 2)

^-òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé îïðåäåëÿåò åäèíñòâåííóþ ïðîåêòèâíóþ ñòðóêòóðó, à èìåííî, êëàññ ïðîåêòèâíî

ýêâèâàëåíòíûõ ñâÿçíîñòåé, îïðåäåëÿåìûõ îðìàìè

(

¹⁰

)

^.

Óêàçàííóþ â òåîðåìå åäèíñòâåííóþ ïðîåêòèâíóþ ñòðóêòóðó íàçî-

âåì êàíîíè÷åñêîé.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîé

d

^{-òêàíè, ãäå}

d ≥ n + 2

^{, êàíî-}

íè÷åñêèå ïðîåêòèâíûå ñòðóêòóðû, îïðåäåëÿåìûå ðàçëè÷íûìè

(n + 2)

^-

ïîäòêàíÿìè, ñîâïàäàþò.Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû ãîâîðèì î êàíîíè-

÷åñêîé ïðîåêòèâíîé ñòðóêòóðå ãåîäåçè÷åñêîé

d

^-òêàíè,

d ≥ n + 2

^.

Òêàíü ñ âûäåëåííûì ñëîåíèåì áóäåì íàçûâàòü îòìå÷åííîé.

àññìîòðèìîòìå÷åííóþ

d

^{-òêàíüè} ïðåäïîëîæèì,÷òîâûäåëåíî

(n+

1)

^{-å ñëîåíèå. Âûáåðåì íîðìèðîâêó (ëîêàëüíî) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû}

ω _n+1 = df

^{, à àèííóþ ñâÿçíîñòü òàê, ÷òîáû îðìà}

θ _n+1 ≡ 0

^.

Òîãäà äëÿ ýòîé àèííîé ñâÿçíîñòè óíêöèÿ

f

^{ÿâëÿåòñÿ àèí-}

íîé. Îòìåòèì, ÷òî òàêàÿ óíêöèÿ

f

^{îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî à-}

èííîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ

f → af + b

^.

Òåîðåìà 4. Êàæäàÿ îòìå÷åííàÿ

( n + 2)

^-òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé îïðåäåëÿåò åäèíñòâåííóþ àèííóþ ñâÿçíîñòü, äëÿ êîòîðîé òêàíü

öèåé.

Óêàçàííóþ âòåîðåìååäèíñòâåííóþàèííóþñòðóêòóðóìûòàêæå

íàçîâåì êàíîíè÷åñêîé.

6 Óñëîâèÿ ãåîäåçè÷íîñòè

d

^-òêàíè

Ïðåäïîëîæèì,÷òî ìû óæå ïðîâåëè íîðìèðîâêè (4) è (3 ). àññìîòðèì

ñëîåíèå, çàäàâàåìîå îðìîé

ω

^{, ãäå}

ω = b ₁ ω ₁ + · · · + b _n ω _n .

Ýòî ñëîåíèå âïîëíå ãåîäåçè÷íî â ñâÿçíîñòè

∇

^{, åñëè}

d ^s _∇ ω = θ · ω,

èëè

s ^a _ij = s ^b _ij .

Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 5. Îáîçíà÷èì ÷åðåç

( a ^k )

^{íàáîð áàçèñíûõ} èíâàðèàíòîâ, ãäå

k = n + 2 , . . . , d

^{. Òîãäà}

d

^-òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé áóäåò ãåîäåçè÷å- ñêîé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà

s ^(a

k )

ij = s ^(a

l )

ij

^{äëÿ âñåõ}

k, l = n + 2, . . . , d.

7 Ëèíåàðèçóåìîñòü òêàíåé

Èçâåñòíî, ÷òî åñëè

dim M = 2

^{, òî} íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëî- âèåì òîãî,÷òîáû ìíîãîîáðàçèå

M

^{áûëî ïëîñêèì, ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå}

â íóëü òåíçîða Ëèóâèëëÿ (ñì. [5℄, [6℄ èëè [3℄). Åñëè æå

dim M > 2

^,

òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òîãî, ÷òîáû ìíîãîîáðàçèå

M ⁿ

^{áûëî ïëîñêèì, ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå â íóëüòåíçîðà Âåéëÿ(ñì. [9℄).}

Îòñþäà è èç ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 4 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 6.

(

^[2℄

) 1.

^Åñëè

dim M = 2

^{, òî}

d

^-òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé,

d ≥ 4

^{, ëîêàëüíî} ëèíåàðèçóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâ- ëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, à òåíçîð Ëèóâèëëÿ êàíîíè÷åñêîé ïðîåêòèâíîé

ñòðóêòóðû îáðàùàåòñÿ â íóëü.

2.

^Åñëè

dim M > 2

^{, òî}

d

^{-òêàíü ïðè}

d ≥ n + 2

^{ëîêàëüíî ëèíåàðè-}

çóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåò ñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, à

òåíçîð Âåéëÿ êàíîíè÷åñêîé ïðîåêòèâíîé ñòðóêòóðû îáðàùàåòñÿ â

íóëü.

8 Òåîðåìû òèïà ðîíâàëëà

Èç Òåîðåìû 3 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà òèïà ðîíâàëëà (ñì. [4℄ è

[2℄ äëÿ

n = 2

^).

Òåîðåìà 7.Ëþáîå îòîáðàæåíèå ãåîäåçè÷åñêîé

d

^-òêàíè ãèïåðïîâåðõ- íîñòåé ïðè

d ≥ n +2

^{íà äðóãóþ} ãåîäåçè÷åñêóþ

d

^{-òêàíü ÿâëÿåòñÿ ïðî-}

åêòèâíûì ïðåîáðàçîâàíèåì îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðîåêòèâ-

íûõ ñòðóêòóð.

Òåîðåìà 4 âëå÷åò áîëåå ñèëüíóþ òåîðåìó òèïà ðîíâàëëà.

Òåîðåìà 8. Îòîáðàæåíèå îòìå÷åííûõ ãåîäåçè÷åñêèõ

d

^{-òêàíåé ãè-}

ïåðïîâåðõíîñòåé ïðè

d ≥ n + 2

^{ÿâëÿåòñÿ àèííûì} îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ àèííûõ ñòðóêòóð.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1℄ M.A.Akivis, V.V. Goldberg,V.V. Lyhagin,SeletaMath. 10(4),431

451 (2004).

(ïðèíÿòî ê ïå÷àòè â Ata Appl. Math. (2009)).

[3℄ Goldberg, V. V., Lyhagin, V. V., arXiv:0812.0125v2, pp. 131 (2009)

(ïðèíÿòîêïå÷àòèèáóäåòîïóáëèêîâàíîâTheAbelSymposium 2008,

Springer (2009)).

[4℄ Gronwall, T. H., J. de Liouville 8, 59102 (1912).

[5℄ Lie, S., Arhiv fur Math. og Naturvidenskab 8 (Kristiania, 1883), 371

458; see also Gesammelte Abhandlungen. Bd. 5 (1924), paper XIV,

362427.

[6℄ Liouville, R., Journal de l'

Eole Polytehnique 59, 776 (1889).

[7℄ K. Nomizu and T. Sasaki, Ane Dierential Geometry (Cambridge

Trats in Mathematis, 111. Cambridge University Press, Cambridge,

1994).

[8℄ Pirio, L., arXiv: 0811.1810v1, pp. 126 (2008).

[9℄ Veblen, O. and Thomas, J. M., Ann. Math. (2) 27, no. 3, 279296,

(1926).

[10℄ Weyl, H., Gott. Nahr., 1921, 99122 (1921).

V.V. Goldberg, V.V. Lyhagin

Inthepresentpaperwestudygeometristruturesassoiatedwithwebsofhypersurfaes.Weprovethat

withanygeodesi

( n + 2)

^-webonan

n

-dimensionalmanifoldthereisnaturallyassoiatedauniqueprojetive strutureand,providedthatoneofwebfoliationsispointed,thereisalsoassoiatedauniqueanestruture.

Theprojetivestrutureanbehosenbythelaimthattheleavesofallwebfoliationsaretotally geodesi,

andtheanestruturebyanadditionallaimthatoneofwebfuntionsisane.

Thesestruturesallowustodeterminedierentialinvariantsofgeodesiwebsandgivegeometriallylear

answerstosomelassialproblemsofthewebtheorysuhastheweblinearizationandtheGronwalltheorem.