Fundamentos de ondas magnetohidrodinámicas

Facultat de Ciències

Memòria del Treball de Fi de Grau

Fundamentos de ondas magnetohidrodinámicas.

Alex Liesegang Escamilla Grau de Física

Any acadèmic 2016-17

DNI de l’alumne: 41574586Q

Treball tutelat per Ramón Oliver Herrero Departament de Física

S'autoritza la Universitat a incloure aquest treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línia, amb finalitats

exclusivament acadèmiques i d'investigació

Autor Tutor

Sí Sí

X X

Paraules clau del treball:

Magnetohidrodinámica, ondas, MHD.

Índice.

1. Introducción

2. Ecuaciones de la magnetohidrodinámica ideal

2.1.

Derivación de las ecuaciones de la magnetohidrodinámica. . . . .

2.2.

Equilibrio estático . . .

2.3.

Perturbaciones respecto del equilibrio . . .

2.4.

Fuerzas fuera del equilibrio . . .

2.5.

La ! del plasma . . .

3. Ondas magnetohidrodinámicas

Ondas MHD en un medio homogéneo . . .

3.2.

Relación de dispersión . . .

3.3.

Velocidad de fase. . .

3.4.

Cálculo de las amplitudes. . .

3.5.

Fuerzas. . .

4. Resultados

Caso ! ≪ 1. . .

4.2.

Caso ! ~ 1. . . .

4.3.

Caso ! ≫ 1. . . .

5. Conclusión

6. Bibliografía

1. Introducción.

El plasma es un gas parcial o totalmente ionizado cuya estructura microscópica está prácticamente formada por átomos libres cargados eléctricamente. Sus propiedades son tan distintas a los gases, líquidos y sólidos que se considera otro estado de agregación de la materia;

de hecho, es el estado más abundante en el universo, ya que forma las estrellas y se encuentra presente en el espacio interplanetario, interestelar e intergaláctico.

El plasma se da esencialmente a altas temperaturas, ya que la energía térmica permite la ionización de los átomos, aunque también es posible la formación de plasma por aplicación de campos magnéticos fuertes.

Otros ejemplos en los que el plasma está presente son: el Sol, en la ionosfera, los rayos durante las tormentas, dentro de tubos fluorescentes, en monitores de plasma, en motores de magnetoplasma utilizados para la propulsión de vehículos espaciales (VASIMR), etc. Y quizá una de las aplicaciones con más potencial sea la fusión termonuclear controlada, en la que se confinan los átomos de hidrógeno mediante la aplicación de campos electromagnéticos (Tokamak y Stellarator) para hacerlos colisionar, superando así la repulsión eléctrica gracias a dicho confinamiento.

En este trabajo consideraremos un plasma en unas condiciones ideales, en las que el campo magnético será uniforme, la conductividad eléctrica infinita y la viscosidad nula, y analizaremos cómo son las ecuaciones que describen su comportamiento, así como las fuerzas que actúan sobre él. A continuación, lo perturbaremos ligeramente, y mediante una aproximación lineal veremos cómo se generan dos tipos de ondas lineales: las denominadas ondas magnetoacústicas y las ondas de Alfvén. Nos centraremos en las ondas magnetoacústicas y veremos cómo la velocidad de propagación depende esencialmente de dos velocidades: La velocidad del sonido (₎ y la velocidad de Alfvén (_*. Para medir la influencia de una (la velocidad del sonido) sobre la otra (velocidad de Alfvén) definiremos un parámetro que denominaremos la ! del plasma y que es aproximadamente igual a (₎⁺/(_*⁺. Finalmente, estudiaremos las propiedades de las ondas magnetoacústicas en tres situaciones distintas que corresponderán a:

! ≪ 1, ! ~ 1 y ! ≫ 1.

El objetivo del trabajo es estudiar los fundamentos de las ondas magnetohidrodinámicas lineales en un caso ideal, para entender y ver con más claridad qué fuerzas marcan el comportamiento de un plasma y cómo son las ondas que en él se propagan. Se espera que los cálculos que a continuación se presentan puedan servir como base para otros trabajos.

2. Ecuaciones de la magnetohidrodinámica ideal.

El objetivo de este capítulo es presentar las ecuaciones de la magnetohidrodinámica (MHD) ideal junto con algunas propiedades de sus soluciones. En concreto, discutiremos brevemente las características del equilibrio de un sistema descrito por la MHD (Apartado 2.2) y a continuación pasaremos a describir, desde un punto de vista muy general, las perturbaciones de pequeña amplitud en la MHD ideal (Apartados 2.3 y 2.4).

2.1. Derivación de las ecuaciones de la magnetohidrodinámica.

La magnetohidrodinámica (MHD) es una teoría para estudiar la dinámica de un plasma (gas ionizado) en presencia de un campo magnético. Una forma sencilla de derivar esta teoría consiste en juntar las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones para la dinámica de un fluido, junto con la ley de Ohm y la suposición de que los movimientos son no relativistas. La MHD ideal es una versión simplificada de la MHD en la que se añaden las suposiciones adicionales de que el plasma es un conductor perfecto y con viscosidad nula. Goedbloed and Poedts (2004) y Priest (2014) dan información detallada sobre la derivación de las ecuaciones de la MHD.

Empezamos enunciando las ecuaciones de Maxwell:

- · / =1^∗

3₄, (2.1)

- · 6 = 0, (2.2)

-×/ = −:6

:;, (2.3)

-×6 = 1

<⁺ :/

:; + > ?, (2.4)

donde E y B son los campos eléctrico y magnético, respectivamente, 1* es la densidad de carga, j la densidad de corriente, c la velocidad de la luz y 3₄ y > la permitividad y la permeabilidad magnética, respectivamente. Aplicando la aproximación no relativista, la ecuación (2.4) permite escribir:

? =1

>∇×6. (2.5)

A continuación presentamos la ley de Ohm, que dice que cuando un elemento de plasma se mueve a velocidad no relativista, la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico en un sistema de referencia que se mueve con el plasma. La constante de proporcionalidad es la conductividad eléctrica, A. Por tanto:

? = A / + B×6 , (2.6)

siendo E el campo eléctrico que actuaría sobre el plasma si se encontrase en reposo y B×6 el campo eléctrico creado por el movimiento del plasma, con velocidad v, en el campo magnético B.

En la MHD, el campo magnético y la velocidad del plasma son las variables fundamentales, mientras que el resto pueden obtenerse a partir de estas. Así, la ecuación (2.5) proporciona la densidad de corriente y, una vez conocida esta, el campo eléctrico se puede determinar con la ayuda de la ecuación (2.6):

/ = ?

A− B×6. (2.7)

Además, la densidad de carga puede calcularse a partir de la ecuación (2.1).

Ahora aún quedan por emplear las ecuaciones (2.2) y (2.3). La primera de ellas es una restricción que debemos imponer al campo magnético, mientras que sustituyendo la ecuación (2.7) en la segunda llegamos a:

:6

:; = -× B×6 − -× ? A .

Suponiendo que la conductividad eléctrica es muy elevada (es decir, que el plasma es un conductor perfecto, tal y como sucede en muchas aplicaciones astrofísicas) y que por ello el término con la densidad de corriente se puede anular, obtenemos la que se conoce como ecuación de inducción para un plasma conductor perfecto:

:6

:; = -× B×6 . (2.8)

Continuamos con las ecuaciones para un fluido. En primer lugar tenemos la ecuación de continuidad de masa:

:1

:;+ - · 1 B = 0, (2.9)

siendo 1 la densidad de masa. En segundo lugar, tenemos la ecuación de conservación del momento, en la que incluimos únicamente las fuerzas debidas al gradiente de presión y al campo magnético:

1:B

:;+ 1 B · - B = −-C + ?×6. (2.10)

El término ?×6 se conoce como fuerza de Lorentz. En el Apartado 2.2 lo analizaremos brevemente. Por último, incluimos la ecuación de energía para cambios de estado adiabáticos:

:C

:;+ B · -C = −DC- · B, (2.11)

donde D es el coeficiente adiabático o cociente entre los calores específicos a presión constante y a volumen constante. Aquí adoptamos el valor D = 5/3.

Resumiendo, las ecuaciones de la MHD ideal, que son las que consideramos en esta memoria, son las ecuaciones (2.8), (2.9), (2.10) y (2.11), junto con la ecuación (2.5) para calcular j y la restricción sobre B de la ecuación (2.2). Ahora las volvemos a escribir con la finalidad de que queden juntas en un mismo lugar del texto:

:1

:;+ - · 1 B = 0, (2.12)

:C

:;+ B · -C = −DC- · B, (2.13)

:6

:; = - × B×6 , (2.14)

? =1

>-×6, (2.15)

1:B

:;+ 1 B · - · B = −-C + ?×6, (2.16)

- · 6 = 0. (2.17)

Recordando que C, 1, B, 6 y ? son la presión, densidad, velocidad, intensidad del campo magnético y densidad de corriente en un elemento de plasma con vector de posición r en un instante t. No escribimos esta dependencia explícitamente para abreviar la notación. Es necesario aclarar que el plasma que consideramos en esta memoria está totalmente ionizado.

2.2. Equilibrio estático.

Consideramos que no existe dependencia temporal y que el plasma está en reposo, de modo que las variables sólo tienen dependencia espacial. Es decir:

C = C₄ F , 1 = 1₄ F , ? = ?_G F , 6 = 6_G F , B = 0 H :

:;= 0. (2.18) Si introducimos estas restricciones en las ecuaciones MHD obtenemos:

−∇C₄+ ?_G×6_G= I, (2.19)

?_G=1

>∇×6_G. (2.20)

Donde 6_G debe cumplir la restricción adicional - · 6G= 0. Los demás miembros del resto de ecuaciones de la MHD ideal son cero.

De la ecuación (2.19) podemos extraer la estructura estática del sistema. Para ello introducimos (2.20) en (2.19) y vemos que

−∇C₄+1

>(∇×6_G)×6_G= I. (2.21)

Y finalmente tras manipular el doble producto vectorial obtenemos:

1

>(∇×6_G)×6_G =1

>(6_G· ∇)6_G− ∇ L₄⁺

2> . (2.22)

Veamos cómo se manifiestan estos dos términos, a los que denominamos tensión magnética y fuerza debida al gradiente de la presión magnética, respectivamente.

N_OP,4=1

>(6_G· ∇)6_G, (2.23)

N_QP,4 = −∇ L₄⁺

2> . (2.24)

Por una parte la tensión magnética (N_OP,4), como su nombre indica, funciona como la tensión en una cuerda, es decir, como una fuerza recuperadora.

Para entender mejor el comportamiento de dicha fuerza tomemos 6G(R) = L₄(R)S, siendo S el vector unitario en el la dirección de 6_G y s una coordenada a lo largo de la línea de campo magnético. De este modo podemos reescribir (2.23) de la forma:

N_OP,4=1

>(6_G· ∇) · 6_G =L₄

>

T(L₄S) TR =L₄

>

TL

TRS +L₄⁺

>

TS

TR . (2.25)

O equivalentemente:

N_OP,4 = T TR

L₄⁺

2> S +L₄⁺

> · U

V< , (2.26)

donde Rc es el radio de curvatura de las líneas de campo magnético y U es la dirección normal principal a dichas líneas de campo magnético. Para más detalle, ver Priest (2014).

El primer término de la suma representa la componente tangencial de la fuerza mientras que el segundo la componente normal.

Por otra parte tenemos la fuerza debida a la presión magnética N_QP,4. Esta, como la presión atmosférica, responde a un gradiente, ahora de campo magnético, estableciendo una fuerza que tiende a igualar la densidad de campo magnético en el espacio. En cuanto a su dirección, si tomamos de nuevo 6G= L₄(R)S, tenemos que

N_QP,4 = −∇ L₄⁺

2> = − T TR

L⁺

2> S . (2.27)

Es decir, tiene la dirección en la que varía el campo. Notamos que la fuerza resultante del término ?_G×6_G tiene que ser perpendicular 6_G (y a ?_G). De modo que la componente tangencial de la fuerza de Lorentz, igual a la suma del gradiente de la presión magnética y la componente tangencial de la tensión magnética, tiene que anularse. Esto resulta evidente en el equilibrio puesto que los términos según la dirección del campo son iguales y de signo contrario para la presión y la tensión magnéticas, pero no tiene porqué ser así fuera del equilibrio.

La figura 2.1 presenta esquemáticamente dos ejemplos de estructura magnética en las que el campo es recto. En la figura 2.1a 6_G es uniforme y por tanto la fuerza de Lorentz se anula puesto que ?G= 0. Esto se consigue gracias a que tanto la tensión magnética como el gradiente de la presión magnética son nulos. Por otra parte, si el campo magnético es recto pero no

Figura 2.1. (a) En un campo magnético uniforme, la presión magnética (P) y la tensión (T) se anulan.

(b) En un campo L(W)XY no existe balance entre las fuerzas.

Fuente: Priest (2014).

uniforme, como en la figura 2.1b, entonces la tensión magnética sigue siendo cero pero el gradiente de la presión magnética no lo es (crea una fuerza que apunta hacia la izquierda). Por consiguiente, la fuerza de Lorentz no se anula y se necesita una presión de gas no uniforme para que el sistema se encuentre en equilibrio.

Las configuraciones de la figura 2.2 poseen un campo magnético curvado. En la figura 2.2a tenemos una solución de la ecuación (2.21) en la que C₄ es uniforme y ?_G= 0 (ver Priest 2014 para más detalles). Sobre el elemento de plasma señalado a la izquierda de la figura actúa una tensión magnética hacia la izquierda (recordemos que la tensión de las líneas de campo actúa de manera similar a la tensión de una cuerda elástica que ha sido deformada). Por otra parte, la densidad de líneas de campo decrece hacia la derecha, por lo que el gradiente de la presión magnética intenta igualar la densidad de líneas de campo empujando el plasma hacia la derecha.

Las dos fuerzas magnéticas actúan, por tanto, en sentidos opuestos y en este caso concreto se cancelan. La estructura magnética de la figura 2.2b es ligeramente distinta a la de la figura 2.2a y por ello la cancelación entre las dos fuerzas magnéticas no tiene lugar. Las flechas muestran la fuerza de Lorentz en cuatro puntos distintos.

Figura 2.2. Tensión y presión magnética debido a la curvatura de las líneas de campo.

Fuente: Priest (2014).

2.3

Perturbaciones respecto del equilibrio.

Consideramos pequeñas perturbaciones respecto del equilibrio para todas las variables:

Campo magnético: 6 F, ; = 6_I F + 6_Z F, ; (2.28)

Densidad: 1 F, ; = 1_[ F + 1_\ F, ; (2.29)

Velocidad: B F, ; = B_I F + B_Z F, ; (2.30)

Presión: C F, ; = C_[ F + C_\ F, ; (2.31)

Donde las variables con subíndice “1” representan la perturbación respecto del equilibrio (subíndice “0”), y son tal que su orden de magnitud es muy inferior al del equilibrio (6_Z ≪

6_I , B_Z ≪ B_I , …). Esto es la aproximación lineal.

A continuación, introducimos dichas perturbaciones en las ecuaciones MHD y despreciamos los términos que contienen productos de perturbaciones, ya que son mucho menores que el resto de términos. Obtenemos:

:1_\

:; − 1_[(- · B_Z) = 0, (2.32)

:C_\

:; = −DC_[(- · B_Z), (2.33)

:6_Z

:; = - × B_Z×6_G , (2.34)

1_[:B_Z

:; = −-C_\+1

> -×6_Z ×6_I. (2.35)

Si tomamos la divergencia de la ecuación (2.34) observamos que el miembro de la derecha es cero, mientras que el de la izquierda es igual a la derivada temporal de - · 6_Z. Por lo tanto, si se cumple la ecuación (2.34) en t = 0, automáticamente se satisface - · 6_Z= 0 ∀ t.

2.4. Fuerzas fuera del equilibrio.

Como hemos visto en el Apartado 2.2 (Equilibrio estático), el término ?×6 puede descomponerse en dos términos,

?×6 =1

> 6 · ∇ · 6 − ∇ 6 · 6

2> , (2.36)

que corresponden a la tensión y gradiente de la presión magnética, respectivamente.

Ahora, fuera del equilibrio 6 F, ; = 6_I+ 6_Z, de modo que reescribimos (2.23) y (2.24), eliminando de nuevo productos de perturbaciones, y obtenemos:

N_OP =1

>(6_G· ∇)6_G+1

> (6_G· ∇)6_Z+ (6_Z· ∇)6_G

= NOP,4 + NOP,\,

(2.37) y

N_QP= −∇ 6 · 6

2> = −∇ L₄⁺

2> +(6_G· 6_Z)

>

= N_QP,4+ NQP,\.

(2.38)

2.5 La ! del plasma.

La ! del plasma es una cantidad adimensional cuyo valor determina la importancia relativa de las dos fuerzas presentes en la ecuación de conservación del momento, y se define como el cociente entre la presión del plasma y la presión magnética:

! =2>C L⁺.

Cuando ! ≪ 1 la fuerza magnética, ?×6, posee una magnitud mucho mayor que la presión de gas, −-C, y domina la dinámica del sistema. Lo contrario sucede cuando ! ≫1.

3. Ondas Magnetohidrodinámicas.

En este capítulo estudiamos las ondas magnetoacústicas rápida y lenta. En un medio homogéneo, se trata de las dos soluciones a las ecuaciones linealizadas de la MHD ideal, caracterizadas por producir movimientos del plasma en el plano que contiene el campo magnético y el vector de onda.

Suponemos que las perturbaciones (6Z, B_Z, …) son ondas planas, es decir, se pueden expresar como:

__\ F, ; = __\· `WC a b · ; − c · F , (3.1) donde __\, k y b son constantes. Para perturbaciones de esta forma se cumple

∇(_\ F, ; ) = −ac__\ y :O __\ F, ; = ab__\.

3.1. Ondas MHD en un medio homogéneo.

Consideramos que inicialmente el sistema se encuentra en el estado definido por:

C = C₄, 1 = 1₄, 6 = L₄d_e, B = I, ? = I. (3.2) Es decir, un estado en el que tanto la presión como la densidad son constantes en todo el espacio. Lo mismo sucede con el campo magnético, por lo que la densidad de corriente es nula.

Como puede verse en la ecuación (3.2), situamos el eje x a lo largo del campo magnético del equilibrio. Por último, en el equilibrio el plasma está en reposo.

Así pues, las variables en un instante t y en una posición r son:

C = C₄+ C_\ F, ; , 1 = 1₄+ 1_\ F, ; , 6 = L₄d_e+ 6_Z F, ;

y B = BZ (F, ;). (3.3)

Donde la perturbación de las variables responde a la forma (3.1).

Si introducimos las ecuaciones (3.3) en las ecuaciones (2.32) a (2.35) entonces obtenemos:

ab1_\− 1_[ac · B_\ = 0, (3.4)

abC_\= DC_[ac · B_\, (3.5)

ab6_\= −ac× B_\×6_I , (3.6)

ab1_[B_\= acC_\−1

> ac×6_\ ×6_I. (3.7)

La ecuación (3.4) proporciona una relación entre 1\ y c · B\. El camino que seguiremos consiste en obtener B_\ a partir de la resolución de las ecuaciones (3.5) a (3.7) para después calcular 1_\ con la ecuación (3.4). A continuación sustituimos C_\de la ecuación (3.5) y 6_\de la ecuación (3.6) en la ecuación (3.7), y tras multiplicarla por – ab obtenemos:

b⁺1_[B_\= DC_[c c · B_\ +1

> c×[c×(B_\×6_I)] ×6_I. (3.8) Vemos que la ecuación (3.8) relaciona B_\con los parámetros del equilibrio (1_[, C_[y 6_I) y los parámetros de la onda (la frecuencia y el vector de onda).

Es fácil comprobar que las perturbaciones 1_\, C_\ junto con las componentes de 6_\y B_Z en el plano de k y 6_I son las incógnitas de un sistema algebraico de ecuaciones. Por otra parte, las componentes de 6_\ y B_\ en la dirección perpendicular a k y 6_I, son las incógnitas de otro sistema algebraico de ecuaciones desacoplado del anterior. En este trabajo presentaremos únicamente las ecuaciones del primer sistema, que gobiernan la propagación de los modos magnetoacústicos. El segundo sistema, que gobierna la propagación de las llamadas ondas de Alfvén, no se estudia aquí.

A continuación proyectamos (3.8) en la dirección de de y eliminamos el último término puesto que este es perpendicular a 6I y por lo tanto también a de.

Así pues obtenemos:

b⁺1_[i_\j = DC_[k_j c · B_\ . (3.9) O equivalentemente:

b⁺i_\j = k_j(₎⁺ c · B_\ , (3.10) donde

(₎⁺=DC_[

1_[, (3.11)

es a la velocidad del sonido al cuadrado.

Por otra parte, otra ecuación interesante la obtenemos proyectando la ecuación (3.8) en la dirección de c, esto es:

b⁺1_[ c · B_\ = DC_[k⁺ c · B_\ +1

>c · c×[c×(B_\×6_I)] ×6_I. (3.12)

A continuación, simplificamos el último término utilizando algunas propiedades vectoriales, y

b⁺1_[ c · B_\ = DC_[k⁺ c · B_\ + k⁺L_G^l

> c×B_\ − k_ji_\j . (3.13) O equivalentemente, recordando la definición de (₎⁺

b⁺ c · B_\ = k⁺ (₎⁺+ L_G^l

1_[> c · B_\ − k_jk⁺ L_G^l

1_[>i_\j. (3.14) Y vemos que nos aparece una nueva velocidad, (*, conocida como la velocidad de Alfvén y cuyo cuadrado es:

(_*⁺= L_G^l

1_[>. (3.15)

Una vez definidas las dos velocidades que controlan las propiedades de las ondas MHD lineales, podemos escribir la siguiente expresión para !:

! =D 2·(₎⁺

(_*⁺, donde el factor D/2 = 5/6 es aproximadamente igual a 1.

3.2. Relación de dispersión.

En el apartado anterior hemos llegado a

b⁺ c · B_\ = k⁺ (₎⁺+ (_*⁺ · c · B_\ − k_jk⁺(_*⁺B_\j, (3.16)

expresión que, junto con la ecuación (3.10), podemos reescribir en forma matricial como sigue:

b⁺ −k_j(_m⁺

k_jk⁺(_*⁺ b⁺− k⁺ (₎⁺+ (_*⁺ · B_\j

c · B_\ = I. (3.17)

Y para obtener una solución no trivial el determinante de coeficientes tiene que ser igual a cero (en caso contrario B\j, c · B_\ = 0 ).

De este modo obtenemos

bⁿ− k⁺ (₎⁺+ (_*⁺ b⁺+kj+k⁺(_m⁺(_*⁺= 0, (3.18)

cuya solución es

b⁺=k⁺

2 (₎⁺+ (_*⁺ ± (₎⁺+ (_*^{+ +}− 4k_j⁺ k⁺(₎⁺(_*⁺

\/+

. (3.19)

Esta fórmula es la relación de dispersión para las ondas magnetoacústicas en un medio homogéneo. Estas ondas reciben el nombre de magnetoacústicas puesto que sus propiedades están gobernadas por dos fuerzas restauradoras, la presión de gas y la fuerza magnética ?×6.

Una manera alternativa de escribir la ecuación (3.19) se basa en usar el ángulo, q, que forma k con el eje x (o sea, el ángulo entre k y 6_G). Entonces k_j = k(rR q y la ecuación (3.19) queda:

3.3. Velocidad de fase.

Notamos que existen dos modos de vibración correspondientes al signo + y – de la ecuación (3.19), cuyas frecuencias denominaremos b_sH b_t.

La velocidad de fase viene dada por

i_Qu =b

k, (3.20)

de modo que tendremos dos velocidades correspondientes a b_sH b_t, a las que denominaremos i_vw)O H i_)x4y sucesivamente. El motivo de emplear estos nombres para referirnos a las dos soluciones de la relación de dispersión, es que la velocidad de propagación de una onda viene dada por su velocidad de fase. Al ser b_s> bt, resulta ivw)O> i)x4y y, por lo tanto, la primera onda magnetoacústica (la onda rápida) se propaga a mayor velocidad que la segunda (la onda lenta).

Para continuar situamos el eje z de manera que el vector de onda esté contenido en el plano Wz.

Por ello, k_j= k(rR q , k_{= 0 y k_| = k}a~ q .

En cuanto a la velocidad de fase, sus componentes en las direcciones x y z son:

i_Qu,j = i_Qu(rR q y i_Qu,| = i_Qu}a~ q ,

Por otra parte, notamos que si el campo es nulo (L_[ = 0) (_*= 0 y la relación de dispersión (3.19) se transforma en

b⁺=k⁺

2 (₎⁺± (₎⁺ . b⁺=k⁺

2 (₎⁺+ (_*⁺ ± (₎⁺+ (_*^{+ +}− 4(₎⁺(_*⁺(rR⁺(q) ^\/+ .

De modo que, tomando el signo positivo b

k = i_Qu = (₎.

Para el signo negativo vemos que la velocidad de fase es nula, de modo que no existe modo lento. Así pues, en el caso en que el campo magnético es nulo, solo existe una de las dos ondas magnetoacústicas y su velocidad de fase es igual a la velocidad del sonido. De hecho, se trata de una onda sonora en un medio homogéneo.

3.4. Cálculo de las amplitudes.

La ecuación (3.10) nos permite escribir el conjunto de ecuaciones (3.4) a (3.7) en función de la velocidad i_\j, puesto que

c · B_\ =b⁺i_\j

k_j(₎⁺. (3.21)

Sustituyendo c · B_\ = k_ji_\j+ k_|i_\| , obtenemos:

i_\| =b⁺− k_j⁺(₎⁺

k_jk_|(₎⁺ i_\j. (3.22)

Además:

1_\= 1_[ b

k_j(₎⁺ i_\j, (3.23)

C_\= DC_[ b

k_j(₎⁺ i_\j, (3.24)

6_\= L_[·b⁺− k_j⁺(₎⁺

bk_jk_|(₎⁺ · k_|d_e− k_jd_ i_\j. (3.25) Notamos que estas expresiones aparentemente divergen para k_j = 0 o para k_| = 0. Para evitar este posible problema las reescribimos ahora en términos de i_\|.

La ecuación (3.22) queda:

i_\j = k_jk_|(₎⁺

b⁺− k_j⁺(₎⁺i_\|. (3.26)

Así podemos escribir:

1_\ = 1_[ bk_|

b⁺− k_j⁺(₎⁺i_\|, (3.27)

C_\= DC_[ bk_|

b⁺− k_j⁺(₎⁺i_\|, (3.28)

6_\ =L_[

b k_|d_e− k_jd_ i_\|. (3.29)

Es importante mencionar que las perturbaciones de la presión y la densidad no son independientes entre sí. Las ecuaciones (3.23) y (3.24), por un lado, y las ecuaciones (3.27) y (3.28), por otro, implican:

C_\ = (₎⁺1_\

Para estudiar las propiedades de una onda debemos seguir los siguientes pasos:

1. Fijamos los valores de los parámetros del equilibrio (14, C₄, 6_G).

2. Fijamos el vector de onda, para lo cual impondremos los valores de su módulo k y su ángulo respecto del campo magnético del equilibrio q.

3. Resolvemos la relación de dispersión (ecuación (3.19)) y obtenemos las frecuencias de los modos rápido y lento bsH b_t. Al hacer la raíz cuadrada de la ecuación (3.19) para calcular b, es suficiente conservar el signo + ya que las frecuencias con signo negativo corresponden a ondas idénticas que se propagan en sentido contrario.

4. Fijamos un valor de la componente i\jy obtenemos i\|, 1\, C\ y 6\a partir de las ecuaciones (3.22) a (3.25). Alternativamente, si nos interesa fijar el valor de i_\|, entonces emplearemos las ecuaciones (3.26) a (3.29) para calcular i\j, 1\, C\ y 6\.

3.5. Fuerzas.

Del Apartado 2.4 tenemos que la fuerza de Lorentz se puede descomponer en la suma de las expresiones (2.37) y (2.38).

Ahora nos centraremos en la perturbación suponiendo que esta es de la forma (3.1). En consecuencia también N_Z= N_\· Ä^Å∅, siendo ∅ = b ; − c · F y por lo tanto ∇N_Z= −acN_Z y :_ON_Z= abN_Z.

Así pues, tenemos por una parte que la perturbación de la tensión magnética es

N_OP,\=1

> (6_G· ∇)6_Z+ (6_Z· ∇)6_G ,

en la que el segundo sumando se anula por ser 6_G uniforme. Tras eliminar 6_Z mediante las ecuaciones (3.1) y (3.29) podemos cancelar los factores Ä^Å∅ y obtenemos la amplitud de la perturbación de la tensión magnética:

N_OP,\=−ak_j

>

L_G^l

b · k_|d_e− k_jd_ i_\|. (3.30) Por otra parte, la perturbación del gradiente de la presión magnética es:

N_QP,\ = −∇ (6_G· 6_Z)

> ,

y, siguiendo un proceso análogo al que nos condujo a la ecuación (3.30), su amplitud es:

N_QP,\=ak_|

>

L_G^l

b · k_jd_e+ k_|d_ i_\|. (3.31)

¿Sigue siendo perpendicular la fuerza de Lorentz al campo magnético tal y como sucede en el equilibrio?

Ahora que sabemos cómo es el campo magnético 6_É = 6_I+ 6_Z y en consecuencia la tensión magnética y la fuerza debida a la presión magnética, podemos comprobar si en la aproximación de pequeñas perturbaciones, la fuerza resultante sigue siendo perpendicular al campo.

Para que esto sea así tiene que cumplirse que las proyecciones de dichas fuerzas sobre el campo, es decir las componentes paralelas al campo, se anulen. Esto es:

N_OP,\· 6_I+ 6_Z = −N_QP,\· 6_I+ 6_Z . (3.32)

Lo comprobamos:

Por una parte tenemos que

6 = 6_I+ 6_Z = L₄d_e+L₄

b · k_|d_e− k_jd_ i_\|Ä^Å∅

= L₄ 1 +k_|i_\|Ä^Å∅

b d_e− k_ji_\|Ä^Å∅

b d_ ,

(3.33)

N_QP,\ =ak_|

>

L_G^l

b k_jd_e+ k_|d_ i_\|Ä^Å∅ (3.34) y

N_OP,\ =−ak_j

>

L_G^l

b · k_|d_e− k_jd_ i_\|Ä^Å∅. (3.35)

Llevando a cabo el producto escalar obtenemos:

−N_QP,\· 6_I+ 6_Z =−aL_G^Ñi_\|k_|Ä^Å∅

>b · k_j, (3.36)

y

N_OP,\· 6_I+ 6_Z =−aL_G^Ñi_\|k_jÄ^Å∅

>b · k_|+k⁺i_\|Ä^Å∅

b . (3.37)

Vemos que estos dos términos no son iguales a menos que k_j y/o k⁺i_\| se anulen. La única de estas dos condiciones que tiene sentido sin eliminar totalmente las ondas es k_j = 0. Por consiguiente, podemos concluir que para que la fuerza de Lorentz perturbada sea perpendicular al campo magnético perturbado, las ondas se tienen que propagar en la dirección perpendicular al campo magnético del equilibrio. En este caso la perturbación de ambas fuerzas magnéticas es perpendicular al campo magnético total.

4. Resultados.

En este capítulo analizamos las propiedades de los modos magnetoacústicos rápido y lento.

Representamos su velocidad de fase, obtenida a partir de la frecuencia, y las amplitudes de las perturbaciones en función del ángulo q, es decir, el ángulo entre el campo magnético del equilibrio y el vector de onda. Puesto que el sistema de ecuaciones (3.4) a (3.7) es homogéneo, es necesario fijar una de estas amplitudes para poder calcular las demás. Como podremos comprobar con nuestros resultados, el modo rápido posee i_\| ≫ i_\j, para ! ≪ 1, mientras que para el modo lento se cumple i_\j≫ i_\|. Por ello, para los modos rápido y lento fijaremos el valor de la componente de la velocidad dominante, o sea, i_\| y i_\j, respectivamente. El valor elegido para estas variables es 1 km/s, que es una velocidad típica observada en la atmósfera solar. Para otros valores de estas amplitudes de la velocidad basta con reescalar los resultados mostrados aquí, ya que el problema de calcular las perturbaciones es lineal. Así pues, para el modo rápido emplearemos las ecuaciones (3.26) a (3.29) y para el lento las ecuaciones (3.22) a (3.25). Dado que C\= (₎⁺1_\, hemos decidido no representar C\. En cuanto a los parámetros del equilibrio y otros parámetros físicos, empleamos los valores siguientes:

Ö₄ = 10^tn Ü, D = 5/3, > = 4â · 10^tä ã · å^t+, 1₄= 5 · 10^t\\Üç · é^tè, valores que equivalen por aplicación de la ecuación de los gases ideales a una C₄= 0.00415 êë.

A continuación analizaremos separadamente los resultados para los casos ! ≪ 1,

!~1 H ! ≫ 1.

4.1. Caso ! ≪ 1.

Consideramos un campo L₄ = 10^tè Ö, que conduce a ! = 0.00725.

Figura 4.1: Velocidad de fase en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio.

Tomamos i_\|= 1 Üé/R y i_\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

Notamos como la velocidad de fase para el modo rápido (figura 4.1) es prácticamente independiente del ángulo, de modo que podemos decir que se trata de un modo isótropo ya que se propaga con la misma velocidad en todas las direcciones.

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

126.2 126.3 126.4 126.5 126.6 126.7

v_ph(km/s)

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

2 4 6 8 10 12 v_ph(km/s)

Con el modo lento pasa todo lo contrario. A medida que aumenta el ángulo q la velocidad de fase decrece y tiende a cero a medida que nos acercamos a q = â/2, momento en el que el modo lento deja de propagarse.

Finalmente, destacamos que para este valor de ! la velocidad de propagación del modo rápido es, al menos, unas diez veces mayor que la del modo lento.

Figura 4.2: Perturbación de densidad normalizada a la densidad de equilibrio en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

A continuación analizamos 1_\ (figura 4.2). El modo lento genera perturbaciones al menos 10 veces superiores al modo rápido. Por otra parte, casi no existe dependencia con el ángulo para el modo lento, y pasa todo lo contrario para el modo rápido. De hecho, la densidad no se ve perturbada para q = 0, por lo que podemos decir que el modo rápido es incompresible cuando las ondas se propagan en la dirección de 6_G.

Figura 4.3: i\j y i\| en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i_\|= 1 Üé/R y i_\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

Por lo que respecta a las perturbaciones de las velocidades i_\j y i_\| (figura 4.3), vemos como el modo lento y rápido tienen una perturbación de la velocidad casi paralela y perpendicular a 6_G, respectivamente.

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.002 0.004 0.006 0.008

ρ₁/ρ₀

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.0847 0.0848 0.0849

ρ₁/ρ0

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.001 0.002 0.003 0.004

v_1x(km/s)

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

-0.004 -0.003 -0.002 -0.001

v_1z(km/s)

Figura 4.4: Perturbación de las componentes de campo magnético normalizadas a L4 en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido, siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R.

Figura 4.5: Perturbación de las componentes de campo magnético normalizadas a L4 en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo lento, siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\j= 1 Üé/R.

Para comprender la perturbación del campo magnético (figuras 4.4 y 4.5) es necesario tener en cuenta la perturbación de la ecuación de inducción, es decir, la ecuación (2.34) para 6_Z o su equivalente (3.6) para 6Z. Estas expresiones nos dicen que para que exista 6Z es necesario que la onda tenga una componente de la velocidad en la dirección z. Como hemos indicado antes, para ! ≪ 1 el modo rápido está caracterizado por i_\|≫ i_\j, cumpliéndose lo contrario para el modo lento, de manera que la perturbación del campo magnético del primero toma valores más elevados que las del segundo, tal y como podemos comprobar en el rango de los ejes verticales de las figuras 4.4 y 4.5.

Además, la perturbación del campo magnético del modo rápido (figura 4.4) es prácticamente perpendicular al campo magnético del equilibrio para q pequeño, y paralela a 6_G para q próximo a â/2. Esto es debido a los términos k_|d_e y k_jd_ en la ecuación (3.29): cuando q es pequeño, k_| también lo es y por ello 6Z tiene una componente predominantemente paralela al eje z (o sea, es perpendicular a 6G). Justo lo contrario sucede cuando el ángulo de propagación respecto de 6G es cercano a 90º.

El modo lento también muestra una componente L_\j que, en valor absoluto, crece con q. Sin embargo, la componente L_\| se anula para q = 0 y, por tanto, su comportamiento es diferente

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.002 0.004 0.006 0.008

B1x/B0

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

-0.008 -0.006 -0.004 -0.002

B1z/B0

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

-0.0006 -0.0004 -0.0002

B_1x/B₀

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.0001 0.0002 0.0003

B1z/B0

a la del modo rápido. Esto se debe al factor b⁺− k_j⁺(₎⁺ de la ecuación (3.25). Este factor se anula para el modo lento cuando q tiende a 0.

Resumiendo, cuando la ! del plasma es mucho menor que 1, el modo magnetoacústico rápido es prácticamente isótropo y poco compresible, generando perturbaciones pequeñas del campo magnético y movimientos del plasma prácticamente perpendiculares al campo magnético del equilibrio. Por otra parte, el modo magnetoacústico lento es altamente anisótropo y no se propaga en la dirección perpendicular a 6_G. Es mucho más compresible que el modo rápido y está asociado a perturbaciones muy pequeñas de 6_Z y perturbaciones de B_Z paralelas al campo magnético del equilibrio.

4.2. Caso ! ~ 1.

Consideramos un campo L₄ = 10^tn T, y por ello la ! del plasma es 10 veces mayor que la del Apartado 4.1, es decir, ahora tenemos ! = 0.72518.

Figura 4.6: Velocidad de fase en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

Como podemos observar en la figura 4.6, a diferencia del caso ! ≪ 1, el valor de la velocidad de fase en el modo rápido es del mismo orden que en el modo lento y ahora sí depende de la dirección de propagación. Para el modo lento el comportamiento es el mismo que en el caso anterior (! ≪ 1). La velocidad de fase es máxima para propagación paralela al campo magnético y decrece progresivamente a medida que q aumenta, llegando a anularse para propagación perpendicular a 6G.

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

13 14 15 16 17 vph(km/s)

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

2 4 6 8 10 12 v_ph(km/s)

Figura 4.7: Perturbación de densidad normalizada a la densidad de equilibrio en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

Por lo que respecta a la densidad (figura 4.7), el modo rápido y el lento generan perturbaciones del mismo orden de magnitud y ambas dependen de la dirección de propagación, aunque, el modo rápido sólo presenta esta dependencia para ángulos pequeños, luego el valor es prácticamente constante. Los valores de 1_\ son similares a los del modo lento para ! ≪ 1 por lo que la máxima compresibilidad de los modos magnetoacústicos es prácticamente independiente de ! para los valores de este parámetro considerados aquí.

Figura 4.8: i\j y i\| en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio.

Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

El comportamiento de i\j y i\| respecto de q (figura 4.8) es similar al caso ! ≪ 1, aunque estas dos variables ahora varían en un rango de valores mucho mayor. Para propagación casi paralela o casi perpendicular al campo magnético, la componente de la velocidad dominante en el caso ! ≪ 1 sigue siendo dominante ahora. Sin embargo, para valores de q en el entorno de 15º, el plasma presenta una polarización de la velocidad que no es ni perpendicular ni paralela a 6G.

0.0 0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

ρ₁/ρ0

0.0 0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.065 0.070 0.075 0.080 0.085

ρ₁/ρ0

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 v1x(km/s)

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 v_1z(km/s)

Figura 4.9: Perturbación de las componentes de campo magnético normalizadas a L₄ en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido, siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R.

Figura 4.10: Perturbación de las componentes de campo magnético normalizadas a L4 en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo lento, siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\j= 1 Üé/R.

Finalmente, el campo magnético perturbado (figuras 4.9 y 4.10) tiene el mismo comportamiento respecto de q que en el caso ! ≪ 1, aunque el modo rápido produce una perturbación un orden de magnitud superior para !~1. El origen de esta mayor perturbación de 6_Z se encuentra en que al pasar de ! = 0.00725 a ! = 0.72518 la velocidad de fase del modo rápido decrece en un factor 10 aproximadamente. Por ello, la frecuencia también se ve reducida por el mismo factor, y como b aparece en el denominador de la ecuación (3.29), 6Z aumenta en un factor 10.

Por otra parte, la frecuencia del modo lento no cambia apreciablemente cuando variamos ! de 0.00725 a 0.72518 y por ello no cabe esperar que la amplitud de 6_Z varíe excesivamente. Sin embargo, al comparar las figuras 4.5 y 4.10 observamos que para ! ~ 1 obtenemos un campo magnético perturbado 100 veces mayor que para ! ≪ 1. La explicación a este hecho la encontramos en la componente i_\| del modo lento, que aumenta en un factor ~ 100 al pasar de un valor de ! a otro: comparar los paneles de la derecha de las figuras 4.3 y 4.8.

Para acabar este apartado resumimos las propiedades de los modos magnetoacústicos cuando

! es del orden de la unidad. Hemos visto que ambos modos poseen valores de la velocidad de fase de igual magnitud, aunque el modo lento presenta la misma propagación anisótropa que observamos en el Apartado 4.1. Además, los dos modos son compresibles, excepto el modo rápido cuando su propagación es casi paralela a 6 , en cuyo caso este modo es incompresible.

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

B_1x/B₀

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02

B_1z/B₀

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 θ(rad)

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01

B1x/B0

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

B1z/B0

La perturbación del campo magnético crece considerablemente respecto del caso ! ≪ 1, pero su dependencia respecto de q es similar para ambos modos. Por último, la polarización de los movimientos hallada para ! ≪ 1, es decir, paralela (perpendicular) a 6_G para el modo lento (rápido) sigue siendo cierta cuando !~1 y q es cercano a 0 o a â/2. Sin embargo, para valores intermedios del ángulo entre k y 6_G esta orientación característica de B_Z deja de ser válida puesto que las dos componentes de la velocidad poseen amplitudes similares.

4.3. Caso ! ≫ 1.

Consideramos un campo L4 = 10^tì T que equivale ahora a ! =72.5184.

Cuando la ! del plasma es grande, los modos magnetocústicos recuperan las propiedades de isotropía que obtuvimos en el caso ! ≪ 1: el modo rápido posee una velocidad de fase que depende débilmente de q, mientras que el modo lento se propaga con una velocidad que decrece monotónicamente con q (ver la figura 4.11). Los valores de la velocidad de fase de ambos modos son un orden de magnitud menores que los valores para ! ≪ 1 (comparar las figuras 4.1 y 4.11). A pesar de esta similitud de i_Qu, algunas de las perturbaciones poseen propiedades diferentes para ! muy pequeño o muy grande.

Figura 4.11: Velocidad de fase en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

Tal y como podemos observar en la figura 4.12, el modo rápido es altamente compresible para propagación casi paralela al campo magnético y, aunque la perturbación de la densidad decrece con q, los valores de 1\ son relevantes para cualquier dirección de propagación. Es importante mencionar que si la amplitud de una perturbación no es mucho menor que la variable del equilibrio (en este caso, no se cumple 1_\ ≪ 1₄), entonces la aproximación lineal deja de ser válida. Para estudiar esta situación deberían tenerse en cuenta los términos no lineales de las ecuaciones de la MHD. Por otra parte, el modo lento es prácticamente incompresible. Estas propiedades de los dos modos magnetoacústicos son justamente las opuestas de las halladas cuando ! ≪ 1.

0.5 1.0 1.5 θ(Rad)

11.77 11.78 11.79 11.80 11.81 11.82 11.83

vph(Km/s)

0.5 1.0 1.5 θ(Rad)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 vph(Km/s)

Figura 4.12: Perturbación de densidad normalizada a la densidad de equilibrio en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

A continuación estudiamos las propiedades de la perturbación de la velocidad, que hemos representado gráficamente en la figura 4.13. Cuando q = 0 la polarización de los movimientos es la contraria de la del caso ! ≪ 1: el modo rápido (lento) está asociado a movimientos paralelos (perpendiculares) a 6î. A medida que q crece, la orientación de BZ respecto de 6î

va rotando y cuando q = â/2 esta orientación es perpendicular a la de q = 0, es decir, coincide con la orientación de ! ≪ 1.

Figura 4.13: i\j y i\| en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

0.5 1.0 1.5 θ(Rad)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

ρ₁/ρ_o

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 θ(Rad)

0.00906 0.00907 0.00908 0.00909 0.00910 0.00911

ρ₁/ρ_o

0.5 1.0 1.5 θ(Rad)

2 4 6 8 v1x(Km/s)

0.5 1.0 1.5 θ(rad)

-8 -6 -4 -2 v_1z(km/s)