En este capítulo estudiamos las ondas magnetoacústicas rápida y lenta. En un medio homogéneo, se trata de las dos soluciones a las ecuaciones linealizadas de la MHD ideal, caracterizadas por producir movimientos del plasma en el plano que contiene el campo magnético y el vector de onda.
Suponemos que las perturbaciones (6Z, BZ, …) son ondas planas, es decir, se pueden expresar como:
_\ F, ; = _\· `WC a b · ; − c · F , (3.1) donde _\, k y b son constantes. Para perturbaciones de esta forma se cumple
∇(_\ F, ; ) = −ac_\ y :O _\ F, ; = ab_\.
3.1. Ondas MHD en un medio homogéneo.
Consideramos que inicialmente el sistema se encuentra en el estado definido por:
C = C4, 1 = 14, 6 = L4de, B = I, ? = I. (3.2) Es decir, un estado en el que tanto la presión como la densidad son constantes en todo el espacio. Lo mismo sucede con el campo magnético, por lo que la densidad de corriente es nula.
Como puede verse en la ecuación (3.2), situamos el eje x a lo largo del campo magnético del equilibrio. Por último, en el equilibrio el plasma está en reposo.
Así pues, las variables en un instante t y en una posición r son:
C = C4+ C\ F, ; , 1 = 14+ 1\ F, ; , 6 = L4de+ 6Z F, ;
y B = BZ (F, ;). (3.3)
Donde la perturbación de las variables responde a la forma (3.1).
Si introducimos las ecuaciones (3.3) en las ecuaciones (2.32) a (2.35) entonces obtenemos:
ab1\− 1[ac · B\ = 0, (3.4)
abC\= DC[ac · B\, (3.5)
ab6\= −ac× B\×6I , (3.6)
ab1[B\= acC\−1
> ac×6\ ×6I. (3.7)
La ecuación (3.4) proporciona una relación entre 1\ y c · B\. El camino que seguiremos consiste en obtener B\ a partir de la resolución de las ecuaciones (3.5) a (3.7) para después calcular 1\ con la ecuación (3.4). A continuación sustituimos C\de la ecuación (3.5) y 6\de la ecuación (3.6) en la ecuación (3.7), y tras multiplicarla por – ab obtenemos:
b+1[B\= DC[c c · B\ +1
> c×[c×(B\×6I)] ×6I. (3.8) Vemos que la ecuación (3.8) relaciona B\con los parámetros del equilibrio (1[, C[y 6I) y los parámetros de la onda (la frecuencia y el vector de onda).
Es fácil comprobar que las perturbaciones 1\, C\ junto con las componentes de 6\y BZ en el plano de k y 6I son las incógnitas de un sistema algebraico de ecuaciones. Por otra parte, las componentes de 6\ y B\ en la dirección perpendicular a k y 6I, son las incógnitas de otro sistema algebraico de ecuaciones desacoplado del anterior. En este trabajo presentaremos únicamente las ecuaciones del primer sistema, que gobiernan la propagación de los modos magnetoacústicos. El segundo sistema, que gobierna la propagación de las llamadas ondas de Alfvén, no se estudia aquí.
A continuación proyectamos (3.8) en la dirección de de y eliminamos el último término puesto que este es perpendicular a 6I y por lo tanto también a de.
Así pues obtenemos:
b+1[i\j = DC[kj c · B\ . (3.9) O equivalentemente:
b+i\j = kj()+ c · B\ , (3.10) donde
()+=DC[
1[, (3.11)
es a la velocidad del sonido al cuadrado.
Por otra parte, otra ecuación interesante la obtenemos proyectando la ecuación (3.8) en la dirección de c, esto es:
b+1[ c · B\ = DC[k+ c · B\ +1
>c · c×[c×(B\×6I)] ×6I. (3.12)
A continuación, simplificamos el último término utilizando algunas propiedades vectoriales, y
b+1[ c · B\ = DC[k+ c · B\ + k+LGl
> c×B\ − kji\j . (3.13) O equivalentemente, recordando la definición de ()+
b+ c · B\ = k+ ()++ LGl
1[> c · B\ − kjk+ LGl
1[>i\j. (3.14) Y vemos que nos aparece una nueva velocidad, (*, conocida como la velocidad de Alfvén y cuyo cuadrado es:
(*+= LGl
1[>. (3.15)
Una vez definidas las dos velocidades que controlan las propiedades de las ondas MHD lineales, podemos escribir la siguiente expresión para !:
! =D 2·()+
(*+, donde el factor D/2 = 5/6 es aproximadamente igual a 1.
3.2. Relación de dispersión.
En el apartado anterior hemos llegado a
b+ c · B\ = k+ ()++ (*+ · c · B\ − kjk+(*+B\j, (3.16)
expresión que, junto con la ecuación (3.10), podemos reescribir en forma matricial como sigue:
b+ −kj(m+
kjk+(*+ b+− k+ ()++ (*+ · B\j
c · B\ = I. (3.17)
Y para obtener una solución no trivial el determinante de coeficientes tiene que ser igual a cero (en caso contrario B\j, c · B\ = 0 ).
De este modo obtenemos
bn− k+ ()++ (*+ b++kj+k+(m+(*+= 0, (3.18)
cuya solución es
b+=k+
2 ()++ (*+ ± ()++ (*+ +− 4kj+ k+()+(*+
\/+
. (3.19)
Esta fórmula es la relación de dispersión para las ondas magnetoacústicas en un medio homogéneo. Estas ondas reciben el nombre de magnetoacústicas puesto que sus propiedades están gobernadas por dos fuerzas restauradoras, la presión de gas y la fuerza magnética ?×6.
Una manera alternativa de escribir la ecuación (3.19) se basa en usar el ángulo, q, que forma k con el eje x (o sea, el ángulo entre k y 6G). Entonces kj = k(rR q y la ecuación (3.19) queda:
3.3. Velocidad de fase.
Notamos que existen dos modos de vibración correspondientes al signo + y – de la ecuación (3.19), cuyas frecuencias denominaremos bsH bt.
La velocidad de fase viene dada por
iQu =b
k, (3.20)
de modo que tendremos dos velocidades correspondientes a bsH bt, a las que denominaremos ivw)O H i)x4y sucesivamente. El motivo de emplear estos nombres para referirnos a las dos soluciones de la relación de dispersión, es que la velocidad de propagación de una onda viene dada por su velocidad de fase. Al ser bs> bt, resulta ivw)O> i)x4y y, por lo tanto, la primera onda magnetoacústica (la onda rápida) se propaga a mayor velocidad que la segunda (la onda lenta).
Para continuar situamos el eje z de manera que el vector de onda esté contenido en el plano Wz.
Por ello, kj= k(rR q , k{= 0 y k| = k}a~ q .
En cuanto a la velocidad de fase, sus componentes en las direcciones x y z son:
iQu,j = iQu(rR q y iQu,| = iQu}a~ q ,
Por otra parte, notamos que si el campo es nulo (L[ = 0) (*= 0 y la relación de dispersión (3.19) se transforma en
b+=k+
2 ()+± ()+ . b+=k+
2 ()++ (*+ ± ()++ (*+ +− 4()+(*+(rR+(q) \/+ .
De modo que, tomando el signo positivo b
k = iQu = ().
Para el signo negativo vemos que la velocidad de fase es nula, de modo que no existe modo lento. Así pues, en el caso en que el campo magnético es nulo, solo existe una de las dos ondas magnetoacústicas y su velocidad de fase es igual a la velocidad del sonido. De hecho, se trata de una onda sonora en un medio homogéneo.
3.4. Cálculo de las amplitudes.
La ecuación (3.10) nos permite escribir el conjunto de ecuaciones (3.4) a (3.7) en función de la velocidad i\j, puesto que
c · B\ =b+i\j
kj()+. (3.21)
Sustituyendo c · B\ = kji\j+ k|i\| , obtenemos:
i\| =b+− kj+()+
kjk|()+ i\j. (3.22)
Además:
1\= 1[ b
kj()+ i\j, (3.23)
C\= DC[ b
kj()+ i\j, (3.24)
6\= L[·b+− kj+()+
bkjk|()+ · k|de− kjd i\j. (3.25) Notamos que estas expresiones aparentemente divergen para kj = 0 o para k| = 0. Para evitar este posible problema las reescribimos ahora en términos de i\|.
La ecuación (3.22) queda:
i\j = kjk|()+
b+− kj+()+i\|. (3.26)
Así podemos escribir:
1\ = 1[ bk|
b+− kj+()+i\|, (3.27)
C\= DC[ bk|
b+− kj+()+i\|, (3.28)
6\ =L[
b k|de− kjd i\|. (3.29)
Es importante mencionar que las perturbaciones de la presión y la densidad no son independientes entre sí. Las ecuaciones (3.23) y (3.24), por un lado, y las ecuaciones (3.27) y (3.28), por otro, implican:
C\ = ()+1\
Para estudiar las propiedades de una onda debemos seguir los siguientes pasos:
1. Fijamos los valores de los parámetros del equilibrio (14, C4, 6G).
2. Fijamos el vector de onda, para lo cual impondremos los valores de su módulo k y su ángulo respecto del campo magnético del equilibrio q.
3. Resolvemos la relación de dispersión (ecuación (3.19)) y obtenemos las frecuencias de los modos rápido y lento bsH bt. Al hacer la raíz cuadrada de la ecuación (3.19) para calcular b, es suficiente conservar el signo + ya que las frecuencias con signo negativo corresponden a ondas idénticas que se propagan en sentido contrario.
4. Fijamos un valor de la componente i\jy obtenemos i\|, 1\, C\ y 6\a partir de las ecuaciones (3.22) a (3.25). Alternativamente, si nos interesa fijar el valor de i\|, entonces emplearemos las ecuaciones (3.26) a (3.29) para calcular i\j, 1\, C\ y 6\.
3.5. Fuerzas.
Del Apartado 2.4 tenemos que la fuerza de Lorentz se puede descomponer en la suma de las expresiones (2.37) y (2.38).
Ahora nos centraremos en la perturbación suponiendo que esta es de la forma (3.1). En consecuencia también NZ= N\· ÄÅ∅, siendo ∅ = b ; − c · F y por lo tanto ∇NZ= −acNZ y :ONZ= abNZ.
Así pues, tenemos por una parte que la perturbación de la tensión magnética es
NOP,\=1
> (6G· ∇)6Z+ (6Z· ∇)6G ,
en la que el segundo sumando se anula por ser 6G uniforme. Tras eliminar 6Z mediante las ecuaciones (3.1) y (3.29) podemos cancelar los factores ÄÅ∅ y obtenemos la amplitud de la perturbación de la tensión magnética:
NOP,\=−akj
>
LGl
b · k|de− kjd i\|. (3.30) Por otra parte, la perturbación del gradiente de la presión magnética es:
NQP,\ = −∇ (6G· 6Z)
> ,
y, siguiendo un proceso análogo al que nos condujo a la ecuación (3.30), su amplitud es:
NQP,\=ak|
>
LGl
b · kjde+ k|d i\|. (3.31)
¿Sigue siendo perpendicular la fuerza de Lorentz al campo magnético tal y como sucede en el equilibrio?
Ahora que sabemos cómo es el campo magnético 6É = 6I+ 6Z y en consecuencia la tensión magnética y la fuerza debida a la presión magnética, podemos comprobar si en la aproximación de pequeñas perturbaciones, la fuerza resultante sigue siendo perpendicular al campo.
Para que esto sea así tiene que cumplirse que las proyecciones de dichas fuerzas sobre el campo, es decir las componentes paralelas al campo, se anulen. Esto es:
NOP,\· 6I+ 6Z = −NQP,\· 6I+ 6Z . (3.32)
Lo comprobamos:
Por una parte tenemos que
6 = 6I+ 6Z = L4de+L4
b · k|de− kjd i\|ÄÅ∅
= L4 1 +k|i\|ÄÅ∅
b de− kji\|ÄÅ∅
b d ,
(3.33)
NQP,\ =ak|
>
LGl
b kjde+ k|d i\|ÄÅ∅ (3.34) y
NOP,\ =−akj
>
LGl
b · k|de− kjd i\|ÄÅ∅. (3.35)
Llevando a cabo el producto escalar obtenemos:
−NQP,\· 6I+ 6Z =−aLGÑi\|k|ÄÅ∅
>b · kj, (3.36)
y
NOP,\· 6I+ 6Z =−aLGÑi\|kjÄÅ∅
>b · k|+k+i\|ÄÅ∅
b . (3.37)
Vemos que estos dos términos no son iguales a menos que kj y/o k+i\| se anulen. La única de estas dos condiciones que tiene sentido sin eliminar totalmente las ondas es kj = 0. Por consiguiente, podemos concluir que para que la fuerza de Lorentz perturbada sea perpendicular al campo magnético perturbado, las ondas se tienen que propagar en la dirección perpendicular al campo magnético del equilibrio. En este caso la perturbación de ambas fuerzas magnéticas es perpendicular al campo magnético total.
