El efecto de memoria de las ondas gravitacionales

TRABAJO DE FIN DE GRADO

EL EFECTO DE MEMORIA DE LAS ONDAS GRAVITACIONALES

Maria Rosselló Sastre

Grado de Física Facultad de Ciencias

Año Académico 2020-21

EL EFECTO DE MEMORIA DE LAS ONDAS GRAVITACIONALES

Maria Rosselló Sastre

Trabajo de Fin de Grado Facultad de Ciencias

Universidad de las Illes Balears

Año Académico 2020-21

Palabras clave del trabajo:

Relatividad general, ondas gravitacionales, efecto de memoria, agujeros negros binarios

Nombre Tutor/Tutora del Trabajo: Sascha Husa Nombre Tutor/Tutora (si procede): Sascha Husa

Se autoriza la Universidad a incluir este trabajo en el Repositorio Institucional para su consulta en acceso abierto y difusión en línea, con fines exclusivamente académicos y de investigación

Autor Tutor Sí No Sí No

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Resumen

La primera detecci´on de ondas gravitacionales en septiembre de 2015 abri´o las puertas a una nueva forma de observar el universo. Desde entonces, el inter´es por las ondas gravitacionales ha ido en aumento y se han seguido produciendo numerosas detecciones. Aunque ya era conocido en los a˜nos setenta, un fen´omeno de inter´es reciente es el del efecto de memoria. Este efecto tiene origen en las ondas gravitacionales generadas por las ondas emitidas previamente y su detecci´on podr´ıa proporcionar una nueva prueba de la teor´ıa de la Relatividad General. El objetivo de este trabajo es estudiar el efecto de memoria de las ondas gravitacionales en coalescencias de agujeros negros y analizar las perspectivas de observar este efecto en un futuro.

En primer lugar, realizaremos un resumen de los conceptos de la Relatividad General que resul- tan m´as relevantes para el estudio de las ondas gravitacionales. A continuaci´on, veremos como, a partir de las ecuaciones de Einstein, utilizando c´alculo perturbativo, podemos obtener una ecuaci´on de onda sencilla, cuyas soluciones describen las ondas gravitacionales. Adem´as, expli- caremos brevemente c´omo se realiza la detecci´on de este tipo de radiaci´on y las fuentes que la emiten. Como se ha mencionado antes, nos centraremos en la coalescencia de agujeros negros binarios, ya que son la fuente m´as eficiente de ondas gravitacionales. Para este tipo de siste- mas, veremos c´omo calcular el strain o deformaci´on del efecto de memoria a partir del modo dominante (2,±2) y analizaremos sus caracter´ısticas. Para ver la intensidad de este efecto en las ondas gravitacionales calcularemos la energ´ıa radiada y el cociente se˜nal a ruido (SNR) para la memoria y la compararemos con los del modo dominante. Adem´as, veremos c´omo var´ıan estas cantidades en el espacio de par´ametros, para diferentes valores del cociente de masas del binario y de sus espines, es decir, sus momentos angulares. En el caso concreto del SNR tambi´en nos interesar´a ver c´omo depende de la inclinaci´on del binario y de la masa total del sistema. Final- mente, compararemos estos resultados obtenidos mediante una aproximaci´on anal´ıtica con dos simulaciones de este efecto en relatividad num´erica.

´ Indice

1. Introducci´on 1

1.1. Relatividad General . . . 1

1.2. Ondas Gravitacionales . . . 2

1.2.1. Detecci´on . . . 4

1.2.2. Fuentes de Ondas Gravitacionales . . . 5

1.2.3. Fusi´on de binarios compactos . . . 6

1.3. Efecto de memoria . . . 8

2. Desarrollo de los c´alculos 9 2.1. Descomposici´on en arm´onicos esf´ericos . . . 9

2.2. Expresi´on para el efecto de memoria . . . 11

2.3. Contribuciones a h^mem . . . 11

2.4. C´alculo deh^mem . . . 12

2.4.1. C´alculo num´erico de la derivada . . . 12

2.4.2. C´alculo num´erico de la integral . . . 13

2.5. C´alculo de la energ´ıa radiada . . . 14

2.6. C´alculo del cociente se˜nal a ruido (SNR) . . . 14

2.6.1. C´alculo de la transformada de Fourier discreta . . . 15

3. Resultados 16 3.1. Efecto de memoria . . . 16

3.2. Energ´ıa radiada . . . 19

3.3. Cociente se˜nal a ruido (SNR) . . . 22

3.4. Comparaci´on con Relatividad Num´erica (NR) . . . 25

4. Conclusi´on 27

Referencias 29

1. Introducci´ on

1.1. Relatividad General

La Relatividad General (RG) resulta fundamental para la comprensi´on de los fen´omenos astrof´ısicos que tienen lugar en el universo. En 1905, Einstein formula la teor´ıa de la Relati- vidad Especial (RE). Esta nueva teor´ıa entraba en contradicci´on con las leyes de Newton, que establec´ıan que la fuerza gravitatoria actuaba de forma instant´anea, mientras que seg´un la RE, nada pod´ıa viajar con una velocidad mayor a la de la luz en el vac´ıo, por lo que la interacci´on gravitatoria no pod´ıa darse instant´aneamente. En 1915, como respuesta a la necesidad de adap- tar las leyes de Newton a los principios de la RE, nace la RG.

Esta teor´ıa renueva la concepci´on que se ten´ıa de la gravedad hasta ese momento, pues la des- cribe como una propiedad geom´etrica del espacio-tiempo. Esta idea se puede entender a partir del principio de equivalencia d´ebil (desde la perspectiva de Newton): cualquier objeto en ca´ıda libre, experimentar´a el mismo movimiento, independientemente de su composici´on o su estruc- tura. Este hecho, ya probado experimentalmente por Galileo, se puede ver con la igualdad que existe entre la masa inercial y la masa gravitacional, que deducimos a partir de la segunda ley de Newton y la ley de gravitaci´on universal. Para un objeto en ca´ıda libre, es decir, sobre el cual no act´uan m´as fuerzas que la gravedad, tenemos:

F=mina F=m_grg

⇒mina=mgrg⇒min'mgr. (1) Por lo tanto, diferentes objetos en ca´ıda libre desde el mismo punto y con la misma velocidad inicial, se mover´an en el espacio-tiempo a trav´es de la misma curva. Esta propiedad es carac- ter´ıstica de la gravedad, pues no ocurre con otras fuerzas, ya que por ejemplo, la trayectoria de un objeto en un campo magn´etico depende de su carga [1]. Adem´as, la RG establece que los cuerpos en ca´ıda libre se mueven siguiendo las geod´esicas del espacio-tiempo. Las geod´esicas se definen como el camino de longitud extremal que une dos puntos. En un espacio plano, las geod´esicas son l´ıneas rectas. En cambio, no lo son en el espacio-tiempo, ya que est´a curvado por la presencia de la energ´ıa de la materia y de la radiaci´on. Como veremos m´as adelante, existe una ecuaci´on que relaciona la curvatura con la energ´ıa contenida.

El objeto fundamental de la RG es el tensor m´etrico, g_ab, mediante el cual se definen el elemento de l´ınea y el producto escalar:

ds²=g_abdx^adx^b, (2)

v·w=v^aw_a=v^ag_abw^b. (3) Seg´un el principio general de covariancia, la f´ısica depende de la estructura del espacio-tiempo

´

unicamente a trav´es de la m´etrica. De hecho, la curvatura del espacio-tiempo, puede describirse mediante el tensor de Riemann, R_abcd, un tensor de cuatro ´ındices que se define a partir de la m´etrica. El desarrollo para obtener su forma expl´ıcita y sus propiedades, se pueden encontrar en [2] (2011, Sec 2.1.5). Este tensor mide la curvatura indicando como rota un vector bajo transporte paralelo a lo largo de una curva cerrada. A continuaci´on, vemos dos situaciones para las cuales R_abcd toma valores distintos.

(a) (b)

Figura 1: (a) Transporte paralelo de un vectorwa lo largo de una curva cerrada, en un espacio bidimensional plano. (b) Transporte paralelo de un vectorwa lo largo de una curva cerrada, en la superficie bidimensional de una esfera. Im´agenes de [2].

En (a), podemos ver que, una vez que el vectorw’ha regresado a la posici´on inicial, coincide conw, por lo que en esta situaci´on,Rabcd= 0. Mientras que en (b), el vector w’ha sufrido una rotaci´on respecto a w. Esto demuestra que la esfera es una superficie curvada, por lo tanto, el tensor de Riemann tiene componentes no nulas.

La relaci´on entre curvatura y energ´ıa mencionada anteriomente, viene descrita por las ecua- ciones de campo de Einstein (EFE) [3]:

Gab= 8πG

c⁴ Tab, (4)

donde T_ab es el tensor momento-energ´ıa, que describe la densidad y el flujo de energ´ıa y de momento en el espacio-tiempo; y G_ab es el tensor de curvatura de Einstein, que depende de la m´etrica de forma directa y a trav´es del tensor de Riemann.

1.2. Ondas Gravitacionales

Vamos a ver ahora como, a partir de los elementos introducidos por la RG, se puede deducir una ecuaci´on de ondas para la cual se encuentran soluciones que pueden ser expresadas de forma bastante sencilla.

Las EFE (4) pueden interpretarse como un conjunto de 10 ecuaciones diferenciales parciales, no lineales, acopladas para el tensor m´etrico g_ab. En un espacio-tiempo en el cual no existiera la gravedad, el tensor m´etrico se ver´ıa reducido a la m´etrica de Minkowski del espacio plano;

ηab =diag(−1,1,1,1). Por consiguiente, al considerar campos d´ebiles, es decir, con geometr´ıas semejantes a la del espacio-tiempo plano, podemos aproximar el tensor m´etrico por el tensor de Minkowski m´as una perturbaci´on:

g_ab=η_ab+h_ab, |h_ab| 1. (5) Si nos quedamos a primer orden de esta aproximaci´on obtenemos lateor´ıa linealizada, que se basa en expandir las EFE alrededor de η_ab, para as´ı obtener soluciones anal´ıticas de estas ecuaciones en el vac´ıo. Utilizando la teor´ıa linealizada y eligiendo elgauge de Lorenz:∂^b¯h_ab = 0, se pueden reescribir las ecuaciones de Einstein como una simple ecuaci´on de onda:

2¯h_ab= −16πG

c⁴ T_ab, (6)

donde 2 es el operador D’Alembertiano: −(1/c²)∂₀²+5². Siempre se satisface: ∂^bT_ab = 0, que es la conservaci´on de energ´ıa-momento en la teor´ıa linealizada.

Como vemos en la ecuaci´on (5), el tensorg_abes un objeto din´amico que puede sufrir deforma- ciones. Las ondas gravitacionales son el resultado de la propagaci´on de estas perturbaciones. A continuaci´on, veremos como el tensor h_ab, que recibe el nombre de deformaci´on (strain), podr´a expresarse como una superposici´on de ondas planas.

En las EFE, el tensor Tab representa la fuente de campo gravitacional. Para el estudio de la propagaci´on de ondas gravitacionales nos interesa el caso de T_ab = 0, es decir, cuando nos encontramos fuera de la fuente. Por lo tanto, la ecuaci´on (6) resulta:

2¯h_ab= 0. (7)

Haciendo una transformaci´on de coordenadas dex^a→x^a+ξ^a, con2ξa= 0 y aplicando elgauge de Lorenz, los grados de libertad de h_ab se ven reducidos de diez, a dos. Las condiciones que se imponen sobre las componentes del tensor reciben el nombre de Transverse-Traceless (TT) gauge, y son las siguientes:

(a)h^0a = 0, (b)hⁱ_i = 0, (c)∂^jhij = 0. (8) La primera condici´on fija las componentes temporales a cero, dejando ´unicamente las compo- nentes espaciales, que vienen denotadas por hij y que satisfacen las condiciones de: traza nula (b) y gauge de Lorenz (c). El tensorh_ab con estegauge se escribe como: h^{T T}_ab . Recuperando la ecuaci´on (7), sus soluciones se pueden escribir ahora, como:

h^{T T}_ab =e_ab(k)e^ik·x, (9)

con e_ab(k) el tensor de polarizaci´on yk^µ= (ω/c,k), donde ω/c=|k|. Para una onda plana, la condici´on ∂^jh_ij = 0 queda reducida a nⁱh_ij = 0, con ˆn la direcci´on de propagaci´on. Teniendo en cuenta esto, adem´as de las otras dos condiciones del gauge TT, y tomando la direcci´on de propagaci´on a lo largo del eje z,h_ab toma la forma:

h^{T T}_ab =









0 0 0 0

0 h₊ h× 0 0 h× −h₊ 0

0 0 0 0









e^ik·x. (10)

Aqu´ı vemos los dos grados de libertad del tensor: h₊ y h×, que reciben el nombre de polari- zaciones. De esta forma, resulta evidente que las ondas gravitacionales tienen ´unicamente dos polarizaciones posibles. En [3] (2007, Sec 1.3.3) se presenta un desarrollo detallado de la interac- ci´on de ambas polarizaciones con masas de prueba. En la figura siguiente presentamos las l´ıneas de fuerza en el plano (x, y) que se obtienen para cada una de ellas. Los ejes de simetr´ıa presentan la forma cuadrupolar t´ıpica y observamos claramente que una se obtiene haciendo una rotaci´on de 45^◦ de la otra.

(a) (b)

Figura 2: (a) L´ıneas de fuerza de la polarizaci´on h+. (b) L´ıneas de fuerza de la polarizaci´onh×. Im´agenes de [3].

1.2.1. Detecci´on

Como hemos visto, las ondas gravitacionales son perturbaciones del espacio-tiempo que se propagan a la velocidad de la luz. Por sus caracter´ısticas, su detecci´on presenta dos dificultades principales. En primer lugar, para que la perturbaci´on tenga un efecto notable en los instrumen- tos de detecci´on, esta tiene que provenir de una fuente suficientemente energ´etica. Por lo tanto, se necesitan eventos muy energ´eticos para tener ondas gravitacionales detectables. Por ejemplo, para fuentes capaces de producir ondas gravitacionales intensas que se puedan encontrar en nuestra galaxia o en alguna galaxia cercana, se espera que el strain producido en la Tierra sea menor a 10⁻²¹. En segundo lugar, al tratarse de perturbaciones del espacio-tiempo, los detec- tores experimentar´an la misma deformaci´on, por lo que, la detecci´on, no puede basarse en la medida de distancias. Los detectores utilizados son interfer´ometros l´aser, cuyo funcionamiento se basa en el del interfer´ometro de Michelson.

(a) (b)

Figura 3: (a) Esquema simplificado del detector Advanced LIGO (no a escala). (b) Deforma- ci´on que sufren las masas de prueba por una onda gravitacional que se propaga en direcci´on perpendicular al plano de la figura. Imagen izquierda de [4]. Imagen derecha de [5].

Como vemos en la Figura 3a, el detector est´a compuesto por cuatro masas de prueba sus- pendidas mediante cables de unos soportes elevados. La interacci´on de las ondas con las masas de prueba puede verse esquematizada en la Figura 3b. Seg´un va pasando la onda, distorsiona el anillo de masas en una elipse que se estira en una direcci´on para el primer medio periodo de la onda, y en la direcci´on ortogonal para el otro medio. Para m´as detalles [3] (Sec. 1.3).

Por lo tanto, cuando la onda gravitacional pasa a trav´es del detector, los brazos de la L sufren

una deformaci´on de forma que las longitudes L_x yL_y se ven levemente modificadas. La defor- maci´on en la longitud, ∆Les proporcional a la longitud del brazo. Considerando L'Lx'Ly, esta cantidad tambi´en es proporcional a una combinaci´on lineal de las dos polarizaciones de la onda [6]:

∆L L =

1

2(1 + cos²θ) cos(2φ)

h++ [cosθsin(2φ)]h×≡h→∆L=hL, (11) donde θ y φ son los ´angulos que definen la direcci´on de propagaci´on de la onda. Se define la combinaci´on deh+yh×comoh, que recibe el nombre destrain, por ser la magnitud que relaciona

∆LyL. Por interferometr´ıa l´aser, se puede obtener directamente ∆L/L. La luz procedente del l´aser incide sobre el espejo divisor de rayos, que dirige una mitad del haz en cada direcci´on.

Los espejos situados en las masas de prueba reflejan los haces que vuelven al divisor, donde se recombinan. Cualquier cambio en la longitud de los brazos da lugar a cambio de fase relativo en estos haces, que podr´a ser medido en en fotodetector.

Mediante una red de detectores ubicados en diferentes puntos de la Tierra y con diferentes orientaciones, se puede obtener gran cantidad de informaci´on sobre las ondas gravitacionales, como pueden ser la localizaci´on de la fuente o la evoluci´on temporal de las polarizaciones y sus propiedades.

Actualmente, existen diferentes observatorios de ondas gravitacionales: LIGO Livingston y LIGO Hanford situados en Estados Unidos [7], Virgo en Italia [8], KAGRA en Jap´on [9] y GEO 600 en Alemania [10]. Adem´as, se espera la puesta en marcha de nuevos observatorios en los pr´oximos a˜nos, como el Einstein Telescope o el observatorio espacial LISA.

1.2.2. Fuentes de Ondas Gravitacionales

Las ondas gravitacionales son producidas por cualquier objeto masivo que experimente un cambio en su momento cuadrupolar, como pueden ser sistemas que no presentan simetr´ıa esf´eri- ca. Sin embargo, como hemos explicado antes, se necesitan sucesos que liberen una gran cantidad de energ´ıa para poder tener ondas detectables. Las ondas gravitacionales generadas en este ti- po de eventos pueden clasificarse en cuatro categor´ıas, seg´un el movimiento y las distribuciones de masa que experimentan sus fuentes: continuas, en espiral, por estallido y estoc´asticas [11], [12].

En primer lugar, las ondas gravitacionales continuas son aquellas que se emiten con una frecuencia aproximadamente constante. Pueden ser generadas por un ´unico objeto masivo en rotaci´on y con alguna imperfecci´on en su simetr´ıa esf´erica, o por sistemas binarios mucho antes de su fusi´on. Su b´usqueda se centra principalmente en estrellas de neutrones situadas en nuestra galaxia.

Las ondas gravitacionales generadas por objetos compactos en espiral, se dan en sistemas binarios cuando sus componentes est´an a punto de fusionarse. Los sistemas generadores de este tipo de ondas se clasifican en tres grupos: binaria de estrellas de neutrones (BNS), binaria de estrella de neutrones y agujero negro (NSBH) y binaria de agujeros negros (BBH). Este tipo de ondas son las que han sido detectadas por LIGO hasta ahora. Para este trabajo, nos centraremos en las generadas por BBH. Este tipo de evento ser´a explicado con mayor detalle en el siguiente apartado.

Las ondas gravitacionales provocadas por un estallido son bastante desconocidas, pues pro- ceden de fuentes imprevistas de muy corta duraci´on que no pueden ser modeladas, como por ejemplo supernovas.

Finalmente, las ondas gravitacionales estoc´asticas surgen de la combinaci´on de diferentes eventos aleatorios que dan lugar a un fondo c´osmico de ondas gravitacionales. A diferencia de

las descritas anteriormente, no proceden de un punto concreto del universo, sino que se propagan en todas direcciones. Se cree que parte de esta se˜nal podr´ıa proceder del propio Big Bang, de forma que su detecci´on podr´ıa aportar informaci´on sobre los primeros instantes de vida del universo.

1.2.3. Fusi´on de binarios compactos

A continuaci´on, vamos a ver un tratamiento sencillo que se puede hacer del proceso de fusi´on de objetos compactos a partir de la din´amica orbital de Newton para entender algunos conceptos b´asicos. Para este desarrollo tomaremos el caso m´as sencillo, el de una ´orbita circular. Podemos escribir la energ´ıa del sistema en funci´on de la separaci´on entre los cuerpos (R) o en funci´on de la frecuencia orbital (ω):

E(R) =m₁+m₂−ηM²

2R , E(ω) =m₁+m₂−M η 2

(M ω)² G

1/3

, (12)

donde mi=1,2 es la masa de cada objeto del binario, M =m1 +m2 y η = _(m^m1m2

1+m2)². Podemos relacionar las cantidades R yω mediante la tercera ley de Kepler:

ω²R³ =GM. (13)

En el caso Newtoniano, ten´ıamos ^dE_dt = 0, por lo que no se ten´ıan p´erdidas de energ´ıa. En cambio, en el caso relativista, con la emisi´on de ondas gravitacionales, tenemos un flujo de energ´ıa, que utilizando la f´ormula cuadrupolar (desarrollo completo en [3] Sec 4.1), tiene la siguiente expresi´on:

dE

dt =−32 5

G⁴ c⁵ η²v

c 10

1 +O(v²)

. (14)

Para el caso que nos interesa, nos quedaremos a orden dominante, despreciando los t´erminos de orden v². Utilizando la relaci´on v= (GM ω)^1/3, podemos escribir una ecuaci´on diferencial para R y otra para ω y, resolvi´endolas, obtenemos la variaci´on de estas dos cantidades respecto al tiempo, durante el periodo de fusi´on. TomandoG=c= 1, las ecuaciones resultantes son:

R(t) =

R⁴_c−256

5 ηM³(t_c−t) 1/4

, ω(t) =

ω_c^−8/3+256

5 ηM²(t_c−t) −3/8

, (15) donde R_c,ω_c y t_c son las magnitudes en el momento de la coalescencia. La separaci´on decrece con el tiempo, siendo Rc la separaci´on m´ınima. Si se tratara de masas puntuales, tendr´ıamos R_c = 0, pero los objetos tienen un cierto tama˜no, por lo que esta cantidad tendr´a un valor determinado seg´un la dimensi´on de los cuerpos. En cambio, la frecuencia orbital crece con el tiempo, siendoωcel valor m´aximo. La amplitud de las polarizaciones de las ondas gravitacionales emitidas pueden expresarse en funci´on del tiempo de la siguiente forma [3]:

h₊= 4µω²GR² rc⁴

1 + cos²θ

2 cos(2ωt), h× = 4µω²GR²

rc⁴ cosθsin(2ωt), (16) dondeµ= _m^m1m2

1+m2 es la masa reducida y r es la distancia al sistema. De aqu´ı, podemos ver que la radiaci´on tiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia orbital:ω_GW = 2ω. La emisi´on de radiaci´on gravitacional presenta mayor eficiencia cuanto m´as compacto es el sistema binario.

Los objetos m´as compactos que existen en la naturaleza son los agujeros negros, de forma que los BBH son la fuente m´as eficiente de ondas gravitacionales. Es por este motivo por el cual, las ondas generadas por este tipo de eventos son las que m´as veces han sido detectadas por LIGO, siendo GW150914 la primera de ellas. Por todo esto, las ondas gravitacionales provenientes de agujeros negros binarios despiertan especial inter´es y el estudio del efecto de memoria se realizar´a sobre este tipo de sistemas.

1.2.3.1. Fusi´on de agujeros negros binarios (BBH)

Figura 4: Deformaci´on de los conos de luz alrededor de un agujero negro. Imagen dispo- nible en [13].

Desde el punto de vista de la f´ısica Newtoniana, el concepto de agujero negro puede entenderse como una regi´on del espacio cuya velocidad de escape es mayor a la velocidad de la luz. Aho- ra, en cambio, nos interesa entender qu´e es un agujero negro en RG. Como hemos visto en la Secci´on1.1, las ecuaciones de Eins- tein relacionan la curvatura del espacio-tiempo con la cantidad de energ´ıa contenida. Es decir, cuanto mayor es la concentraci´on de energ´ıa, mayor es la curvatura. Los agujeros negros son obje- tos extremadamente compactos, por lo que contienen una gran cantidad de materia en relaci´on a su tama˜no. Este hecho provoca que se genere una gran curvatura en el espacio-tiempo de forma que los conos de luz se inclinen tanto que, a partir de una cierta superficie, que recibe el nombre de horizonte de sucesos, todo el cono de luz futuro est´e en el interior de la superficie y apuntando hacia la fuente de campo gravitatorio. Un observador dentro del cono de luz ´unicamente se podr´a mover hacia dentro de la super- ficie de no retorno, sin posibilidad de escapar. La parte interior del horizonte de sucesos es lo que llamamos agujero negro.

Los agujeros negros con simetr´ıa esf´erica reciben el nombre de agujeros negros de Schwarzschild, cuya predicci´on proviene de re- solver las ecuaciones de Einstein (4), de donde se obtiene el radio

de Schwazschild rs= ^2GM_c2 , que define el horizonte de sucesos de un agujero negro de este tipo.

Otra clase de agujero negro son los de Kerr, similares a los anteriores, pero con un cierto mo- mento angular. La rotaci´on rompe la simetr´ıa esf´erica y ´unicamente poseen simetr´ıa axial.

La fusi´on de este tipo de objetos tiene lugar en tres fases: inspiral, fusi´on yringdown. Podemos observar el comportamiento del strain durante las diferentes fases en la Figura 5.

Figura 5: Evoluci´on del strain en funci´on del tiempo, durante las fases de la fusi´on de dos agujeros negros binarios. Imagen de [14].

En la fase inspiral, los dos agujeros negros se encuentran a grandes distancias y se mueven en ´orbitas cuasi-circulares que se van reduciendo gradualmente. Esta fase puede durar cientos de millones de a˜nos desde la formaci´on del binario, ya que inicialmente las ondas gravitacionales emitidas son muy d´ebiles. Por este motivo, la p´erdida de energ´ıa es muy lenta y los objetos se mueven a velocidades peque˜nas en comparaci´on a la velocidad de la luz. Cuando la ´orbita va disminuyendo, aumenta su velocidad, de esta forma las ondas gravitacionales son cada vez m´as fuertes y la contracci´on en la ´orbita, mayor.

La fusi´on es el momento en el cual los agujeros negros colisionan dando lugar a un ´unico agujero negro. En este momento, la emisi´on de ondas gravitacionales es m´axima y los objetos alcanzan velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Por ejemplo, en el caso de GW150914, la velocidad lleg´o a un valor de 0.55c.

Una vez se han fusionado y queda un ´unico agujero negro, se produce lo que llamamosring- down o fase de estabilizaci´on. El resultado de la fusi´on ser´a un agujero negro de Kerr perturbado que evolucionar´a a un agujero negro de Kerr. En este momento, la radiaci´on gravitacional es emitida en forma de modos cuasinormales (QNM) hasta que el objeto se estabiliza [15], [16].

Cuando se tienen oscilaciones a energ´ıa constante, la radiaci´on es emitida en forma de modos normales, en cambio cuando se tienen p´erdidas de energ´ıa, como en este caso, la radiaci´on es emitida en forma de QNMs, cuya amplitud decae exponencialmente con el tiempo, por lo que se tienen oscilaciones amortiguadas:

hlm(t) =

∞

X

n=1

Almne^iωlmnt. (17)

Estos modos vienen determinados por los ´ındices (l, m), parecidos a los de los arm´onicos esf´ericos est´andar. Para cada par (l, m) se tienen modos resonantes que vienen descritos por el ´ındicen.

Adem´as, se caracterizan por tener una frecuenciaωlmncompleja. Como vemos en la dependencia temporal de (17), la parte real deω_lmndeterminar´a la frecuencia del modo, mientras que la parte imaginaria dar´a el tiempo de amortiguaci´on de la amplitud. Conocida la frecuenciaωdel agujero negro final, se pueden conocer su masa M, y su esp´ın J, y a la inversa, conocidos M y J, se puede obtener ω. La masa del agujero negro final es menor a la suma de las masas de los dos agujeros negros iniciales. Este hecho es debido a la p´erdida de masa en forma de energ´ıa durante el proceso de fusi´on.

1.3. Efecto de memoria

Habitualmente, como vemos en la Figura5, la forma de la se˜nal de las ondas gravitacionales procedentes de la fusi´on de objetos binarios compactos, tiene una amplitud oscilatoria que empieza siendo peque˜na en los tiempos iniciales, crece hasta llegar a un m´aximo y finalmente, decae a cero para tiempos largos. Sin embargo, esta imagen no es completa, ya que no incluye el efecto de memoria. Este efecto es una contribuci´on a la amplitud de la onda gravitacional que crece lentamente.

La propiedad que distingue a una fuente de ondas gravitacionales con memoria es que, para alguna de las polarizaciones, la diferencia entre el strain a tiempos largos y a tiempos cortos:

∆h^mem_+,× = l´ım

t→+∞h+,×(t)− l´ım

t→−∞h+,×(t), (18)

es diferente de cero, es decir, la amplitud de la onda toma valores no nulos una vez ha terminado el proceso de fusi´on [17], [18].

Se conocen dos tipos diferentes de memoria: lineal y no-lineal. La existencia de una memoria lineal se conoce desde los a˜nos setenta [19]. Este tipo de memoria surge de sistemas con com- ponentes no ligados, como pueden ser un sistema binario con una ´orbita hiperb´olica, o sistemas que eyectan materia anisotr´opicamente, como neutrinos en una supernova o estallidos de rayos gamma.

La memoria no-lineal (o de Christodoulou) fue descubierta unos a˜nos m´as tarde, en los noventa, cuando Blanchet y Damour [20], y Christodoulou [21] descubrieron independientemente que este tipo de memoria est´a presente en todas las fuentes de ondas gravitacionales, ya que proviene de la contribuci´on de las ondas gravitacionales emitidas al cambio de los momentos multipolares de la fuente. La memoria de Christodoulou es una manifestaci´on ´unica de la no-linealidad de la

RG, ya que, a diferencia de otros efectos no-lineales en la amplitud de las ondas gravitacionales, este efecto no tiene car´acter oscilatorio, sino que crece a medida que se va perdiendo energ´ıa.

Este hecho permite que sea claramente visible en la forma de onda. Adem´as, en un desarrollo Post-Newtoniano de las polarizaciones de la forma de onda, la memoria afecta a la amplitud a orden dominante. Por este motivo, el efecto de memoria tiene car´acter “hereditario”, es decir, la memoria es sensible al movimiento pasado de la fuente.

En un interfer´ometro ideal (en ca´ıda libre), una onda gravitacional con memoria, provoca un desplazamiento permanente de las masas de prueba que se mantiene una vez ha pasado la onda.

Aunque despu´es de un cierto tiempo, la memoria deja un desplazamiento constante en la m´etrica del espacio-tiempo que es indetectable, el crecimiento de la amplitud s´ı lo es. Por lo tanto, para poder detectar el efecto de memoria, es necesario conocer el estado del detector antes de que la onda pase a trav´es de ´el para as´ı poder conocer el desplazamiento ∆h^mem_+,× provocado por la memoria. La detecci´on de este tipo de efecto resulta muy complicada con los interfer´ometros actuales, pues son detectores de alta frecuencia y como el efecto de memoria crece lentamente y tiene car´acter no oscilatorio, es un efecto de baja frecuencia.

El efecto de memoria de las ondas gravitacionales no ha sido observado hasta el momento. De ser detectado, podr´ıa proporcionar una prueba importante de la RG. Actualmente, los estudios sobre el efecto de memoria se basan en estudiar su fenomenolog´ıa y modelarlo con diferentes descripciones de la forma de onda [22], [23], como pueden ser: la aproximaci´on cuadrupolar, el

“Minimal waveform model” (MWM) o el modelo cuadrupolar y multipolar superior. Adem´as, tambi´en se intenta pronosticar la detecci´on del efecto de memoria con detectores como Virgo o Advanced LIGO utilizando m´etodos para determinar la presencia de este efecto en poblaciones de agujeros negros binarios [22].

2. Desarrollo de los c´ alculos

2.1. Descomposici´on en arm´onicos esf´ericos

Las ondas gravitacionales tienen unstrain complejo, h+−ih×. En este an´alisis, lo que ha- remos es descomponerlo utilizando una base de arm´onicos esf´ericos ponderados por esp´ın,^sY_lm. Este tipo de funciones est´an definidas sobre la superficie de una esfera y son una generalizaci´on de los arm´onicos esf´ericos usuales. Los par´ametros l y m corresponden a los habituales de los arm´onicos esf´ericos de Laplace. El par´ametrostoma diferentes valores para cada tipo de objeto:

s = 0 para escalares, s = ±1 para vectores y s = ±2 para tensores de rango 2; dando lugar, en cada caso, a bases diferentes. Los arm´onicos esf´ericos usuales,Ylm, corresponden al caso de s= 0, mientras que en el caso de las ondas gravitacionales,stoma el valor−2.

A continuaci´on, se presenta la f´ormula para el c´alculo directo de estas funciones, cuya deri- vaci´on se puede encontrar en [24].

sY_lm(θ, φ) = (−1)^m s

(l+m)!(l−m)!(2l+ 1) 4π(l+s)!(l−s)! sin^2l

θ 2

×

×

l−s

X

r=0

l−s r

l+s r+s−m

(−1)^l−r−se^imφcot^2r+s−m θ

2

.

(19)

Los arm´onicos esf´ericos ponderados por esp´ın forman un conjunto completo de funciones ortogonales, es decir, cualquier funci´on definida sobre la superficie de una esfera puede expresarse como superposici´on de estos arm´onicos esf´ericos. Veamos a continuaci´on estas propiedades.

Son ortogonales en toda la esfera, Z

S²

sY_lm^sY¯_l⁰_m⁰dS=δ_ll⁰δ_mm⁰. (20) Satisfacen la relaci´on de completitud,

X

l,m

sY¯lm(θ⁰, φ⁰)^sYlm(θ, φ) =δ(φ⁰−φ)δ(cosθ⁰−cosθ). (21)

Adem´as, las relaciones al tomar el complejo conjugado y al hacer la transformaci´on de paridad vienen dadas, respectivamente, por:

sY¯_lm(θ, φ) = (−1)^s+m−sYl−m(θ, φ), (22)

sYlm(π−θ, φ−π) = (−1)^l−sYlm(θ, φ). (23) A continuaci´on, se presentan las expresiones de los arm´onicos esf´ericos ponderados por esp´ın cons=−2 que se utilizar´an en los c´alculos posteriores:

l= 2,4,m= 0:

−2Y₂₀= 1 4

r15

2π sin²θ, (24)

−2Y₄₀= 3 16

r 5

2π(5 + 7 cos(2θ)) sin²θ. (25) l= 2,m=±2:

−2Y₂₂= r 5

64π(1 + cosθ)²e^2iφ. (26)

−2Y2−2= r 5

64π(1−cosθ)²e^−2iφ, (27)

La expansi´on del strain en t´erminos de los arm´onicos esf´ericos ponderados por esp´ın, presenta la siguiente expresi´on [22]:

h₊−ih× =

∞

X

l=2 m=l

X

m=−l

h_lm(t)⁻²Y_lm(θ, φ). (28)

De aqu´ı se deducen las siguientes relaciones:

h^lm₊ := Re

h⁻²_lmY_lm , (29)

h^lm_× :=−Im

h⁻²_lmY_lm . (30)

La descomposici´on en arm´onicos esf´ericos es especialmente ´util por el comportamiento de la se˜nal procedente de agujeros negros binarios:

La amplitud de los modos decrece r´apidamente con l. Para binarios sin precesi´on, se conserva el plano donde se mueven los objetos, de forma que es posible definir un eje natural (perpendicular al plano), a partir del cual se toman los ´angulosθyφ. En este caso, el modo dominante es el modo cuadrupoloh2±2, mientras que los dem´as son de amplitud notablemente menor. En cambio, para binarios con precesi´on, no es posible definir un eje natural ya que el plano va cambiando de orientaci´on. Para este caso, se tiene una combinaci´on de los modos con diferente m para cada valor de l, por lo tanto, el modo dominante es el de l= 2 incluyendo una combinaci´on de losm.

La frecuencia de los modos es proporcional a m. En el caso de no tener precesi´on, los modos con m 6= 0 se denominan oscilantes, mientras que para binarios con precesi´on, se tienen los m mezclados de forma que losm= 0 tambi´en oscilan.

Para tener una forma de onda sencilla, en el caso de estudiar agujeros binarios con precesi´on, se puede definir un sistema de referencia no inercial que se mueva con la precesi´on.

Elstrain completo que se mide en el detector se puede expresar como:

h(t, r, θ, φ) = 1 r

X

l,m

h_lm(t)⁻²Y_lm(θ, φ). (31)

2.2. Expresi´on para el efecto de memoria

El efecto de memoria puede expresarse como la integral del momento cuadrupolar del flujo de la onda gravitacional [22], [23]:

h^{T T,mem}_jk = 4 r

Z u

−∞

dE dΩ⁰du

n⁰_jn⁰_k 1−n⁰·ndΩ⁰

^{T T}

du⁰. (32)

Donde u es el tiempo retardado, r es la distancia entre la fuente y el observador, dΩ⁰ es el elemento de ´angulo s´olido, n es el vector unitario apuntando desde la fuente: n = x/r y TT indica el Transverse-Traceless gauge.

El flujo de energ´ıa o luminosidad por ´angulo s´olido es:

dE

dtdΩ = r²c³ 16πG

h(t,˙ Ω)

2

, (33)

con ˙h= ^dh_dt.

Para calcular el efecto de memoria, se ha utilizado la aproximaci´on cuadrupolar [22] , ya que el modo dominante es el h2±2. Haciendo esta aproximaci´on, la integral angular de la ecuaci´on (32) puede resolverse directamente. De forma que la expresi´on resultante para la polarizaci´on + de la memoria es la siguente:

h^mem₊ (u) = r

192πsin²θ 17 + cos²θ Z u

−∞

|h˙₂₂|²du⁰. (34) Se tiene ´unicamente polarizaci´on + porque los ´unicos modos que contribuyen a la memoria son los dem= 0. Estos modos solo tienen parte real, ya que la parte imaginaria viene dada pore^imφ, como se muestra en la ecuaci´on (19). Como vemos en las ecuaciones (29) y (30), la polarizaci´on + corresponde a la parte real, mientras que la ×es la parte imaginaria cambiada de signo. Por lo tanto, al estar formados ´unicamente por la parte real, resulta claro que la memoria solo tiene polarizaci´on +. Es por este motivo tambi´en, por lo que, algunas veces, a los modos conm = 0 se les da el nombre de “modos de memoria”. Adem´as, se calcula a partir de h22 porque, como se ha explicado anteriormente, es el modo dominante.

2.3. Contribuciones a h^mem

Como se acaba de explicar, los ´unicos modos que dan una contribuci´on al efecto de memoria son los de m= 0. A continuaci´on, se presenta un breve c´alculo para ver qu´e modosh_lm concre- tamente son los que forman parte del efecto de memoria.

En primer lugar, definimos el factor que depende de θde la ecuaci´on (34) como:

g(θ) = sin²θ 17 + cos²θ

. (35)

Para ver la contribuci´on de cada modo (l, m), calculamos la proyecci´on deg(θ) sobre el arm´onico esf´erico ponderado por esp´ın, con m= 0, correspondiente:

g_l0= Z π

θ=0

Z 2π φ=0

g(θ)⁻²Y_l0(θ) sinθ dθ dφ. (36) De esta manera, sabemos que ´unicamente contribuir´an aquellos modos para los cuales la integral (36) sea no nula.

Se ha realizado este c´alculo para diferentesly los ´unicos para los que se han obtenido resultados no nulos sonh20yh40. Sumando la contribuci´on de ambos se obtiene el efecto de memoria total.

Adem´as, podemos analizar a qu´e parte de g(θ) corresponde cada modo. Comparando la expresi´on (24) con la (35), vemos directamente que el modoh20 corresponde al t´ermino sin²θ.

En cambio, para h40 esta relaci´on no es tan directa, pues primero se tiene que descomponer la dependencia en θde la ecuaci´on (25) con la relaci´on cos(2θ) = 2 cos²θ−1, de forma que queda:

−2Y₄₀∝ −2 sin²θ+ 14 sin²θcos²θ. (37) Con esta expresi´on podemos ver que cada uno de los t´erminos corresponde, respectivamente, a los dos de (35).

En conclusi´on, hemos comprobado que el efecto de memoria h^mem₊ se construye a partir de h20 yh40.

2.4. C´alculo de h^mem

Una vez realizada esta comprobaci´on, pasamos a calcularh^mem₊ a partir de la ecuaci´on (34).

Los factores que se encuentran a la izquierda de la integral son conocidos si sabemos la posici´on del binario, ya que solo dependen de la distanciary la inclinaci´onθ. Por lo tanto, lo que haremos a continuaci´on es calcular la integral.

2.4.1. C´alculo num´erico de la derivada

En primer lugar, calcularemos la derivada del modo h22. Conocemos la forma de onda de este modo en funci´on del tiempo. Es un n´umero complejo de la formah₂₂₊−ih_22×, por lo tanto, lo podemos expresar en t´erminos de una amplitud y una fase dependientes del tiempo de la siguiente forma:

h₂₂(t) =A(t)e^iψ(t). (38)

Donde la amplitud, A, es el m´odulo del n´umero complejo y la fase, ψ, su argumento.

Al calcular la fase, aparece un problema, pues ´esta ser´a un n´umero comprendido entre 0 y 2π, de forma que obtendremos una funci´on discontinua en el tiempo, es decir, al llegar al valor m´aximo de 2π, el siguiente valor empezar´a en cero. Para evitar este hecho y as´ı tener una funci´on sin saltos, hacemos un “phase unwrapping”, es decir, cada vez que se llega al valor m´aximo de 2π, le sumamos un factor 2nπ, connel n´umero de veces que se ha alcanzado el valor m´aximo.

En el caso de tener una fase decreciente, es decir, empezando en el valor m´aximo y llegando al m´ınimo, el procedimiento es el mismo, pero en lugar de sumarle 2nπ, se le resta este mismo factor.

El motivo por el cual hacemos esta descomposici´on, es para calcular la derivada ^dh_dt²² a partir de ^dA_dt y ^dψ_dt. Expresando la derivada de h₂₂en funci´on de estas dos ´ultimas, tenemos:

dh₂₂

dt = dh₂₂ dA

dA

dt +dh₂₂ dψ

dψ

dt =e^iψ

A˙+iAψ˙

. (39)

Para calcular num´ericamente las derivadas de la amplitud y la fase, se utiliza el m´etodo de diferencias finitas centradas. Teniendo un conjunto de datos discretos,f[0,1,2, ..., n], separados

por un intervalo constante h, la derivada correspondiente al valor i, se calcula a partir de su anterior y su posterior de la siguiente manera:

f[i]˙ ≈ f[i−1]−f[i+ 1]

2h . (40)

Aplicando esta expresi´on a los valores conocidos de amplitud y fase, podemos calcular la deri- vada de h₂₂ utilizando la ecuaci´on (39).

2.4.2. C´alculo num´erico de la integral

Una vez conocemos la derivada del modo h₂₂, calculamos el m´odulo al cuadrado de este conjunto de datos. A continuaci´on, necesitamos integrar esta cantidad. Para hacerlo, se ha utilizado el m´etodo Runge-Kutta de segundo orden. Su expresi´on general para una funci´on que depende de dos variables f(x, y) y utilizando un paso de integraci´on h, es la siguiente:

k1=hf(xn, yn), k2=hf

xn+1

2h, yn+1 2k1

, yn+1=yn+k2+O(h³), x_n+1 =x_n+h.

(41)

Para nuestro caso concreto, tenemos, como variablex, el tiempo, que es un conjunto de datos separados por un intervalo constante, ∆t; y como funci´onf, el conjunto de valores discretos que hemos obtenido al hacer el m´odulo cuadrado de la derivada. Por lo tanto, equivale a una funci´on que depende ´unicamente de la variablex.

Antes de poder aplicar este m´etodo a nuestros datos, tenemos que tener en cuenta que para calcular k2, el paso de integraci´on es h/2 y los elementos de los datos est´an separados por un intervalo entero h.

Luego, podemos tomar la separaci´on de los datos comoh/2 (h= 2∆t) y calculark₂avanzando un paso, pero hacer la integraci´on pasando los datos de dos en dos (que ser´ıa equivalente a avanzar cada vez un h) hasta haber recorrido todo el intervalo de datos. O bien, podemos hacer una interpolaci´on de los datos pasando de una separaci´on de h a una de h/2 y seguir con el mismo procedimiento, pero teniendo as´ı una mayor precisi´on en los resultados, ya que de esta forma tomamosh= ∆ty evitamos el hecho de solo tener en cuenta la mitad de los datos a la hora de hacer la integral.

El m´etodo Runge-Kutta adaptado a nuestro problema, tomandog[0,1,2, ..., n] como el con- junto de valores del m´odulo cuadrado de la derivada yx[0,1,2, ..., n] como los valores de tiempo desde el origen hasta la fusi´on, ser´a finalmente el siguiente.

k₁=hg[i], k₂=hg[i+ 1], y_n+1=y_n+k₂, xn+1 =x[i+ 2],

(42)

coni= 0,1, ..., n. Finalmente, una vez calculada esta integral, si ahora hacemos el producto de los factores que dependen de la posici´on del binario con estos resultados, ya tenemos el resultado final para h^mem₊ .

2.5. C´alculo de la energ´ıa radiada

A continuaci´on, nos interesa calcular la energ´ıa radiada durante la fusi´on, tanto la debida al modo dominante h22 como tambi´en la debida al efecto de memoria h^mem. Este c´alculo lo podemos realizar integrando la siguiente ecuaci´on para todo el tiempo que dura la fusi´on y obtendremos as´ı la energ´ıa radiada en este intervalo de tiempo:

dE dt = l´ım

r→∞



 r²c³ 16πG

X

l,m

Z u

−∞

Almdu⁰

2

, (43) dondeA_lm son los coeficientes de la funci´on Ψ = ¨h tales que:

h˙ = Z

Ψdt→h˙_lm= Z

A_lmdt. (44)

De forma que podemos reescribir la ecuaci´on (43) en t´erminos de loshlm: dE

dt = l´ım

r→∞



 r²c³ 16πG

X

l,m

h˙lm

2



. (45) Para tenerlo en unidades de energ´ıa, a˜nadimos las constantesGyccomo se muestra a continua- ci´on. Sustituyendo en la siguiente expresi´on los diferentes ˙h_lm, obtendremos la energ´ıa radiada por el modo correspondiente o el efecto de memoria [23]:

∆E = r²c³ 16πG

Z u

−∞

h˙_lm

2

du⁰. (46)

Para el c´alculo ˙h^mem se puede utilizar el mismo m´etodo que se ha explicado anteriormente, pero teniendo en cuenta que ahora son datos reales de forma que no se tiene la descomposici´on en amplitud y fase y se puede aplicar la ecuaci´on (40) al conjunto de datos directamente.

Para obtener el porcentaje de energ´ıa radiada respecto la energ´ıa total del sistema, podemos calcular:

∆E

E_total ×100, (47)

dondeEtotal=Mtotalc²= (M1+M2)c², conMi la masa de cada agujero negro del binario.

2.6. C´alculo del cociente se˜nal a ruido (SNR)

Los datos que se obtienen de cualquier detector real, adem´as de incluir la se˜nal producida por la onda gravitacional, tambi´en incluyen el ruido del propio detector (ruido s´ısmico, t´ermico, cu´antico, etc.). Por lo tanto, definiendo la se˜nal total obtenida del detector como d(t), estar´a formada por una contribuci´on de la onda gravitacional, s(t) y una del ruido n(t):

d(t) =s(t) +n(t). (48)

Se podr´ıa pensar que se detectar´a una onda gravitacional ´unicamente cuando |s(t)|sea mucho mayor que |n(t)|, pero esto es incorrecto, ya que con las estimaciones que se tiene sobre las ondas que pueden estar llegando y la sensibilidad de los detectores actuales, generalmente, nos encontraremos en la situaci´on de|s(t)| |n(t)|[3].

A continuaci´on, se puede definir lanoise spectral density (PSD), de forma que su integral sobre la frecuencia de como resultado el promedio de las medida de n²(t) en diferentes intervalos de tiempoT:

hn²(t)i=hn²(t= 0)i= Z ∞

−∞

df df⁰hn^∗(f)n(f⁰)i= 1 2

Z ∞

−∞

df S_n(f) = Z ∞

0

df S_n(f). (49)

Se integra ´unicamente en el rango 0≤f <∞, ya que es el rango f´ısico de frecuencias. Por este motivo,Sn(f) a veces recibe el nombre desingle-sided spectral density. El ruido en un detector viene caracterizado por p

S_n(f), que tiene unidades de Hz^−1/2 y recibe el nombre de spectral amplitude.

En nuestro caso, consideraremos el ruido detector como gaussiano estacionario. De esta forma, se puede utilizar lo que se conoce como matched filtering para encontrar y analizar la se˜nal de las ondas gravitacionales que se encuentra en este tipo de ruido. Este m´etodo consiste en realizar una correlaci´on cruzada entre la se˜nal que se obtiene del detector, d(t), con un banco de plantillas de formas de onda, h(t). Esta correlaci´on cruzada entre datos y plantilla, se escribe en t´erminos del producto interno ponderado por ruido en el espacio de frecuencias, como [22]:

hd|hi= 4Re Z f1

f0

df

d˜^∗(f)˜h(f)

Sn(f) , (50)

donde f₀, f₁ definen el l´ımite inferior y superior de frecuencias de la sensibilidad del detector y

˜h(f) y ˜d(t) indican la transformada de Fourier de h(t) y d(t), respectivamente. Como tenemos un conjunto de datos discretos y finito, utilizamos la transformada de Fourier discreta (DFT):

X_k=

N−1

X

n=0

x_ne^{−2πiN kn}, k= 0, ..., N −1, (51) dondeX_k es la transformada de Fourier discreta de x_n.

El valor del SNR ´optimo se obtiene como p

hh|hi, de forma que queda:

SNR²_opt = 4 Z f1

f0

df|˜h(f)|²

S_n(f) . (52)

Sn tiene unidades de Hz⁻¹, por lo tanto, el SNR es una cantidad adimensional. La sensibilidad del detector a las polarizaciones de la onda gravitacional viene dada por las funciones de respuesta de antenaF₊(α, δ, ψ) y F×(α, δ, ψ) de la siguiente forma [22]:

h(t) =F₊(α, δ, ψ)h₊(t) +F×(α, δ, ψ)h×(t), (53) donde α es la ascensi´on recta, δ es la declinaci´on y ψ es el ´angulo de polarizaci´on. En nuestro caso, para simplificar los c´alculos, suponemosF₊(α, δ, ψ) =F×(α, δ, ψ) = 1.

2.6.1. C´alculo de la transformada de Fourier discreta

Como acabamos de ver, para calcular el SNR_opt, resulta necesario calcular la transformada de Fourier discreta de h. Para realizar este c´alculo, se ha utilizado el algoritmo de la DFT im- plementado en el paquete de Python, Numpy .

Nos interesar´a calcular el SNR_opt del modo dominante y del efecto de memoria. En el caso del modo dominante, no hay ning´un problema con los c´alculos, pues se trata de una funci´on peri´odi- ca en el tiempo que dura el proceso de fusi´on, ya que empieza y acaba en valores cercanos a cero.

Por lo tanto, al tener una funci´on suave, la transformada de Fourier decrece exponencialmente para frecuencias altas. En cambio, los modos de memoria, tienen una amplitud que empieza pr´acticamente en cero, pero crece hasta mantenerse constante en valores no nulos. De forma que no es peri´odica en el intervalo finito que estudiamos y, por este motivo, su transformada de Fourier decae como∼1/f para altas frecuencias. Para tener un comportamiento que se asemeje m´as al real, resulta necesario regularizarh^memantes de pasar al espacio de frecuencias, de forma que hemos unido la propia funci´onh^mem con s´ı misma pero invertida en el tiempo para as´ı tener una amplitud que empieza en cero, crece hasta un cierto valor constante y, de nuevo decrece hasta cero. De esta manera, el resultado de ˜h^mem ser´a el obtenido utilizando este m´etodo entre

un factor dos.

Adem´as, la convenci´on utilizada para definir la funci´onS_n(f) del detector y la utilizada para el algoritmo de la DFT de Numpy difieren en un factor ∆t, por lo que es necesario multiplicar el resultado de ˜h obtenido num´ericamente por ∆tpara que ambas sean consistentes.

3. Resultados

Para el estudio del efecto de memoria en agujeros binarios sin precesi´on, se ha utilizado el modelo “IMRPhenomXHM” [25] y los gr´aficos y resultados los he realizado con Python 3.8.

Los resultados que se presentar´an a continuaci´on son para un binario a una distancia de 100 Mpc, con una masa total de 100My una inclinaci´on (´angulo entre el vector de momento angular del binario y la l´ınea de visi´on entre el binario y el detector) de θ = ^π₂. Los par´ametros utilizados son: χ₁ =χ₂ = 0.8 y q= ^m_m¹

2 = 4.

En primer lugar, se presenta la polarizaci´on + del strain para cada uno de los modos con (l,|m|) = (2,1),(2,2),(3,3),(3,2),(4,4) y ∆t= 6.1035×10⁻⁵s.

2 0 2

h+

1e 21

(2,2) (2,-2)

2 0 2

h+

1e 22

(2,1) (2,-1)

5 0 5

h+

1e 22

(3,3) (3,-3)

2.5 0.0 2.5

h+

1e 22

(3,2) (3,-2)

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

t(s)

2 0 2

h+

1e 22

(4,4) (4,-4)

Figura 6: Polarizaci´on + de h_lm en los tiempos cercanos a la fusi´on.

Comparando las figuras, podemos ver que el modo dominante (2,|2|) es almenos un orden de magnitud mayor que todos los dem´as.

3.1. Efecto de memoria

Como se ha explicado anteriormente, los c´alculos se realizar´an a partir del modoh₂₂. Por lo tanto, vamos a centrarnos ahora en este caso. Para el c´alculo de la derivada, primero descompo- nemos elstrainen amplitud y fase, (38). Cuanto a la fase, en los siguientes gr´aficos, se presentan los resultados una vez ya se ha realizado el “phase unwrapping” para tener una funci´on continua en el tiempo.

400 350 300 250 200 150 100 50 0

t(s)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75

A= |h

|

1e 21

(a)

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

t(s)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75

A= |h

|

1e 21

(b)

400 350 300 250 200 150 100 50 0

t(s)

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

=arg(h22)

(c)

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 t(s)

7500 7450 7400 7350 7300 7250 7200 7150 7100

=arg(h22)

(d)

Figura 7: (a) Amplitud del modoh22. (b) Ampliaci´on de (a) en los tiempos cercanos a la fusi´on.

(c) Fase del modo h₂₂. (d) Ampliaci´on de (c) en los tiempos cercanos a la fusi´on.

En la Figura7a observamos que alrededor de t=−350 s se produce un aumento m´as pro- nunciado de la amplitud. Este comportamiento no est´a producido por ning´un efecto f´ısico de la funci´on de onda. Con el modelo utilizado, “IMRPhenomXHM”, se obtienen las formas de onda en el espacio de frecuencias y para poder tenerlas en funci´on del tiempo, tenemos que utilizar la transformada de Fourier. Como este c´alculo se deber´ıa realizar entre −∞ y +∞, pero no es posible num´ericamente, se observa este comportamiento. Por lo tanto, es ´unicamente un arte- facto matem´atico consecuencia de la transformada de Fourier que no tiene sentido f´ısico. Los datos tienen sentido f´ısico a partir de la frecuencia m´ınima que hemos introducido, que en nuestro caso es de 2 Hz. En7cvemos que la fase es negativa, este hecho se debe a la convenci´on utilizada.

A partir de estos resultados, se calcula la derivada como se explica en 2.4.1. Se ha utilizado un paso de h = 6.1035×10⁻⁵ s. El resultado obtenido para tiempos cercanos a la fusi´on se muestra en la Figura 8a.

Una vez realizados estos c´alculos, pasamos a calcular la integral para poder obtener finalmente h^mem. En primer lugar, se hace el m´odulo al cuadrado de la derivada ˙h₂₂ y a continuaci´on se integra utilizando el m´etodo Runge-Kutta de segundo orden modificado para datos discretos, (42). Para este c´alculo, se ha realizado una interpolaci´on de los datos, para as´ı tener en cuenta todos los valores num´ericos de los que disponemos (como se comenta en2.4.2). De forma que el paso de integraci´on utilizado es, de nuevo,h= ∆t= 6.1035×10⁻⁵ s. Presentamos en la Figura 8b el resultado del efecto de memoria obtenido multiplicando el resultado de la integral por los

factores correspondientes, mostrados en la ecuaci´on (34).

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

t(s) 2.0

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

h22(s1)

1e 18

(a)

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

t(s)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

h

1e 21

(b)

Figura 8: (a) Derivada del modo h₂₂. (b) Efecto de memoria.

En la figura derecha, podemos ver que h^mem experimenta un crecimiento importante en el momento de la fusi´on y, una vez ha pasado este intervalo de tiempo, vuelve a tomar valores constantes, pero diferentes de cero. Esto es lo que llamamos efecto de memoria, ya que despu´es de la fusi´on, elstrain no vuelve a su valor inicial, sino que queda desplazado una cierta cantidad.

Para analizar la diferencia de ´ordenes de magnitud entre el modo dominante y los modos que corresponden al efecto de memoria y su diferente dependencia en el tiempo, veamos ahora unos gr´aficos de comparaci´on del comportamiento de hlm y ˙hlmpara (l, m) = (2,2),(2,0),(4,0).

0.100 0.075 0.050 0.025 0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 t(s)

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

hlm

1e 21

h22

10 h20

10³ h40

(a)

0.100 0.075 0.050 0.025 0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 t(s)

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

hlm(s1)

1e 18

h22

10² h20

10⁴ h40

(b)

Figura 9: (a) Comparaci´on de los diferentes h_lm. (b) Comparaci´on de los diferentes ˙h_lm. Para poder apreciar bien el comportamiento de cada uno de ellos, se han multiplicado por un factor 10^x los h_lm y ˙h_lm correspondientes a la memoria, como se indica en la figura. De esta manera, podemos ver que tanto en el modo como en su derivada, los (l, m) = (2,0),(4,0), tienen la misma forma y el primero es mayor que el segundo en un factor 10². Por lo tanto, la contribuci´on a la memoria del modo (2,0) es mayor que la del (4,0). Cuanto a h_lm, as´ı como el modo dominante tiene un comportamiento oscilatorio con una amplitud que crece hasta la fusi´on y que se estabiliza en cero una vez ha terminado el proceso, los de memoria crecen hasta llegar a su valor m´aximo que se mantiene constante despu´es de la fusi´on. En la derivada, el modo

dominante tiene car´acter oscilatorio y su amplitud aumenta de forma m´as abrupta, en cambio los modos de memoria ´unicamente tienen un pico en el momento de la fusi´on.

Antes de pasar al c´alculo y an´alisis de la energ´ıa radiada, veamos como cambia el compor- tamiento de h^mem para diferentes valores del cociente de masas del binario y de los espines de sus componentes.

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 t(s)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

h

1e 21

q=1, 1= 2=-1.0 q=1, 1=-0.5, 2=0.5 q=1, 1= 2=1.0 q=4, 1= 2=-1.0 q=4, 1=-0.5, 2=0.5 q=4, 1= 2=1.0

Figura 10: h^mem en funci´on del tiempo para diferentes par´ametros. Las l´ıneas continuas corres- ponden a q= 1 y las discontinuas aq = 4.

Podemos observar que para un mismo valor de q, el efecto es m´aximo cuando los espines est´an alineados con el momento angular orbital y es m´ınimo cuando est´an anti-alineados. Para valores de los espines intermedios, se tiene un efecto de memoria que var´ıa entre estos dos valores.

Para los mismos valores de χ₁, χ₂, el efecto es m´as intenso cuanto menor es q.

3.2. Energ´ıa radiada

Pasamos ahora a calcular la energ´ıa radiada por el efecto de memoria, h^mem y por el modo h₂₂ sustituy´endolos en la siguiente expresi´on:

dE

dt = r²c³ 16πG

h˙_lm

2

. (54)

Anteriormente, ya hemos calculado la derivada del modoh22. Para el c´alculo de ˙h^mem utilizamos directamente la expresi´on (40). Los resultados obtenidos son los siguientes.

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

t(s)

0 1 2 3 4 5

dE/dt (J/s)

1e47

h

(a)

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

t(s)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

dE/dt (J/s)

1e44

h

(b)

Figura 11: (a) Energ´ıa radiada en la fusi´on porh22. (b) Energ´ıa radiada en la fusi´on por h^mem. En ambos casos paraq = 4 yχ₁ =χ₂ = 0.8.

Como vemos, hay un incremento muy pronunciado de la energ´ıa radiada en el momento de la fusi´on del binario. Y, aunque estos valores vuelven a cero despu´es del instante de la fusi´on, el strain de la memoria no lo hace, sino que, como hemos visto en la Figura 8b toma valores constantes, pero no nulos.

A partir de los resultados anteriores podemos calcular el porcentaje de energ´ıa radiada respecto a la energ´ıa total del sistema con la ecuaci´on (47). Para hacerlo, calculamos ∆E integrando la energ´ıa radiada en cada instante de tiempo para todo el tiempo que dura la fusi´on:

∆E = Z u

−∞

dE

dt dt. (55)

Esta integral se ha calculado utilizando el m´etodo de los trapecios. Suponiendo que tenemos una funci´on f continua en el intervalo x∈[a, b], la integral se puede calcular como el ´area bajo la funci´on f. Utilizando este m´etodo, dividimos el intervalo en n subintervalos y calculamos el

´

area de cada subintervalo como el ´area de un trapecio. Finalmente, hacemos la suma para losn subintervalos:

Z b a

f(x)dx∼ b−a n

"

f(a) +f(b)

2 +

n−1

X

k=1

f

a+kb−a n

#

. (56)

Para el c´alculo de (55), hemos adaptado esta expresi´on al caso discreto, es decir, calculamos el ´area de los trapecios formados por cada par de valores (^dE_dt, t) y los sumamos para obtener

∆E. Presentamos a continuaci´on los resultados de este c´alculo expresados en t´erminos de masas solares, obtenidos con: _M^∆E

c².

∆E(h22) = 0.09720M; ∆E(h^mem) = 1.837×10⁻⁵M. (57) Teniendo en cuenta:Etotal = 100c², los resultados obtenidos para el porcentaje de energ´ıa radiada respecto la total, son los siguientes:

∆E

E_total ×100

h22

= 0.09720 %;

∆E

E_total ×100

h^mem

= 1.837×10⁻⁵%. (58) Se obtienen los mismos resultados que antes porque la masa total del sistema son 100M y al calcular el porcentaje, estos factores 100 cancelan. Podemos observar la gran diferencia que