Caso ! ≫ 1

Consideramos un campo L4 = 10^tì T que equivale ahora a ! =72.5184.

Cuando la ! del plasma es grande, los modos magnetocústicos recuperan las propiedades de isotropía que obtuvimos en el caso ! ≪ 1: el modo rápido posee una velocidad de fase que depende débilmente de q, mientras que el modo lento se propaga con una velocidad que decrece monotónicamente con q (ver la figura 4.11). Los valores de la velocidad de fase de ambos modos son un orden de magnitud menores que los valores para ! ≪ 1 (comparar las figuras 4.1 y 4.11). A pesar de esta similitud de i_Qu, algunas de las perturbaciones poseen propiedades diferentes para ! muy pequeño o muy grande.

Figura 4.11: Velocidad de fase en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para los modos rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

Tal y como podemos observar en la figura 4.12, el modo rápido es altamente compresible para propagación casi paralela al campo magnético y, aunque la perturbación de la densidad decrece con q, los valores de 1\ son relevantes para cualquier dirección de propagación. Es importante mencionar que si la amplitud de una perturbación no es mucho menor que la variable del equilibrio (en este caso, no se cumple 1_\ ≪ 1₄), entonces la aproximación lineal deja de ser válida. Para estudiar esta situación deberían tenerse en cuenta los términos no lineales de las ecuaciones de la MHD. Por otra parte, el modo lento es prácticamente incompresible. Estas propiedades de los dos modos magnetoacústicos son justamente las opuestas de las halladas cuando ! ≪ 1.

Figura 4.12: Perturbación de densidad normalizada a la densidad de equilibrio en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido (izquierda) y lento (derecha), siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R y i\j= 1 Üé/R para los modos rápido y lento, respectivamente.

A continuación estudiamos las propiedades de la perturbación de la velocidad, que hemos representado gráficamente en la figura 4.13. Cuando q = 0 la polarización de los movimientos es la contraria de la del caso ! ≪ 1: el modo rápido (lento) está asociado a movimientos paralelos (perpendiculares) a 6î. A medida que q crece, la orientación de BZ respecto de 6î

va rotando y cuando q = â/2 esta orientación es perpendicular a la de q = 0, es decir, coincide con la orientación de ! ≪ 1.

Figura 4.14: Perturbación de las componentes de campo magnético normalizadas a L4 en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo rápido, siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\|= 1 Üé/R.

Figura 4.15: Perturbación de las componentes de campo magnético normalizadas a L4 en función de la dirección de propagación de los frentes de onda para el modo lento, siendo q el ángulo que forma el vector de onda k con el campo magnético del equilibrio. Tomamos i\j= 1 Üé/R.

Finalmente pasamos a estudiar la perturbación del campo magnético. De nuevo, la dependencia de las componentes de 6_Z respecto de q para el modo rápido (figura 4.14) es la misma para los tres valores de ! que hemos considerado. El rango de variación de estas componentes es el mismo que obtuvimos para !~1 debido a que la velocidad de fase es bastante similar. En cuando al modo lento (figura 4.15), el crecimiento de los valores de L_\j y L_\| que observamos al aumentar ! (Apartados 4.1 y 4.2) se sigue manteniendo ahora. La perturbación de 6_Z crece considerablemente, llegando incluso a salir del rango de validez de la aproximación lineal para los valores de i\j y i\| que hemos adoptado aquí.

Las figuras 4.5 y 4.10 muestran que L_\| se anula cuando q tiende a cero, mientras que ahora L_\| diverge en este límite. Esto se debe, como hemos visto en la Figura 4.13, a que para ángulos de propagación pequeños la componente i_\| diverge para el modo lento.

De nuevo acabamos resumiendo las propiedades más importantes de las perturbaciones.

Hemos visto que el modo rápido presenta una propagación casi isótropa y con variaciones importantes de la densidad, y una perturbación del campo magnético pequeña debido a que el plasma se mueve paralelamente al campomagnético del equilibrio. Respecto al modo lento, su perturbación de la densidad es mucho menor (es prácticamente incompresible) pero los

5. Conclusión.

Inicialmente hemos derivado las ecuaciones de la magnetihidrodinámica ideal combinando las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones para la dinámica de un fluido (Apartado 2).

A través de las ecuaciones de la MHD ideal hemos visto que la dinámica del plasma viene determinada por dos fuerzas: el gradiente de presión del plasma −-C, y la fuerza de Lorentz

?×6, y ésta (la fuerza de Lorentz) a la vez se separa en dos fuerzas: la tensión magnética y la fuerza debida al gradiente de presión magnética. Obtenemos que, como cabía esperar, la fuerza resultante del término ?_G×6_G es perpendicular a 6_G (y a ?_G) (Apartado 2.2).

En el Apartado 2.5 hemos definido la ! del plasma, ! = 2>C/L⁺, y hemos visto como ésta permite reflejar la importancia relativa de las dos fuerzas anteriores (gradiente de presión y fuerza de Lorentz), de modo que cuando ! ≪ 1 la fuerza magnética posee una magnitud mucho mayor que la presión de gas, dominando así la dinámica del sistema. Lo contrario sucede cuando

! ≫ 1.

A continuación (Apartado 3), hemos perturbado el sistema y mediante una aproximación lineal hemos estudiado las ondas magnetoacústicas rápida y lenta en un medio homogéneo. Ondas cuyas propiedades están gobernadas por las dos fuerzas restauradoras antes mencionadas (la presión de gas y la fuerza magnética), y caracterizadas por producir movimientos del plasma en el plano que contiene el campo magnético y el vector de onda.

Estas dos ondas corresponden a dos soluciones de la ecuación de dispersión (3.19): Los modos rápido y lento. Hemos visto también como la velocidad de fase para los distintos modos depende de dos velocidades: la velocidad del sonido (₎ y velocidad de Alfvén (_*, y que cuando el campo aplicado es nulo ((_* = 0), el modo lento desaparece y la velocidad de fase es la velocidad del sonido, tratándose así de una onda sonora en un medio homogéneo (Apartado 3.2).

A continuación, hemos analizado las perturbaciones de las dos fuerzas resultantes de la fuerza de Lorentz, la tensión magnética y la fuerza debida al gradiente de presión magnética, obteniendo que la aproximación lineal supone que, la resultante de estas dos fuerzas sólo es perpendicular al campo magnético perturbado en el caso en que las ondas se propaguen en dirección perpendicular al campo magnético en equilibrio, es decir, perpendicular al eje x (Apartado 3.5).

En el Apartado 3.4 hemos calculado las amplitudes de las perturbaciones de la densidad, presión, componentes de campo magnético L_\j y L_\|, y velocidades i_\jy i_\|, para los modos rápido y lento, donde hemos deducido que las perturbaciones de la presión y la densidad no son independientes entre sí, sino que C_\ = (₎⁺1_\.

Finalmente, en el Apartado 4 hemos representado la velocidad de fase y las amplitudes de las perturbaciones 1_\, L_\j, L_\|, i_\j y i_\| normalizadas al valor en equilibrio en función de la dirección de propagación (ángulo entre el campo magnético en equilibrio y el vector de onda), para los casos: ! ≪ 1, ! ~ 1 y ! ≫ 1.

Para el modo magnetoacústico rápido obtenemos que:

• cuando ! ≪ 1 es prácticamente isótropo y poco compresible, generando perturbaciones pequeñas del campo magnético y movimientos del plasma prácticamente perpendiculares al campo magnético del equilibrio.

• cuando ! ~ 1 es anisótropo con una velocidad de fase diez veces inferior a la del caso anterior (! ≪ 1) y es compresible, excepto cuando se propaga casi paralelamente a 6_G que es incompresible. La perturbación del campo magnético crece considerablemente respecto del caso ! ≪ 1, pero su dependencia respecto de q es similar. Por último la polarización de los movimientos sigue siendo perpendicular a 6G cuando q es cercano a 0 o a â/2. Sin embargo, para valores del ángulo intermedios, B_Z deja de ser perpendicular a 6_G puesto que sus dos componentes pasan a ser importantes.

• cuando ! ≫ 1 presenta una propagación casi isótropa con variaciones importantes de la densidad, y una perturbación del campo magnético pequeña debido a que el plasma se mueve paralelamente al campo magnético del equilibrio.

Y para el modo magnetoacústico lento tenemos que:

• cuando ! ≪ 1 es altamente anisótropo y no se propaga en la dirección perpendicular a 6_G. Es mucho más compresible que el modo rápido y está asociado a perturbaciones muy pequeñas de 6_Z y perturbaciones de B_Z paralelas al campo magnético del equilibrio.

• cuando ! ~ 1 sigue siendo anisótropo y compresible. La perturbación de campo magnético también crece respecto del caso ! ≪ 1 y mantiene la misma dependencia respecto de q. Por último la polarización sigue siendo paralela a 6_G para valores de q cercanos a 0 o a â/2. No obstante, para valores de q intermedios, la orientación característica de BZ deja de ser válida puesto que las dos componentes de la velocidad poseen amplitudes similares.

• cuando ! ≫ 1 es también anisótropo y prácticamente incompresible, pero los movimientos del plasma ahora si están orientados en dirección perpendicular a 6_G, causando una perturbación importante de 6Z.

6. Bibliografía.

Arregui, I. (2003) Magnetohydrodynamic Waves in Sheared Coronal Magnetic Structures (Tesis doctoral). Universidad de las Islas Baleares, chapter 2.

Goedbloed, H. P. and Poedts, S. (2004) “Principles of Magnetohydrodynamics”, Cambridge University Press, chapters 3 and 4.

Priest, E. (2014) “Magnetohydrodynamics of the Sun”, Cambridge University Press, chapter 2.