itd15013---matematikk-1---andre-deleksamen---06012015

Hogskolen i østfo d

EKSAMEN —Ny og utsatt

Emnekode: Emne:

ITD15013 Matematikk 1 —andre deleksamen

Dato: Eksamenstid:

6. januar 2015

Hjelpemidler: Faglærer:

To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Christian F Heide Formelhefte.

Kalkulator er

ikke tillatt.

Eksamensoppgaven:

Oppgavesettet består av 6 sider inklusiv denne forsiden og to vedlegg. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.

Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 12 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle like mye.

Der det er mulig skal du:

vise utregninger

begrunne dine svar,

Sensurdato: 27. januar 2015

Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest 2 virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: www.hiof.no/studentweb

Oppgave 1

Figuren under viser funksjonene (blå kurve) og ex (rød kurve).

I

3

2,5 ,

2

1,5

0,5

-T- -

0 0,25 0,5 0,75 1

Finn arealet av området som ligger mellom disse kurvene og er avgrenset av de vertikale linjene x = 0 og x = 1 (altså det skraverte området på figuren).

Oppgave 2

Finn verdien av følgende uegentlige integral dersom det konvergerer:

Oppgave 3

Finn den generelle (allmenne) løsningen av følgende differensialligning:

y' = 0

Oppgave 4

Finn løsningen på følgende initialverdiproblem:

y"-E2y'+2y = 3x' —2x, y(0) =16, y'(0) = —12

a) En lineærtransformasjon T: R2--->R2er gitt ved 2 —5

T = 1 —4

Finn bildet av vektoren v = under T.

2

b) Noen vektorer har den egenskap at de ikke endrer retning ved en transformasjon med lineærtransformasjonen T. Finn disse vektorene.

Oppgave 6

Gitt følgende matrise:

1 3 1 4

2 7 3 9

A= 1 5 3 1

1 2 0 8

a) Vis ved elementære rekkeoperasjoner at den reduserte trappeformen til denne matrisen er

1 0 —2 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

og finn så alle løsninger x av ligningssystemet Ax = 0, hvor

x = og 0 =

0

Finn en basis for rekkerommet og en basis for nullrommet til matrisen.

For matrise A, finn rangen

Oppgave 7

En ball slippes fra to meters høyde mot et gulv. Ballen spretter opp til en høyde som er av høyden den slippes fra, før den igjen faller mot gulvet og spretter på ny opp til av høyden den faller fra, osv.

Finn den totale vertikale distansen ballen tilbakelegger før den ligger i ro på gulvet.

(Vi ser bort fra fysiske begrensninger som for eksempel luftmotstand og det litt problematiske i at ballen matematisk sett spretter uendelig mange ganger før den ligger i ro i forhold til gulvet.)

Oppgave 8

Finn taylorpolynomet av grad 3 om a = 0 for funksjonen f (x) = -\11—x

Oppgave 9

Tegn grafen og finn deretter fourierrekken til følgende periodiske funksjon med periode 27z-:

{0 - < 0

f (x) =

1 0 x <

Vedlegg 1: Laplacetransformasjonen —formelliste

Definisjon av laplacetransformasjonen:

Y(s) =£(y(t)) = .{:y(t) e't dt

y(t)

tn

e^at

t"eat

(n =1, 2,

(n =1, 3,

2, ...)

3, ...)

Y(s) = £(y(t))

n!

s^n+I 1 s —a

n!

(s —a)"+' sincot co

s 2⁺ CO2

cos cot

s 2+ CO2

ea sin cot

(s —a)2 + CO2

y(t) eat Y(s —a)

—¹e-as u(t —a)

y(t —a) u(t —a) e Y(s)

d(t —a)

Derivasjon og integrasjon:

())' (t)) = s Y y(0)

(y" (t)) = s 2Y—sy(0)— y'(0)

Konvergensområde/

kommentar

s >0 s >0 s > a

s > a

s >0 s > 0

s >a

Enhetssprang

Enhetspuls (Diracs delta)

Vedlegg 2: Eksakte trigonometriske verdier for noen vinkler

y

.k-3\\:.•'?

(\ _9 (0. 1)

•9

f,-,,

90° 0 v

..._27- /. o,,

(

-1. 0)

L

-)\S

,_?-_,

i-t>-

..V '''%.' - 6''''-

/ -,,

‹,,\s/ ::\^j. .0:. \1-,>, 41^,3) .

n .

/". ,-"," , \\

(0 , — 1 )

.\./....__%; _...J