irf10014-eksamensoppgave-matematikk-1-03.01.19

EKSAMEN

Emnekode:

IRF10014

Emnenavn:

Matematikk 1

Dato: 03.01.2019

Sensurfrist: 24.01.2019

Eksamenstid: 0900-1300

Antall oppgavesider: 2 Antall vedleggsider: 2

Faglærer:

Mikjel Thorsrud (bortreist).

Kontaktperson:

Per Erik Skogh Nilsen, mobil: 47 28 85 23.

Oppgaven er kontrollert: Ja Hjelpemidler:

Kalkulator, med tomt minne, som ikke kan regne symbolsk eller kommunisere trådløst. Enten Tor Andersen: "Aktiv formelsamling i matematikk" eller "Gyldendals formelsamling i matematikk".

Formelsamling er vedlagt.

Om eksamensoppgaven:

Oppgavesettet består av 11 deloppgaver som i utgangspunktet vektes likt:

1a, 1b, 1c, 1d, 2, 3, 4a, 4b, 5a, 5b, 6.

Formelsamling (2 sider) er vedlagt.

Kandidaten må selv kontrollere at oppgavesettet er fullstendig

Oppgave 1

a) Gitt to komplekse tall z = 3 +i og w = 2−3i. Regn ut følgende uttrykk og skriv svarene p˚a kartesisk form:

i)z+w, ii)z·w, iii) _w^z, iv) |z−w| b) Bestem grensene hvis de eksisterer

i) lim

x→∞

2x−x⁵

(x³−2)², ii) lim

x→0

xln(1−x) sinx² c) Regn ut integralene

i) Z

x³+e^2x

dx, ii)

Z π/2

π/6

cosx·sin²x dx d) Finn den lineære tilnærmingen til funksjonen

f(x) =√ x

i punktet x= 36. Bruk resultatet til ˚a finne et rasjonalt tall som tilnærming til √ 37.

Skriv tilnærmingen som en brøk hvor b˚ade teller og nevner er heltall.

Oppgave 2 Funksjonen

f(x) =e^2xtanx har definisjonsmengde D_f = _2π

3 , π

. Regn ut f⁰(x) og faktoriser uttrykket s˚a mye som mulig. Vis at f⁰(x) ≥0 for alle x∈D_f. Bestem globale minimum og maksimumsverdier til funksjonenf og skriv ned verdimengdenV_f.

Oppgave 3 La D være omr˚adet i første kvadrant avgrenset av kurveney= lnx,x=eog x-aksen. Regn ut volumet til omdreiningslegemet som fremkommer ved ˚a rotereDen gang rundt y-aksen.

Oppgave 4 Løs initialverdiproblemene:

a)

xy⁰+ 2y=x², y(2) = 2, b)

y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0, y(1) = 1, y⁰(1) = 3

2

Oppgave 5

a) Gitt matrisene

A=





1 2 3

2 0 2

2 −2 0



, B =

1 2 1 0 1 4

Av de fire uttrykkene under kan enkelte være udefinerte. Regn ut uttrykket hvis det er definert, gi en kort begrunnelse hvis det er udefinert.

i) detA , ii)A⁻¹ , iii) BA, iv) 3B+ 2BA

b) Løs ligningssystemet ved ˚a utføre radoperasjoner (Gauss-eliminasjon) x+ 2y+ 3z= 6,

2x + 2z= 8, 2x−2y = 6

Har ligningssystemet løsninger? Beskriv i s˚a fall løsningsmengden geometrisk, dvs.

som et bestemt punkt, linje eller plan.

Oppgave 6 Vann strømmer ut av et rør. Strømningsraten m˚ales hver fjerde time og reg- istreres i enheter av liter (kubikkdesimeter) per sekund:

20.0, 20.5, 22.0, 21.8, 21.0, 19.0, 18.0

Bruk Simpsons regel til ˚a beregne volumet av vannet som rant ut av røret i løpet av dette døgnet. Trapesmetoden aksepteres ogs˚a, men gir ikke full uttelling. Oppgi endelig svar i enheter av kubikkmeter (m³).

3

FORMELSAMLING

Regneregler for potenser a^pa^q = a^p+q a^p/a^q = a^p−q a^−q = 1/a^q (a^p)^q = a^p·q

a^1/p = √^p a a^pb^p = (ab)^p a^p/b^p = (a/b)^p Regneregler for logaritmer

ln(ab) = lna+ lnb ln(a/b) = lna−lnb

ln(a^p) = p·lna log_a(b) = ln(b)/ln(a) Eksakte verdier for sin og cos

u u sinu cosu tanu

0 0^◦ 0 1 0

π/6 30^◦ 1/2 √

3/2 1/√ 3 π/4 45^◦ √

2/2 √

2/2 1

π/3 60^◦ √

3/2 1/2 √

3

π/2 90^◦ 1 0

Trigonometriske formler 1 = sin²u+ cos²u tanu = sinu/cosu

sinu = sin(u+ 2πn), n∈Z cosu = cos(u+ 2πn), n∈Z tanu = tan(u+πn), n∈Z sin(u) = sin(π−u)

cos(u) = cos(−u)

−sin(u) = sin(−u)

cos²u = (1 + cos(2u))/2 sin²u = (1−cos(2u))/2

sin(u+v) = sinu cosv+ cosu sinv cos(u+v) = cosu cosv−sinu sinv

sin(2u) = 2 sinucosu cos(2u) = cos²u−sin²u Likninger

Rett linje:y−y₀=a(x−x₀) Sirkel: (x−x₀)²+ (y−y₀)² =r²

Komplekse tall

z=a+ib=r(cosθ+isinθ) =re^iθ, r² =a²+b², tanθ=b/a (a6= 0) Denisjon av den deriverte

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

Derivasjonsregler (u+v)⁰ = u⁰+v⁰

(c u(x))⁰ = c u⁰(x) (ckonstant) (u·v)⁰ = u⁰v+uv⁰

(u/v)⁰ = u⁰v−uv⁰ v² (f(u))⁰ = f⁰(u)·u⁰

df dx = df

du·du dx

Noen deriverte (x^r)⁰ = rx^r−1 (e^x)⁰ = e^x

(a^x)⁰ = a^xlna (a >0) (lnx)⁰ = 1/x

(log_ax)⁰ = 1/(xlna) (sinx)⁰ = cosx (cosx)⁰ = −sinx

(tanx)⁰ = 1/cos²x= 1 + tan²x (arcsinx)⁰ = 1/p

1−x², (arccosx)⁰ = −1/p

1−x², (arctanx)⁰ = 1/(1 +x²) Lineær tilnærming i x0

f(x)≈f(x0) +f⁰(x0)(x−x0) Newtons metode

x_n+1 =x_n− f(x_n) f⁰(x_n) L'Hôpitals regel

Hvis f(x) og g(x) begge går mot 0, eller de går mot ∞eller mot −∞ nårx→a, er

xlim→a

f(x) g(x) = lim

x→a

f⁰(x) g⁰(x) Monotoniegenskaper

Nårf⁰(x)>0 for x∈(a, b), så erf strengt voksende i[a, b]. Nårf⁰(x)<0forx∈(a, b), så erf strengt avtagende i[a, b].

Riemann-integral Xn

i=1

f(x_i)∆x_i→ Z b

a

f(x)dx

når∆x_i→0 for alle i

Egenskaper til bestemte integral Z _b

a

F⁰(x)dx = F(b)−F(a) Z b

a

cf(x)dx = c Z b

a

f(x)dx Z b

a

(f +g)dx = Z b

a

f dx+ Z b

a

g dx Z b

a

uv⁰dx = [uv]^b_a− Z b

a

u⁰v dx Z _b

a

f(u)u⁰dx =

Z _u(b)

u(a)

f(u)du

Noen antideriverte Z

x^rdx = x^r+1

r+ 1+C r6=−1 Z 1

x dx = ln|x|+C Z

e^xdx = e^x+C Z

sinx dx = −cosx+C Z

cosx dx = sinx+C Z 1

cos²xdx = tanx+C Z 1

√1−x²dx = arcsinx+C Z 1

1 +x²dx = arctanx+C

Egenskaper til ubestemte integral Z

uv⁰dx = uv− Z

u⁰v dx Z

f(u)u⁰dx = Z

f(u)du Z

f(ax+b)dx= 1

aF(ax+b) +C Delbrøkoppspalting

Hvis grad(nevner)>grad(teller) og nevner inneholder faktor

i) (ax+b) gir delbrøk _ax+b^A ii) (ax+b)^k gir delbrøker

A1

ax+b+ _(ax+b)^A2 2 +· · ·+ _(ax+b)^Ak _k iii)x²+b² gir delbrøk ^Ax+B_x2+b²

Trapesmetoden Z b

a

f(x)dx≈Tn der T_n= ∆x

f(x0)

2 +f(x₁) +· · ·+f(x_n−1) + ^f(x₂ⁿ⁾ ,

∆x= (b−a)/nog x_i =a+i∆x. Simpsons regel

Z b

a

f(x)dx≈S_n (n=partall) der

S_n= ^∆x₃ (f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) +

· · ·+ 2f(x_n−2) + 4f(x_n−1) +f(x_n)),

∆x= (b−a)/nog x_i =a+i∆x. Objekter bestemt av f(x) Buelengde:

L=Rb a

p1 + (f⁰(x))²dx Rotasjon omx-aksen:

V_x =πRb

af(x)²dx Rotasjon omy-aksen:

V_y = 2πRb

axf(x) dx Gjennomsnitt y= 1

b−a Z _b

a

y(x)dx

Dierensiallikninger Separabel:

h(y)·y⁰ =g(x) girZ

h(y)dy= Z

g(x)dx 1. ordens lineær:

y⁰+f(x)y=g(x) gir

ye^F(x)₀

=g(x)e^F(x) Løsninger til likningenay⁰⁰+by⁰+cy = 0: (karakteristisk likning: aλ²+bλ+c= 0)

y = Ae^λ1x+Be^λ2x (to reelle røtter) y = e^λx(A+Bx) (ei rot)

y = e^αx(Acos(βx) +Bsin(βx)) (to komplekse røtter λ=α±βi) Likningenay⁰⁰+by⁰+cy=g(x)har løsning y = y_h +y_p der y_h er generell løsning av homogen likning ogy_p en partikulær løsning (prøv en funksjon av samme type som g).

Invertibel matrise teoremet: La A være en kvadratisk matrise. Følgende påstan- der er ekvivalente: i) detA 6= 0, ii) A er in- vertibel, iii)A~x=~bhar nøyaktig en løsning, iiii) Søylene iA er lineært uavhengige.

Determinant og invers av2×2-matrise:

a b

c d

= ad−bc a b

c d ₋1

= 1

ad−bc

d −b

−c a