Emne: IRF 10014 Matematikk 1. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne
Grupper: Diverse. Dato: 04.12.2015 Tid: 9.00 —13.00.
Antall oppgavesider: 2. Antall vedleggsider: 3, formelark.
Sensurfrist:
Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og en formelsamling.
KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Vis alle utregninger. Besvarelsen vurderes ut fra kvaliteten på begrunnelsene.
Alle deloppgaver teller likt. Oppgavesettet har 11 deloppgaver.
Oppgave 1
"2
Bestem grensen hvis den eksisterer: lim1 e
x •
Oppgave 2
z +
Løs likningen =2 —i . z —2i
Bestem fjerderøttene til iv=625 .
Oppgave 3
Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform
—x+2y+3z=13
( Gauss —Jordans metode ): x-2y+z=-5 .
2x-5y+7z= —3
For hvilke verdier av t ER er vektorene vi,v2og v lineært uavhengige når
9
3 og 1,3= 0 ?
—5
Oppgave 4
t
'
2
Oppgave 5
Aksjekursen til et børsnotert selskap i kroner er K(t)=t3 —6t2 +9t +10, tE [0,7] . Tiden, t,er i år.
Forklar hvorfor aksjekursen må ha en største og en minste verdi.
Bestem største og minste aksjekurs.
Når synker aksjekursen hurtigst og hva er minkingen da?
Oppgave 6
Grafen til funksjonen y = f (x) , 4 0 x , avgrenser sammen med koordinataksene og linja x =1 et flatestykke i 1. kvadrant.
Beregn volumet av legemet som framkommer når flatestykket dreies en gang om y —aksen.
Oppgave 7
Bruk Simpsons metode med 4 delintervall til å bestemme tilnærmet verdi av lengden til kurven gitt ved y= f (x) = 0.5ex, 0 x 1.
Svaret oppgis korrekt avrundet til to desimaler.
Oppgave 8
I et rettvinklet veikryss er to biler på vei inn mot krysset. Bilen som kommer nord fra er 70m fra krysset og har farten 15.5m/s, mens bilen som kommer øst fra er 50m fra krysset og har farten 9.5m/s. Passasjeren i bilen som kommer nord fra filmer bilen som kommer øst fra. Hvor fort må kameraet dreies for å følge bilen som kommer øst fra i det øyeblikk avstander og fart er som oppgitt?
Svaret skal oppgis i grader per sekund korrekt avrundet til tre desimaler.
Oppgave 9
Beregn integralet ox„ dx . (1+5x -
r
2
Formelark i Matematikk 1.
Røtter av komplekse tall.
Et komplekst tall z= iziejûhar de n komplekse røttene, som er løsningene av likningen wn=z , -w,= ei(") ,k =O,1,.. n 1 .
Newtons metode for å løse likningen f(x) =0 tilnærmet.
Starter med en verdi xosom er nær den korrekte løsningen.
Itererer neste tilnærming fra forrige ved x,1 =
Simpsons formel for å beregne tilnærmet verdi av integralet I = f (x) dx .
Intervallbredde Ax =b—a
, dern er antall intervaller området deles i, alltid partall. Tilnærmet verdi er:
= 3 (f(;)+ 4f (x,)+ 2f (x2) + 4f (x3)+ ...+2f (x„2)+ 4f (x,1) +
Feilestimat: F =II— si ,der talletM oppfyller if") (x)1 M på 180n-
intervallet [a, b] .
En lineær 1. ordens differensiallikning på standard form y'+ p(x)y = q(x) har løsningen y = e-P(x)1e"(x)q(x) cbc,der P(x)= f p(x) dx .
Separabel 1. ordens differensiallikning på standard separert form
f (y)dy = g(x)dx som etter integrasjon løses for y = y(x) .
En lineær homogen 2. ordens differensiallikning med konstante koeffisienter på standard form ay" + by' +cy =0 har karakteristisk likning
a22 + bA + c = 0 ,med løsning = 21,2=112.
Løsningen av differensiallikningen er da:
22begge reelle y = y(x)=C iex + C2eA2x /11=/12=2 reell y = y(x) = (C1+C2x)e'''
A a ± ip kompleks y = y(x) = eax(C1cos fi x + C2sinfix)
forsøkes valgt av tilsvarende type som f (x) når denne ikke inngår i løsningen av den homogene differensiallikningen, y, . Ellers justeres valget opp en grad til det ikke lenger er en del av y, .
Integrasjon.
f dx
= tan (x) + C =arctan(x)+C 1+x2
cbc —sin"(x)+ C =arcsin(x)+C
—x2
f
sinkcdx.---coskx+C cosloccbc= fsinkx+Cf
ek‘dx=fek c+C_r+1
fxrdx,
r + 1
f dx.=
ax dy= ax +C a
Integrasjonsmetocier.
Delvis: U'V dx = UV_JUV'dx.
Substitusjon/Variabelskifte:
5f(u(x))u' (x) dx
=5 f (u) du .
Delbrøkoppspalting: Nevner inneholder faktor
i) ax + b gir delbrøk
Derivasjon.
(sinloc)'= kcoskx
(coskx)' = —ksinla (x1)f =rxr-1
ax + b
(ax + b)k gir delbrøk + A2 + +
4
ax + b (ax + b)2 (ax +b)k
x2+b2 gir delbrøk Ax+ B
2+ b2
x
2
(ax)'= ax ln a
= kek`
Derivasjonsmetoder.
Produkt: (uv)' =U'V+UV' Brøk: (-(1-1= Ulv—UT7'
V) V2
Kjerne: (f (u(x))' = f' (u)u' , u = u(x)
Kurvelengde.
=f (x), a x b gir L = 11+(f' (x))2 dx .
Volum av omdreiningslegeme.
Om x aksen: V=4(f(x))2 dx .
Om y —aksen: v= 224xf (x)dy .
Lineær algebra
Lineært likningssystem A •x = b .
Koeffisientmatrise A og totalmatrise T =[Alb] .
Antall ukjente er n.
Rangdrofting:
RangA = RangT =n , systemet har presis en løsning.
RangA= RangT < n , systemet har uendelig mange løsninger.
RangA< RangT ,systemet har ingen løsning.
Invers matrise:
= detA ,der adiA= CT og kofaktormatrisen C= [ca] er gitt ved minorene Ady= lAyr=det 4 som .Matrisen A framkommer ved å sløyfe rad iog kolonnej i matrisenA.
Alternativ Gauss-Jordan: FAII] [I IA-1].
