FORMELSAMLING TIL "MATEMATIKK FOR ØKOLOGAR"

FORMELSAMLING TIL "MATEMATIKK FOR ØKOLOGAR"

LIKNINGER FOR RETTE LINJER

) ( er

) ( og ) ( punktene gjennom

linje Rett

) ( er

all stigningst med

og ) , ( gjennom linje

Rett

1 1

2 1 1 2

2 2 1

1

1 1

1 1

x x x

x y y y

y ,y x ,y

x

x x a y y a y

x b

ax y

 

 













ANNENGRADSLIKNING

a ac b

x b c

bx

ax 2

0 4

2   2 











DERIVASJON

Definisjon av den deriverte:

h x f h x x f

f h

) ( ) lim (

)

( 0



 

 

Derivasjonsregler:

) ( )

( )

( )

( ) (

) ( )

(

) ( ) ( ] ) ( ) ( [

) ( ]

) ( [

1 1

x g x g r x f x g x f

x r x f x x f

x g x f x g x f

x f k x f k

r r

r r

 



 







 





 

 

 

 









2

) (

) (

v v u v u v u

v u v u v u

v u v u

 











 





 









 

 

 

Kjerneregelen:

u u f x g f u.

x g , x g

f[ ( )] der ( ) Daer [ ( )] ( )  funksjon

en Gitt

POTENSER

y x y x

x x x

x x x

y x y x

y x y x

y x

y e x

x -x

a a

b a b a

b a b a

a a a

a a a

a a

a a a









 



 















 















) (

) (

) (

1 1

f d def 0def

EKSPONENTIALFUNKSJONER

a a x f a x f

e x f e x f

x x

x x

ln )

( )

(

) ( )

(



 





 





LOGARITMEFUNKSJONER

Logaritmen til et positivt tall a er eksponenten i den potensen vi må opphøye 10 i for å få a.

a a 10log

Den naturlige logaritmen til et positivt tall a er eksponenten i den potensen vi må opphøye e i for å få a.

a e^lna 

a e^a  ln

x 1x ) (ln 

 

a x a

b b a

a

b a b

a

x ln

ln

ln ln ln

ln ln ) ln(















INTEGRALREGNING













 

 ^

C x xdx

C, r r x

dx

x^{r r}

1 ln

1 1

1 ₁

 

 

 

  







 















vdx u v u dx v u

dx x f k dx x f k

dx x g dx x f dx x g x f

: n integrasjo Delvis

) ( )

(

) ( )

( )

( ) (

FUNKSJONER MED TO VARIABLE

Dersom en funksjon f(x,y) enten har et maksimumspunkt eller et minimumspunkt for (x,y) = (a,b), så er

0 ) ( og 0 )

(  a,b 

y a,b f

x f









DIFFERENSIALLIKNINGER

t

ek

C y y

k

y  har løsningen   ^ n

allikninge Differensi

a e b C y b

ay

y  har løsningen   ^at  n

allikninge Differensi

. 0 likningen

av løsningene er

og der

1 , løsningen

har n

allikninge Differensi

2

) ( 2











 







 _

c by ay B

A

e C

A A B

y c

by ay

y _{B Aat}

TRIGONOMETRI

I en rettvinklet trekant gjelder følgende definisjoner:

Sinus til en vinkel er forholdet mellom den motstående kateten til vinkelen og hypotenusen.

Cosinus til en vinkel er forholdet mellom den hosliggende kateten til vinkelen og hypotenusen.

Tangens til en vinkel er forholdet mellom den motstående og hosliggende kateten til vinkelen.

x x

x x

x x

cos2

) 1 (tan

sin )

(cos

cos ) (sin









Dersom sinus eller cosinus til en vinkel x er kjent, kan vi finne vinkelen x ved å bruke inv sin eller inv cos:

. 1.kvadrant i

en vinkel er

der , cos cos

sin

sinxaxinv a og xb xinv b x PROSENTVIS VEKST

n

0 1 100



 

 



 p

A A_n

GEOMETRISKE REKKER

1

uttrykket 1

har rekke geometrisk en

i leddet te

Det n a_n a k^n

Summen av de n første leddene i en geometrisk rekke er

 

1

1 1





  k

k S a

n n

Summen av en uendelig konvergent geometrisk rekke er

k S a

  1

1

1 Regneregler for sannsynlighet

Komplementsetningen: P(

) = 1  P(A)

Addisjonssetningen: P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB)

Utfallene A og B er disjunkte dersom AB = Ø

2 Kombinatorikk

Fra en populasjon på N enheter trekkes et utvalg på s enheter.

Trekkemåte Antall forskjellige utvalg Ordnet med tilbakelegging N

Ordnet uten tilbakelegging (N)

= N (N  1) (N  2) … (N  s + 1)

Ikke-ordnet uten tilbakelegging

)!

(

!

!

! ) (

s N s

N s

N s

N _s

 

 



 





Av N enheter kan det dannes N ! = N · (N  1) · … · 3 · 2 · 1 forskjellige rekkefølger.

3 Betinget sannsynlighet og uavhengighet

Betinget sannsynlighet for A gitt B, der P(B) > 0, er gitt ved:

P(A | B) =

P(B) B) P(A

Multiplikasjonssetningen

P(AB) = P(B) P(A|B) P(B) > 0 P(AB) = P(A) P(B|A) P(A) > 0

Bayes lov

P(B | A) =

P(A) B)

| P(A

P(B)

P(A) > 0, P(B) > 0

Lov om total sannsynlighet

P(A) = P(B

) P(A | B

) + P(B

) P(A | B

) + … + P(B

) P(A | B

) B

, B

, … , B

er disjunkte utfall, alle med positiv sannsynlighet, og B

 B

 …  B

= 

B-ene sies å være en oppdeling av utfallsrommet .

Spesialtilfelle – oppdeling i 2 deler P(A) = P(B) P(A | B) + P(

) P(A |

) Her er r = 2, B

= B og B

=

Uavhengighet

A og B er uavhengige utfall dersom P(AB) = P(A) P(B)