irf10014-matematikk-1---eksamensoppgave---21.05.2019

EKSAMEN

Emnekode:

IRF10014

Emnenavn:

Matematikk 1

Dato: 21.05.2019

Sensurfrist: 11.06.2019

Eksamenstid: 0900-1300

Antall oppgavesider: 2 Antall vedleggsider: 2

Faglærer:

Mikjel Thorsrud (41 51 86 10).

Oppgaven er kontrollert: Ja

Hjelpemidler:

Kalkulator, med tomt minne, som ikke kan regne symbolsk eller kommunisere trådløst. Enten Tor Andersen: "Aktiv formelsamling i matematikk" eller "Gyldendals formelsamling i matematikk".

Formelsamling er vedlagt.

Om eksamensoppgaven:

Oppgavesettet består av 13 deloppgaver som i utgangspunktet vektes likt:

1a, 1b, 1c, 1d, 2a, 2b, 3a, 3b, 4a, 4b, 5a, 5b, 6.

Formelsamling (2 sider) er vedlagt.

Kandidaten må selv kontrollere at oppgavesettet er fullstendig

Oppgave 1

a) Finn alle løsningene til likningen

z³= 8i

Skriv svarene p˚a kartesisk form og tegn dem inn i det komplekse planet.

b) Bestem grensene hvis de eksisterer:

i) lim

x→0

sin^πx₆

x , ii) lim

x→∞

5x−x³ 3x³+x²+ 1 c) En funksjon er gitt ved

f(x) =x²·e^x

i) Finn den lineære tilnærmingen til funksjonenf i punktetx= 1.

ii) Albert ˚Aberg bruker den lineære tilnærmingen til ˚a p˚ast˚a at f(2) ≈ 4e. Fork- lar hvorfor Albert’s tilnærming er d˚arlig ved ˚a tegne en skisse som viser b˚ade funksjonen og den lineære tilnærmingen. Gi en kort kommentar.

d) Regn ut integralene:

i) Z ₁

0

sinπx+√ 2x

dx, ii)

Z 2x 1 +x²dx

Oppgave 2 Integralet

Z 4

0

e^√xdx

kan løses eksakt, selv om det ikke er s˚a opplagt ved første øyekast. I den første deloppgaven under beregnes en tilnærmet løsning, mens i den neste er m˚alet ˚a løse den eksakt.

a) Finn en tilnærming til integralet over ved ˚a bruke Simpson’s regel med 4 delintervaller.

Oppgi det endelige svaret med 3 gjeldende siffer.

NB: trapesmetoden aksepteres ogs˚a men gir ikke full uttelling.

b) Finn den eksakte løsningen til integralet.

Veiledning: begynn med substitusjonen u = √

x. Dette gir et integral p˚a formen Rb

ag(u)dusom kan løses eksakt med velkjente metoder.

Oppgave 3 Et omr˚adeDi planet er begrenset av parabeleny =x² og linjen y= 2x.

a) Skisser omr˚adetDog regn ut arealet.

b) Bestem volumet til omdreininglegemet som fremkommer ved ˚a rotere omr˚adet D en gang rundt x-aksen.

2

Oppgave 4

a) Finn den generelle løsningen til differensiallikningen:

y⁰⁰−6y⁰+ 9y= 0 b) Løs initialverdiproblemet:

y⁰⁰−6y⁰+ 9y = 27x², y(0) = 4, y⁰(0) = 7

Oppgave 5

a) Gitt matrisene

A=





1 2 4

2 1 −10

3 4 0



, B =



 2 1

−1 1 π 1





Av de fire uttrykkene under kan enkelte være udefinerte. Regn ut uttrykket hvis det er definert, gi en kort begrunnelse hvis det er udefinert.

i) detA , ii)A⁻¹ , iii) AB, iv) B^TA^T

b) Løs likningssystemet ved ˚a utføre radoperasjoner (Gauss-eliminasjon) x+ 2y+ 4z= 6,

2x+y−10z= 8, 3x+ 4y = 6

Har likningssystemet løsninger? Hvis ja: beskriv løsningsmengden geometrisk, dvs.

som et bestemt punkt, linje eller plan. Hvis nei: begrunn hvorfor likningssystemet er inkonsistent.

Oppgave 6 En heliumballong slippes fra et punktP p˚a bakken. Vi antar at bakkeplanet er flatt, at vindhastigheten er konstant og at vindretningen er stabil. Ved tidspunktet t er ballongen rett over et punkt x(t) p˚a bakken og ballongens høyde over bakken er y(t).

I punktet P st˚ar en person og m˚aler vinkelen θ(t) mellom bakken og siktlinjen fra P til ballongen.

i) Tegn en skisse og forklar at

tanθ= y x Deriver likningen implisitt med hensyn p˚at.

ii) Ballongen har en konstant horisontal hastighetskomponent ^dx_dt = 5m/s, mens den ver- tikale hastighetskomponenten ^dy_dt varierer. 20 sekunder etter at ballongen slippes fra punktet P m˚ales vinkelen mellom siktlinjen og bakken til θ = 60^◦. P˚a samme tid- spunkt øker θ med 1^◦ per sekund. Regn ut ballongens vertikalhastighet ^dy_dt p˚a dette tidspunktet.

3

FORMELSAMLING

Regneregler for potenser a^pa^q = a^p+q a^p/a^q = a^p−q a^−q = 1/a^q (a^p)^q = a^p·q

a^1/p = √^p a a^pb^p = (ab)^p a^p/b^p = (a/b)^p Regneregler for logaritmer

ln(ab) = lna+ lnb ln(a/b) = lna−lnb

ln(a^p) = p·lna log_a(b) = ln(b)/ln(a) Eksakte verdier for sin og cos

u u sinu cosu tanu

0 0^◦ 0 1 0

π/6 30^◦ 1/2 √

3/2 1/√ 3 π/4 45^◦ √

2/2 √

2/2 1

π/3 60^◦ √

3/2 1/2 √

3

π/2 90^◦ 1 0

Trigonometriske formler 1 = sin²u+ cos²u tanu = sinu/cosu

sinu = sin(u+ 2πn), n∈Z cosu = cos(u+ 2πn), n∈Z tanu = tan(u+πn), n∈Z sin(u) = sin(π−u)

cos(u) = cos(−u)

−sin(u) = sin(−u)

cos²u = (1 + cos(2u))/2 sin²u = (1−cos(2u))/2

sin(u+v) = sinu cosv+ cosu sinv cos(u+v) = cosu cosv−sinu sinv

sin(2u) = 2 sinucosu cos(2u) = cos²u−sin²u Likninger

Rett linje:y−y₀=a(x−x₀) Sirkel: (x−x₀)²+ (y−y₀)² =r²

Komplekse tall

z=a+ib=r(cosθ+isinθ) =re^iθ, r² =a²+b², tanθ=b/a (a6= 0) Denisjon av den deriverte

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

Derivasjonsregler (u+v)⁰ = u⁰+v⁰

(c u(x))⁰ = c u⁰(x) (ckonstant) (u·v)⁰ = u⁰v+uv⁰

(u/v)⁰ = u⁰v−uv⁰ v² (f(u))⁰ = f⁰(u)·u⁰

df dx = df

du·du dx

Noen deriverte (x^r)⁰ = rx^r−1 (e^x)⁰ = e^x

(a^x)⁰ = a^xlna (a >0) (lnx)⁰ = 1/x

(log_ax)⁰ = 1/(xlna) (sinx)⁰ = cosx (cosx)⁰ = −sinx

(tanx)⁰ = 1/cos²x= 1 + tan²x (arcsinx)⁰ = 1/p

1−x², (arccosx)⁰ = −1/p

1−x², (arctanx)⁰ = 1/(1 +x²) Lineær tilnærming i x0

f(x)≈f(x0) +f⁰(x0)(x−x0) Newtons metode

x_n+1 =x_n− f(x_n) f⁰(x_n) L'Hôpitals regel

Hvis f(x) og g(x) begge går mot 0, eller de går mot ∞eller mot −∞ nårx→a, er

xlim→a

f(x) g(x) = lim

x→a

f⁰(x) g⁰(x) Monotoniegenskaper

Nårf⁰(x)>0 for x∈(a, b), så erf strengt voksende i[a, b]. Nårf⁰(x)<0forx∈(a, b), så erf strengt avtagende i[a, b].

Riemann-integral Xn

i=1

f(x_i)∆x_i→ Z b

a

f(x)dx

når∆x_i→0 for alle i

Egenskaper til bestemte integral Z _b

a

F⁰(x)dx = F(b)−F(a) Z b

a

cf(x)dx = c Z b

a

f(x)dx Z b

a

(f +g)dx = Z b

a

f dx+ Z b

a

g dx Z b

a

uv⁰dx = [uv]^b_a− Z b

a

u⁰v dx Z _b

a

f(u)u⁰dx =

Z _u(b)

u(a)

f(u)du

Noen antideriverte Z

x^rdx = x^r+1

r+ 1+C r6=−1 Z 1

x dx = ln|x|+C Z

e^xdx = e^x+C Z

sinx dx = −cosx+C Z

cosx dx = sinx+C Z 1

cos²xdx = tanx+C Z 1

√1−x²dx = arcsinx+C Z 1

1 +x²dx = arctanx+C

Egenskaper til ubestemte integral Z

uv⁰dx = uv− Z

u⁰v dx Z

f(u)u⁰dx = Z

f(u)du Z

f(ax+b)dx= 1

aF(ax+b) +C Delbrøkoppspalting

Hvis grad(nevner)>grad(teller) og nevner inneholder faktor

i) (ax+b) gir delbrøk _ax+b^A ii) (ax+b)^k gir delbrøker

A1

ax+b+ _(ax+b)^A2 2 +· · ·+ _(ax+b)^Ak _k iii)x²+b² gir delbrøk ^Ax+B_x2+b²

Trapesmetoden Z b

a

f(x)dx≈Tn der T_n= ∆x

f(x0)

2 +f(x₁) +· · ·+f(x_n−1) + ^f(x₂ⁿ⁾ ,

∆x= (b−a)/nog x_i =a+i∆x. Simpsons regel

Z b

a

f(x)dx≈S_n (n=partall) der

S_n= ^∆x₃ (f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) +

· · ·+ 2f(x_n−2) + 4f(x_n−1) +f(x_n)),

∆x= (b−a)/nog x_i =a+i∆x. Objekter bestemt av f(x) Buelengde:

L=Rb a

p1 + (f⁰(x))²dx Rotasjon omx-aksen:

V_x =πRb

af(x)²dx Rotasjon omy-aksen:

V_y = 2πRb

axf(x) dx Gjennomsnitt y= 1

b−a Z _b

a

y(x)dx

Dierensiallikninger Separabel:

h(y)·y⁰ =g(x) girZ

h(y)dy= Z

g(x)dx 1. ordens lineær:

y⁰+f(x)y=g(x) gir

ye^F(x)₀

=g(x)e^F(x) Løsninger til likningenay⁰⁰+by⁰+cy = 0: (karakteristisk likning: aλ²+bλ+c= 0)

y = Ae^λ1x+Be^λ2x (to reelle røtter) y = e^λx(A+Bx) (ei rot)

y = e^αx(Acos(βx) +Bsin(βx)) (to komplekse røtter λ=α±βi) Likningenay⁰⁰+by⁰+cy=g(x)har løsning y = y_h +y_p der y_h er generell løsning av homogen likning ogy_p en partikulær løsning (prøv en funksjon av samme type som g).

Invertibel matrise teoremet: La A være en kvadratisk matrise. Følgende påstan- der er ekvivalente: i) detA 6= 0, ii) A er in- vertibel, iii)A~x=~bhar nøyaktig en løsning, iiii) Søylene iA er lineært uavhengige.

Determinant og invers av2×2-matrise:

a b

c d

= ad−bc a b

c d ₋1

= 1

ad−bc

d −b

−c a