Veterinærinstituttet

Para o desenvolvimento deste cap´ıtulo, ser˜ao utilizados os conceitos de avaliac¸˜ao e minimi- zac¸˜ao de riscos propostos em (Bouchaud, Potters; 14, 2003) para casos simples de contratos futuros. Estes contratos ocorrem atrav´es da compra ou venda de uma certa quantidade de ativos X (o ativo subjacente) com pagamento e entrega em um instante futuro T = N τ, sendo:

T - instante futuro definido por:

τ - intervalo de tempo m´ınimo (1 dia, 1 semana, 1 mˆes, etc); N - n´umero natural que identifica a data final do contrato futuro.

Qual o prec¸o F deste contrato, sabendo-se que este contrato deve ser pago no instante futuro T ?

Este prec¸o, segundo uma proposta inicial em (Bouchaud, Potters; 13, 2003), pode ser calculado dentro de uma condic¸˜ao de ``jogo justo'': o prec¸o deve ser ajustado de forma que, na m ´edia, as duas partes envolvidas apresentem o mesmo desempenho na data de maturidade T. Do ponto de vista do vendedor do contrato, o balanc¸o de ganhos associado ao contrato futuro pode ser expresso como:

∆WF _{= F − x(T ) ,} (9.1)

onde: ∆WF e a variac¸˜ao dos ganhos na data de maturidade T ; F ´e o prec¸o do contrato´ futuro e x(T ) ´e o valor do ativo subjacente X na data de maturidade T .

Dessa forma, a condic¸˜ao de ``jogo justo'' exige que h∆WFi = 0. Ent˜ao, o prec¸o justo do contrato ser´a:

FB _{= hx(T )i ≡}

Z

xP_{(x, T |x}0,0)dx (9.2)

sendo: hx(T)i o valor m´edio de X em T; P(x, N|x0,0) a probabilidade do prec¸o x em T quando em t = 0 e x = x0; FB o prec¸o do contrato de Bachelier.

O ´ındice B em F refere-se ao prec¸o de Bachelier, que fez esta proposta de precificac¸˜ao de contratos futuros no in´ıcio do s´eculo XX. Mas este c´alculo n˜ao ´e satisfat´orio, j´a que n˜ao

leva em conta o risco de que o prec¸o do ativo subjacente x(T ) esteja bem acima do valor de hx(T )i, o que faz com que o vendedor do contrato tenda a fixar o prec¸o F acima do prec¸o FB.

Atualmente, o prec¸o de Bachelier FB n˜ao ´e relacionado ao prec¸o de mercado por uma quest˜ao simples: o vendedor do contrato pode suprimir totalmente seu risco comprando no instante t = 0 o ativo subjacente X a um prec¸o x0 e guardando-o at´e a data de maturidade T. A este procedimento, conhecido como hedge, ser´a dado o nome ``estrat´egia de ancoragem''. Entretanto, esta estrat´egia ´e custosa: a quantidade de dinheiro ``congelado'' investido durante o per´ıodo do contrato pode n˜ao superar a taxa de juros livre de risco. Dessa forma, o custo desta estrat´egia ser´a x0.er_T, onde r ´e a taxa de juros livre de risco por unidade de tempo. Do ponto de vista do comprador, seria absurdo pagar mais que x0.erT, que ´e o custo do cr´edito em dinheiro necess´ario para pagar o ativo imediatamente. Assim, o ´unico prec¸o vi´avel para o contrato futuro ser´a F = x0.er_T

6= F B, que ´e um prec¸o completamente n˜ao correlacionado aos potenciais movimentos de X.

Um argumento elementar ent˜ao permite determinar o prec¸o do contrato futuro e pode-se seguir uma perfeita estrat ´egia de ancoragem: comprando-se uma quantidade φ = 1 por cada ativo subjacente, durante o per´ıodo inteiro do contrato. O objetivo seguinte ´e ent˜ao estabelecer este resultado trivial de uma forma mais sofisticada, para se precificar contratos futuros mais complexos como opc¸˜oes.

9.2.1 Balanc¸o financeiro geral

Para se escrever um balanc¸o financeiro geral que leve em conta a estrat´egia de ancoragem do ativo subjacente X, ser´a definida uma carteira com dois tipos de ativos: o ativo de risco X e um ativo B com retorno fixo e conhecido atrav´es de uma taxa de juros livre de risco. O capital total investido ser´a dividido ent˜ao entre esses dois ativos, de forma que o capital total em um instante t = nτ ´e definido por:

Wn= φnxn+ Bn, (9.3)

onde: φn ´e a quantidade do ativo X em t = nτ; xn ´e o prec¸o do ativo X em t = nτ; Bn ´e a quantidade de capital livre de risco em t = nτ.

que o ativo livre de risco rende a uma taxa de retorno determinada r. Dessa forma, tem-se que:

Wn+1_{− W}n= φn(xn+1− xn) + Bnρ , (9.4) com ρ = rτ.

Por outro lado, pode haver um fluxo de capital atrav´es da compra ou venda de ativos X, com recursos do ativo B livre de risco. Assim:

Bn+1_{− B}n= Bnρ− xn+1(φn+1− φn) . (9.5) Observe que a equac¸˜ao (9.3) ´e compat´ıvel com as equac¸˜oes (9.4) e (9.5). A soluc¸˜ao da equac¸˜ao (9.5) mostra que:

Bn = (1 + ρ)nB0− n

X

k=1

xk(φk_{− φk−1})(1 + ρ)n−k . (9.6) Incorporando este ´ultimo resultado `a equac¸˜ao (9.3), e renomeando k−1 → k na segunda parte da soma, obt´em-se que o resultado final de Wnser´a dado por:

Wn= W0(1 + ρ)n₊n−1X k=0

ψkn(xk+1− xk− ρxk) · · · (9.7) com ψn

k ≡ φk(1 + ρ)n−k−1.

Esta ´ultima express˜ao apresenta um significado intuitivo: o ganho ou perda incorridos entre o instante k e o instante k + 1 deve incluir o custo da estrat´egia de ancoragem −ρxk. Al´em disso, este ganho ou esta perda deve ser levado at´e o instante n atrav´es dos efeitos da taxa de juros livre de risco; por isso o fator extra (1 + ρ)n−k−1. Outra forma de se escrever a equac¸˜ao (9.7), ´e introduzindo o conceito de prec¸os descontados x′

k ≡ xk(1 + ρ)k. Assim, pode-se reescrever que:

Wn= (1 + ρ)n à W0+ n−1_X k=1 φk(˜xk+1_{− ˜x}k) ! . (9.8)

Assim, os prec¸os descontados x′

k passam a representar os prec¸os ``verdadeiros'', e a diferenc¸a x′

k+1− x′k a variac¸˜ao de ganhos real. O fator (1 + ρ)nent˜ao converte esta variac¸˜ao de ganhos real no valor corrente do dinheiro.

O balanc¸o geral de ganhos associado ao contrato futuro cont´em ainda mais dois outros termos: o prec¸o do contrato futuro F e o valor do ativo subjacente X na data de expirac¸˜ao do contrato. Obt´em-se ent˜ao:

Wn _{= F − x}N + (1 + ρ)N Ã W0 + N −1_X k=0 φk(˜xk+1_{− ˜x}k) ! . (9.9)

Como ˜x = PN −1

k=0(˜xk+1− ˜xk) + x0, esta ´ultima express˜ao pode ser reescrita da seguinte forma: WN = F + (1 + ρ)N Ã W0− x0+ N −1_X k=0 (φk_{− 1)(˜x}k+1− ˜xk) ! . (9.10)

9.2.2 Balanc¸o financeiro geral de opc¸˜oes

Como j´a discutido anteriormente, uma opc¸˜ao de compra ´e um contrato futuro aonde o vende- dor do contrato se compromete a vender, para o comprador do contrato, o ativo subjacente X por um prec¸o pr´e-determinado xS (chamado ``prec¸o de exerc´ıcio'') em um determinado instante futuro T = Nτ. Para isso, o comprador paga um prˆemio C ao vendedor do contrato para ter esse direito. Se no instante t = T o prec¸o de mercado do ativo subjacente X es- tiver maior que o prec¸o de exerc´ıcio pr´e-determinado, o comprador do contrato exerce seu direito, e realiza um lucro x(T ) − xS. Caso contr´ario, o comprador n˜ao realiza seu direito e tem como preju´ızo apenas o pagamento do prˆemio C no instante t = 0.

Seguindo a metodologia e as notac¸˜oes propostas no item 9.2.1 deste cap´ıtulo, pode-se escrever o balanc¸o geral de ganhos do vendedor da opc¸˜ao, na data de maturidade T = Nτ, de acordo com a equac¸˜ao (9.7). Para isso, basta somar ao balanc¸o o prˆemio C na data de in´ıcio do contrato e adicionar `a equac¸˜ao um membro que represente a eventual perda, descrita pelo termo max(xN − xS,0).

Assim obt´em-se que:

WN = [W0+ C](1 + ρ)N

− max(xN − xS,0) +

X

ψ_kN(xk+1_{− x}k− ρxk) . (9.11) De acordo com a equac¸˜ao anterior, ao vendedor do contrato somente ocorrer´a o preju´ızo xN_−xSse a opc¸˜ao for exercida. O termo max(xN−xS,0)significa ``escolher o m´aximo valor entre xN − xS ou 0 na data t = Nτ''.

Al´em disso, a estrat´egia de ancoragem ψN

k ≡ φk(1 + ρ)N −k−1 exige que o vendedor do contrato converta uma certa quantidade de ativos B livres de risco em ativos subjacentes X de risco diferente de zero.

Uma equac¸˜ao, para a determinac¸˜ao do valor ``justo'' do prˆemio C, pode ser obtida admi- tindo-se que o excesso de retorno devido ao contrato de opc¸˜ao, ∆W = WN − W0(1 + ρ)N,

na m´edia seja igual a zero: (1 + ρ)N_{C =} " hmax(xN − xS,0)i − N −1_X k=0 hψN k (xk+1− xk− ρxk)i # . (9.12)

O prec¸o C, dessa forma, depender´a da estrat´egia ψN

k ≡ φk(1 + ρ)N −k−1. Al´em disso, o procedimento inverso tamb´em ´e v´alido: fixado arbitrariamente um valor de C (dentro dos limites que viabilizem o neg´ocio), pode-se calcular a estrat´egia ψN

k ≡ φk(1 + ρ)N −k−1 que minimize o risco envolvido na operac¸˜ao.

9.2.3 Ancoragem est´atica

Conforme Bouchaud em (Bouchaud, Poters; 14, 2003), uma metodologia de an- coragem est´atica ´e proposta. A ancoragem est´atica se caracteriza pela compra de uma certa quantidade de ativos para ancoragem no instante t = 0, sendo que esta quantidade n˜ao se alterar´a at´e a data de expirac¸˜ao do contrato. Este caso pode acontecer quando os custos de transac¸˜ao forem extremamente elevados e, dessa maneira, a mudanc¸a da quanti- dade φk durante o per´ıodo do contrato torna-se invi´avel. Al´em disso, assume-se que a taxa de juros livre de risco seja nula (ρ = 0). O balanc¸o geral de ganhos, representado pela equac¸˜ao (9.12) ser´a ent˜ao:

∆W = C − max(xN − xS,0) + φ N −1_X

k=0

δxk . (9.13)

Para o caso em que o retorno m´edio ´e zero (h∆xki = 0) e que os incrementos sejam n˜ao- correlacionados (i.e, h∆xk.∆xk_{i = Dτ∆}k,l), a variˆancia do ganho final (R2 = h∆W2i−h∆W i2) fica ent˜ao:

R2 = N Dτ φ2_{− 2φh(x}N − xS)max(xN − xS,0)i + R2₀ , (9.14) onde R2

0 representa o risco intr´ınseco, associado `a opc¸˜ao n˜ao ancorada (φ = 0):

R2_{0 = hmax(x}N − xS,0)2i − hmax(x − xS,0)i2 . (9.15) De acordo com a equac¸˜ao (9.14), a func¸˜ao do risco a ser minimizada ´e uma equac¸˜ao do segundo grau em func¸˜ao de φ. Como o coeficiente que multiplica o termo φ2 e positivo,_´ ent˜ao esta func¸˜ao apresenta um valor m´ınimo. Para se calcular este valor m´ınimo, basta derivar a equac¸˜ao uma vez em relac¸˜ao a φ e igualar a express˜ao a zero. Realizando-se esta

operac¸˜ao, obt´em-se que: dR dφ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ φ=φ∗ = 0 , φ∗ ₌ 1 Dτ N Z _∞ xS (x − xS)(x − x0)P (x, N |x0,0)dx · · · (9.16) No caso em que a probabilidade P (x, N|x0,0) for uma Gaussiana (que se torna uma melhor aproximac¸˜ao `a medida que N = T /τ aumenta), pode-se escrever:

1 DT Z _∞ xS 1 √ 2πDT(x − xS)(x − x0)exp " −(x − x_2DT0) # dx = − Z _∞ xS 1 √ 2πDT(x − xS) ∂ ∂xexp " −(x − x0) 2 2DT # dx . (9.17)

Resolvendo esta integral por partes (demonstrada no apˆendice) obt´em-se que

φ∗ ₌

Z _∞

xS

P_{(x, N |x}0,0)dx ,

calculada no instante t = 0. Ou seja, a express˜ao de φ∗calculada em t = 0 fornece tamb´em a probabilidade de que o valor x(T ) seja maior que xS no instante T = Nτ da maturidade, no momento em que t = 0. Por exemplo, se para uma determinada opc¸˜ao de compra, envolvendo uma quantidade de 10 ativos de um mesmo tipo, o c´alculo de φ∗ fornecer um valor igual a 0,6 significa que deve-se ter mais 6 unidades do mesmo ativo para ancoragem de forma a minimizar eventuais perdas no instante da maturidade da opc¸˜ao.

In document Årsrapport 2015 - Primærnæringsinstituttene (sider 26-32)