Nofima AS

O momento exato de se iniciar um empreendimento que envolva uma fase inicial de pesquisa e desenvolvimento pode ser adiado at´e que se obtenha mais informac¸˜oes sobre perspectivas futuras de receita. Mesmo durante a fase inicial, investimentos podem ser cancelados em baixos n´ıveis de receita esperada. O valor do empreendimento mais a opc¸˜ao de crescimento requerem a avaliac¸˜ao de duas opc¸˜oes compostas. A opc¸˜ao da fase inicial ´e decidir realizar o investimento inicial ou esperar por mais informac¸˜oes. A opc¸˜ao da segunda fase envolve a decis˜ao da expans˜ao, uma vez que a fase inicial tenha se mostrado satisfat´oria. Nas

duas fases existem opc¸˜oes de sa´ıda quando as expectativas sobre o futuro n˜ao justifiquem investimentos adicionais. A fase inicial ser´a denominada como uma opc¸˜ao de investimento

inicial e a segunda fase de opc¸ ˜ao de crescimento ou opc¸ ˜ao de expans ˜ao.

O potencial de receita ser´a denotado por R1 para a fase inicial e R2 para a fase de expans˜ao. A quest˜ao ser´a qual valor potencial R1e suficiente para a entrada na primeira fase´ e qual potencial de receita R2 e suficiente para a fase de expans˜ao. O potencial de receita´ ´

e estimado atrav´es da equac¸˜ao do movimento browniano apresentado anteriormente. O movimento no valor da receita ´e caracterizado por: (1) a receita obtida em um certo instante de tempo; (2) sua taxa de crescimento e (3) sua volatilidade.

Para resolver o problema, ser´a considerado que a primeira fase j´a esteja conclu´ıda. Ent˜ao, a decis˜ao de se investir ou n˜ao o valor $I2 para a fase 2 de expans˜ao e operac¸˜ao do neg´ocio ter´a que ser tomada. Esta ´e a opc¸˜ao de crescimento. Para a precificac¸˜ao da opc¸˜ao de crescimento deve-se utilizar a soluc¸˜ao de entrada e sa´ıda do modelo da sec¸˜ao 6.6 com a soluc¸˜ao F2(R2) fornecida pelas equac¸˜oes (7.11) a (7.14). Note-se que o valor da opc¸˜ao de crescimento F2(R2)inclui a opc¸˜ao de sa´ıda do neg´ocio em n´ıveis baixos de receita.

Uma vez que a soluc¸˜ao da segunda fase esteja determinada, resta obter a soluc¸˜ao para o valor da opc¸˜ao de investimento inicial para a fase 1. Esta ´e a opc¸˜ao de entrar no mer- cado e investir sobre o per´ıodo inicial $K (fluxo de caixa negativo acumulado). No final da primeira fase, o investidor tem a opc¸˜ao de investir $I2 para a realizac¸˜ao da segunda fase. Durante a primeira fase, o empreendimento recebe fluxos de caixa l´ıquido negativo. Embora seja poss´ıvel interromper investimentos e reinici´a-los em momento posterior, a primeira fase requer um custo para ser completado igual a K(t).

De acordo com o modelo de Majd e Pindyck (1987) de ``tempo de construc¸˜ao'', seja a dinˆamica de K(t) dada por:

dK = −I1dt , (7.15)

sendo I1 a taxa de investimento que pode assumir valores no intervalo [0, Imax]. Esta espe- cificac¸˜ao ´e feita para permitir o desenvolvimento do aprendizado com o custo restante da primeira fase declinando com o investimento. Como mostrado anteriormente, a variac¸˜ao da

receita ´e

dR = αRdt + σRdz , (7.16)

associado ao fluxo de caixa livre Y = bR + a.

O valor da opc¸˜ao de investimento inicial ser´a representado pela func¸˜ao F1(R1, K). Este valor estar´a condicionado a uma pol´ıtica de investimentos ´otima durante a primeira fase. A pol´ıtica ´otima ser´a representada por I∗

1(R1, K). ´E mostrado na sec¸˜ao A.5 que I1∗ fornece uma soluc¸˜ao ``bang-bang'' com I1 igual a 0 ou Imax, dependendo se R1 < R∗

1 ou R1 ≥ R∗1. Na avaliac¸˜ao da opc¸˜ao de investimento inicial, o procedimento consiste em estabelecer uma carteira com opc¸˜ao de longo prazo para investimento inicial e n posic¸˜oes de R1 a curto prazo. O valor desta carteira ser´a F1(R1, K) − nR1, sendo que, em pequenos intervalos de tempo dt, a carteira apresentar´a uma variac¸˜ao dF1(R1, K) − ndR1. O n´umero n ser´a igual ao n´umero n∗que produz rendimentos para a carteira livres de risco. Seu retorno ser´a obtido pela variac¸˜ao no valor durante o per´ıodo dt menos a compensac¸˜ao requerida pelo comprador da posic¸˜ao de curto prazo, que ´e igual a (w − α)n∗_Rdt, e menos o fluxo de sa´ıda I1dt que ocorre enquanto o investimento acontece. Ao equacionar o retorno total da carteira ao retorno de risco zero, fica estabelecido que:

dF1− n∗dR1_{− (w − α)n}∗_R1dt − I1dt = rf_{(F1− n}∗_R1)dt (7.17)

A soluc¸˜ao desta equac¸˜ao precisa satisfazer certas condic¸˜oes:

1. Quando K = 0, a firma obt´em a opc¸˜ao de investir I2 e operar o empreendimento na segunda fase;

2. O valor da opc¸˜ao de investimento inicial ´e desprez´ıvel quando R1 = 0;

3. A equac¸˜ao (7.17) deve satisfazer outras condic¸˜oes t´ecnicas detalhadas na sec¸˜ao A.5.

´

E demonstrado na sec¸˜ao A.5 que a soluc¸˜ao da equac¸˜ao (7.17), quando R < R∗ e I = 0, apresenta a mesma forma da equac¸˜ao (7.6), ou seja, F1(R1, K) = A(K)Rν1

1 . De qualquer maneira, quando R1 > R∗

1 e I1 >0, a equac¸˜ao (7.17) ´e uma equac¸˜ao diferencial parcial de segunda ordem que n˜ao possui soluc¸˜ao exata e, portanto, precisa ser resolvida por m´etodos num´ericos.

Exemplo 7.6 Considere a firma do exemplo anterior:

R0 = $120milh˜oes (receita potencial esperada em t = 0)

α= 3, 922% (taxa de crescimento cont´ınua esperada da receita) σ = 12% (volatilidade da receita)

rf = 4% (taxa de juros livre de risco)

w= 7, 195% (custo m´edio ponderado de capital)

A1 = 0, 0055 (constante da soluc¸˜ao da opc¸˜ao de expans˜ao) λ1 = 2, 3836 (potˆencia de soluc¸˜ao da opc¸˜ao de expans˜ao)

Suponha que a entrada no empreendimento possa ser adiada, que o investimento possa ser parado a qualquer instante e reativado imediatamente. Resolvendo a equac¸˜ao (7.17) por m´etodos num´ericos, temos a seguinte tabela para a pol´ıtica ´otima de investimento, de acordo com os seguintes valores para K e Imax:

Opc¸ ˜ao de Investimento Inicial: Pol´ıtica ´Otima de Investimento

Caso 1: K = $190 milh˜oes (Investimento requerido). Imax = $60 milh˜oes (Taxa m´axima anual de investimento).

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R∗ Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R∗

190 290,4 34,2 144,4 175 278,7 30,4 138,6 157,7 267,5 28,5 133 142,5 256,7 24,7 127,7 129,2 246,4 22,8 122,5 115,9 236,5 20,9 117,6 104,5 226,95 19 112,8 95 217,8 17,1 108,3 85,5 209,1 15,2 103,9 77,9 200,6 13,3 99,8 70,3 192,54 11,4 91,9 62,7 184,8 9,5 84,6 57 177,35 7,6 78 51,3 170,2 5,7 68,9 45,6 163,3 3,8 58,5 41,8 156,8 1,9 43,85 38 150,5 0 19,3 *Valores em $milh˜oes

Caso 2: K = $110 milh˜oes e Imax= $40milh˜oes.

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R∗ Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R∗

110 213 22 111,1 102,3 205 19,8 106,9 92,4 197,3 18,7 102,9 83,6 189,9 16,5 99 75,9 182,8 15,4 95,3 69,3 175,9 14,3 91,8 62,7 169,3 12,1 88,3 57,2 162,9 11 85 51,7 156,8 9,9 78,7 47,3 150,9 8,8 75,8 42,9 145,3 7,7 72,9 39,6 139,8 6,6 67,5 35,2 134,6 5,5 62,5 33 129,5 4,4 57,9 29,7 124,6 3,3 49,7 26,4 119,9 2,2 42,6 24,2 115,4 1 31,4 *Valores em $milh˜oes

Caso 3: K = $80 milh˜oes e Imax = $50milh˜oes

Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R∗ Invest. Remanescente K Valor Cr´ıtico R∗

80 213 28,8 119,9 78,4 205 26,4 115,4 72,8 197,3 24,8 111,1 67,2 189,9 23,2 106,9 63,2 182,8 21,6 102,9 58,4 175,9 20 99 54,4 169,3 18,4 95,3 50,4 162,9 16,8 91,8 47,2 156,8 15,2 88,3 44 150,9 13,6 85 40,8 145,3 11,2 78,7 38,4 139,8 8 75,8 35,2 134,6 4,8 72,9 32,8 129,5 2,4 67,5 30,4 124,6 0,8 62,5 *Valores em $milh˜oes