Verktøy og metoder

A Teoria da Decis˜ao, relacionada `a Teoria dos Jogos, consiste em uma metodologia, com aplica¸c˜oes em economia, psicologia, filosofia, matem´atica, e estat´ıstica, por exemplo, para descrever com clareza e raciocinar sobre uma decis˜ao. Esta teoria divide uma decis˜ao qualquer em trˆes componentes fundamentais, segundo (HECKERMAN, 1995):

• O que se sabe : Diz respeito `as informa¸c˜oes que o tomador da decis˜ao acredita possuir, suas convic¸c˜oes.

• O que se deseja : Corresponde `as preferˆencias do tomador da decis˜ao.

• O que se pode fazer: Diz respeito `as alternativas de a¸c˜ao dadas ao tomador da decis˜ao.

Dentro desta teoria, usa-se o termo probabilidade para descrever as convic¸c˜oes de uma pessoa se v´arios eventos ir˜ao acontecer, ou n˜ao, e o termo utilidade para descrever as preferˆencias dessa pessoa por cada poss´ıvel consequˆencia dos eventos(HECKERMAN, 1995).

O desenvolvimento dos primeiros estudos de probabilidades, no s´eculo 17, foram fi- nanciados por apostadores de jogos de azar, que contrataram eminentes matem´aticos da ´epoca para calcular as probabilidades para certos jogos, cujos resultados dependem do acaso. Posteriormente, observou-se que processos cient´ıficos tamb´em podem depender do acaso e desde ent˜ao os m´etodos de probabilidades tˆem sido utilizados no estudo do mundo f´ısico, e o estudo das probabilidades tornou-se um extenso ramo da matem´atica. O estudo sistem´atico da probabilidade requer alguns pre-requisitos, tais como o conhecimento sobre a terminologia dos processos que a comp˜oe e que s˜ao descritos a seguir (NAVIDI, 2006):

• Experimento (ε) : Um experimento ´e um processo que produz um resultado, entre v´arios poss´ıveis, que n˜ao pode ser predito com certeza. No caso deste estudo, a classifica¸c˜ao de um batimento card´ıaco ´e um exemplo de um experimento. Como tamb´em o s˜ao os lan¸camentos de moedas e lan¸camentos de dados.

• Espa¸co Amostral (S): O conjunto de todos os poss´ıveis resultados de um expe- rimento ε ´e chamado de espa¸co amostral S. No exemplo deste estudo, o espa¸co amostral consiste no conjunto de todas as classes de batimentos card´ıacos, iden- tific´aveis ou n˜ao. No exemplo das moedas, o espa¸co amostral resume-se a S = {Cara,Coroa} e para os dados, S = {1,2,3,4,5,6}

• Evento : Um evento A, relativo a um particular espa¸co amostral S, associado a um experimento ε, ´e um conjunto de resultados poss´ıveis. Ou seja, um subconjunto de S. Qualquer resultado individual, mesmo um resultado nulo, tamb´em pode ser considerado um evento (MAYER, 1983). Por exemplo, se o resultado de um

lan¸camento de dado ´e o numero 2, ent˜ao os eventos {2,4,6} e {1,2,3} ocorreram, assim como qualquer outro evento que contenha o n´umero 2 (HECKERMAN, 1995).

Os eventos podem ser classificados como dependentes ou independentes, entre si. A independˆencia entre eventos significa, intuitivamente, que a ocorrˆencia de um evento n˜ao torna mais ou menos prov´avel que o segundo evento ocorra. Por exemplo, os eventos de obter como resultado um 6 no primeiro lan¸camento de um dado e de obter novamente 6 em um segundo lan¸camento s˜ao eventos independentes(MAYER, 1983).

Existem diversas interpreta¸c˜oes para probabilidade. Uma delas, chamada frequentista, define como probabilidade P, a propor¸c˜ao de vezes que um evento A ocorre em uma longa s´erie, possivelmente infinita, de experimentos ε, identicamente repetidos. A express˜ao P(A) denota a probabilidade que o evento A ocorra(NAVIDI, 2006). Portanto, em uma interpreta¸c˜ao frequentista, dizer que o evento A tem probabilidade de 0.5 significa que o limite da raz˜ao entre n´umero de eventos de A e o n´umero de experimentos ´e 0.5, quando o numero de experimentos tende ao infinito (SPIEGELHALTER; ABRAMS; MILES, 2004). Uma

outra perspectiva, chamada subjetiva, na qual se baseia a probabilidade Bayesiana, ser´a discutida mais adiante, no estudo dos m´etodos Bayesianos. Uma completa representa¸c˜ao dos componentes de um modelo probabil´ıstico ´e mostrado na figura 18.

Figura 18: Representa¸c˜ao dos componentes de um modelo probabil´ıstico. Adaptado de (BERTSEKAS; TSITSIKLIS, 2000).

As perspectivas frequentistas e bayesianas, entretanto, convergem quando se trata das regras de senso comum em que se baseiam a probabilidade. Elas s˜ao definidas em trˆes axiomas e est˜ao assim enumeradas e comentadas (NAVIDI, 2006):

1. Seja S o espa¸co amostral. Ent˜ao P(S) = 1. 2. Para qualquer evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1

3. Se A e B s˜ao eventos mutuamente exclusivos e, portanto, independentes, ent˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

O primeiro axioma diz que o resultado de um experimento est´a sempre contido no espa¸co amostral. O que ´e evidente, uma vez que o espa¸co amostral cont´em todos os re- sultados do experimento. O segundo axioma indica que uma infinita frequˆencia de um evento est´a sempre entre 0 (evento imposs´ıvel de acontecer) e 100% ( total certeza de ocorrˆencia do evento). O terceiro axioma pode ser ilustrado com um exemplo. Seja a pro- babilidade de dois eventos quaisquer P(A) = 0.02 e P(B) = 0.03, ent˜ao a probabilidade que o resultado deste experimento seja A ou B ´e 0.03 + 0.02 = 0.05(NAVIDI, 2006).

Uma vez definidos os conceitos de probabilidades, pode-se, a seguir, discutir algumas de suas caracter´ısticas.

Como foi mostrado, um espa¸co amostral cont´em todos os poss´ıveis resultados de um experimento. Entretanto, pode ser necess´ario obter mais informa¸c˜oes de um experimento cujo resultado vem de apenas uma parte do espa¸co amostral. A probabilidade que ´e baseada em apenas uma parte do espa¸co amostral ´e chamada probabilidade condicio- nal (NAVIDI, 2006). Este conceito pode ser representado graficamente, usando diagramas de Venn, como na figura 19.

Figura 19: Em (a) o diagrama representa a probabilidade incondicional P(A). Em (b) o diagrama representa a probabilidade condicional de A dado que B ocorra, P(A|B). Adaptado de (NAVIDI, 2006).

Na figura (a), P(A) ´e representada considerando o evento A em propor¸c˜ao ao completo espa¸co amostral, delimitado pelo retˆangulo. Em (b) o diagrama representa a probabilidade condicional P(A|B). Uma vez que ´e certeza que o evento B ocorreu, ele ent˜ao se torna o espa¸co amostral dispon´ıvel para A. Para que A ocorra o resultado deve, necessariamente, estar na intersec¸c˜ao A ∩ B. Portanto sejam os eventos A e B, sendo P(B) 6= 0. A probabilidade condicional de que o evento A ocorra, dado que B j´a ocorreu, expresso por

P(A|B), conforme em (MAYER, 1983), ´e dado ela equa¸c˜ao (3.14):

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B) (3.14)