Variables

As ferramentas tecnológicas usadas na sala de aula medeiam a aprendizagem que ocorre, bem como as atividades cognitivas em que os alunos se envolvem, podendo mudar a natureza das oportunidades para as atividades matemáticas de conceptualização, representação, generalização, trabalho simbólico e modelação (Heid & Blume, 2008). A Figura 36 pretende ilustrar os modos como a tecnologia afeta o ensino e a aprendizagem da matemática.

A calculadora gráfica permite uma abordagem às funções onde se pode colocar muito mais ênfase nos gráficos e na sua interpretação, tanto para ajudar os alunos a compreender ideias chave (função, classes de funções, transformações de funções), como para resolver problemas algébricos (tais como equações, inequações), pois a facilidade com que a calculadora constrói representações gráficas permite que os alunos possam concentrar-se no significado inerente aos gráficos, em vez de se concentrarem nos aspetos mecânicos da sua construção (Kissane, 1995).

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Figura 36 – Modos como a tecnologia afeta o ensino e aprendizagem da matemática. (Adaptado de Heid & Blume, 2008, p. 59)

Embora seja importante que os alunos compreendam os procedimentos para representar um gráfico (Ocak, 2008), a partir de dada altura já não é a construção do gráfico em si que importa salientar, mas a informação que dele pode ser retirada, ou a importância do estabelecimento de conexões entre representações de modo a identificar a forma da representação gráfica de determinada função. Uma das desvantagens apontada às calculadoras gráficas diz respeito à dificuldade que alguns alunos evidenciam quando pretendem representar, com papel e lápis, o gráfico de uma função, limitando-se a “copiar” o que visualizam no ecrã da máquina, não dando, muitas vezes, atenção à diferença de “escala” entre os dois eixos, nalgumas janelas de visualização, nem ao fato de o que visualizam poder ser uma vista parcial ou não ser sequer representativo da função em questão (Berry & Graham, 2005; Cavanagh & Mitchelmore, 2003). Contudo, essa dificuldade pode ser aproveitada para reforçar tanto os esquemas de utilização referentes ao artefacto, como a ligação entre as representações algébrica, gráfica e eventualmente numérica, e consequentemente a compreensão conceptual. Claro que, neste âmbito, o professor desempenha um papel essencial, como salienta Rivera (2007), ou seja, o ensino num ambiente com a calculadora gráfica terá que responder a questões que provavelmente não se colocariam num ambiente sem a calculadora. Por exemplo, tal como Cavanagh e Mitchelmore

Tecnologia (Como influência da génese instrumental) Atividade Matemática Tarefas Ensino Desenvolvimento de conceitos, procedimentos e capacidades Conceptualização Generalização Representação Trabalhar com símbolos

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(2003) salientam, professores e alunos têm que lidar com escalas diferentes, vistas parciais e coordenadas irracionais.

A calculadora gráfica proporciona ao aluno oportunidade para explorar funções de diferentes modos antes de ter conhecimentos matemáticos suficientes para efetuar o estudo analítico, fornecendo-lhe assim um conhecimento intuitivo que servirá de base para uma compreensão mais formal. Permite, ainda, que se trabalhe com um maior número de funções, provenientes do contexto de resolução de problemas aplicados, em que diversas características (zeros, extremos) não podem ser determinadas de forma exata (DES, 2001). Ou seja, a própria natureza das tarefas também é alterada num ambiente em que a calculadora gráfica está presente, transformando a atividade matemática do aluno. O design das tarefas matemáticas a aplicar em ambientes em que a calculadora gráfica está presente é muito importante, já que existem tarefas que permitem colocar em destaque a compreensão instrumental e matemática (Trouche & Drijvers, 2010)

Para a compreensão do conceito de função é essencial que os alunos desenvolvam uma visão estrutural do conceito (Sfard, 1991), e a calculadora gráfica possibilita que as funções sejam manipuladas como objetos, ou seja, podem ser tratadas como entidades matemáticas manipuláveis, favorecendo o desenvolvimento conceptual (Heid & Blume, 2008). Além disso, faculta um rápido acesso a várias das representações de uma função (simbólica, gráfica e numérica), oferecendo o reforço das oportunidades de trabalhar com múltiplas representações externas, o que por um lado facilita a compreensão do conceito e, por outro lado, contribui para a utilização flexível e adaptável de estratégias e representações (Heinze et al., 2009). O esquema da Figura 37 pretende ilustrar os tipos de conversão de representações permitidos pela calculadora, considerando a possibilidade de estender o artefacto com sensores.

Essas representações podem mediar a perceção de diferentes facetas do objeto matemático que está a ser representado. Podem, também, suportar as atividades de generalização, já que os alunos conseguem observar um largo número de exemplos simbólicos, gráficos e numéricos, o que facilita a procura de padrões e o desenvolvimento de generalizações (Heid & Blume, 2008).

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Figura 37 – Conversões representacionais permitidas pela calculadora gráfica.

Como referem Doorman, Drijvers, Dekker, Heuvel-Panhuizen, Lange e Wijers (2007), graças ao seu feedback direto, a calculadora gráfica oferece oportunidades para a realização de tarefas de exploração, antes de os alunos estarem familiarizados com os conceitos ou teoremas:

As atividades de classificação e registo podem conduzir a descobertas que, em seguida, através da reflexão e generalização, resultam em interessantes teoremas matemáticos. Isto contrasta com o método tradicional, em que as definições e teoremas são apresentados no início da aprendizagem, na expectativa de que a compreensão seja adquirida através da aplicação repetida. (p. 416)

Existem vários estudos sobre o impacto da calculadora gráfica no processo de aprendizagem das funções. O’Callaghan (1998), citado em Hollar e Norwood (1999), examinou os efeitos do uso da calculadora gráfica na compreensão do conceito de função, comparando os resultados obtidos num teste, por alunos que frequentaram um curso semestral de computer-intensive algebra (CIA), e alunos que seguiram um currículo tradicional de álgebra. O teste foi resolvido sem recurso à calculadora gráfica e cada questão foi concebida para avaliar um dos seguintes aspetos conceptuais do conceito de função: (i) modelação de uma situação de contexto real usando uma função; (ii) interpretação de uma função em termos de uma situação realista; (iii) conversão de diferentes representações de uma função; e (iv) reificação do conceito. Os resultados mostraram que os estudantes CIA compreenderam melhor o conceito global de função, tiveram um melhor desempenho nas componentes de modelação, interpretação e conversão de diferentes representações de uma função, além de que mostraram uma

Simbólica Física Gráfica Numérica Graph Table Trace, List Scatterplot Regression CBL, CBR CBL, CBR

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melhoria significativa na sua atitude perante a matemática mas, não foram encontradas diferenças significativas na reificação do conceito de função.

Hollar e Norwood (1999) realizaram uma investigação com o objetivo de estender o estudo de O’Callaghan, usando o mesmo quadro teórico, no sentido de investigar os resultados de um currículo com ênfase numa abordagem gráfica, recorrendo à calculadora gráfica. Participaram no estudo duas turmas experimentais e duas de controlo. Os autores concluíram que os alunos do grupo experimental mostraram-se mais confortáveis, do que os do grupo de controlo, a trabalhar com dados e situações inseridos em contextos reais. Além disso, conseguiram examinar as funções de diferentes perspetivas, o que lhes garantiu um melhor desempenho em questões de interpretação e conversão de representações, sendo estes resultados consistentes com os de O’Callaghan. No que diz respeito à componente da reificação, contrariamente ao estudo de O’Callaghan, os autores encontraram diferenças significativas nos dois grupos. Contudo, nessa componente os resultados médios dos alunos (em ambos os grupos) foram dos mais baixos, o que ilustra a dificuldade do processo de reificação (Sfard, 1991). Relativamente às capacidades algébricas tradicionais Hollar e Norwood não encontraram diferenças significativas de desempenho nos dois grupos, o mesmo acontecendo na atitude dos alunos em relação à matemática. Quesada e Maxwell (1994), no entanto, encontraram diferenças ao nível da motivação dos alunos. A abordagem permitida pela calculadora e a possibilidade de confirmarem as suas respostas, parece ter aumentado a motivação dos alunos. No estudo de Hennessy, Fung e Scanlon (2001) também é evidente que a calculadora gráfica contribuiu para uma atitude positiva em relação à matemática, com 85% dos alunos a referir que a matemática com a calculadora gráfica se torna mais agradável e 78% a afirmar que se torna mais fácil.

Também Ruthven (1990) refere que a calculadora gráfica pode reduzir a incerteza e diminuir a ansiedade, aumentando tanto a competência dos alunos em tarefas de simbolização como a sua confiança. O seu estudo envolveu questões de conversão da representação gráfica na simbólica (simbolização) e questões de interpretação verbal a partir de gráficos contextualizados. Os resultados mostraram que os alunos do grupo experimental obtiveram melhores resultados que os do grupo de comparação nas questões de simbolização, mas não nas questões de interpretação. Para o autor, o facto de a calculadora gráfica ser usada durante um longo período de tempo facilita a destreza no reconhecimento de formas gráficas, relacionando-as com formas algébricas

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apropriadas. Mas, acima de tudo, o facto de a calculadora estar disponível aumenta a informação qualitativa disponível, facilitando a confirmação de uma solução obtida através de uma abordagem analítica ou permitindo uma abordagem gráfica. McCulloch e Keene (2013) concluíram também que o facto de os alunos terem um instrumento que lhes permite confirmar o seu trabalho é importante, uma vez que estes se mostram mais confiantes em situações de stress, como os exames. Além disso, os autores salientam que, para além de a calculadora gráfica lhes permitir confirmar se a solução está correta, também lhes permite usar diferentes representações para o fazer. Hunter (2011) refere que, apesar das várias representações disponíveis, nenhum dos alunos do seu estudo se referiu à funcionalidade Table, mas os resultados mostram que os alunos do grupo experimental, que tiveram acesso à calculadora gráfica durante a instrução e avaliação, obtiveram resultados significativamente melhores do que os alunos do grupo de controlo, revelando melhores capacidades de raciocínio, essencialmente ao nível da iniciação de uma estratégia e monitorização do processo.

Hall (1993), citado em Kieran (2007), comparou quatro turmas experimentais com quatro turmas de controlo, em três semanas de estudo das funções trigonométricas, e concluiu que o uso das calculadoras gráficas não teve um impacto significativo na aprendizagem dos alunos. Embora o resultado deste estudo pareça entrar em contradição com os resultados anteriores é de salientar que ele decorreu apenas durante três semanas. Outro estudo, conduzido por Harskamp, Suhre e Streun (2000), mostrou que os efeitos da calculadora gráfica na aprendizagem das funções foram mais significativos nos alunos que a usaram todo o ano do que os que a usaram por apenas dois meses. Estas pesquisas indicam que o tempo é uma variável a ter em conta quando se pretende avaliar o impacto do uso da calculadora gráfica na aprendizagem das funções. Contudo, os resultados positivos parecem restringir-se aos alunos mais fracos (Harskamp et al., 2000). Existem evidências, noutras investigações, de que os alunos mais fracos beneficiam mais com o acesso à calculadora gráfica do que os restantes (Burrill, Allison, Breaux, Kastberg, Leatham & Sanchez, 2002; Hunter, 2011). Almeida e Oliveira (2009) concluíram que os alunos, assim que desenvolvem esquemas de compreensão algébrica, dão-lhes primazia relativamente aos esquemas instrumentais, sendo estes utilizados, quase exclusivamente, para confirmação ou em situações em que são pedidos explicitamente. As autoras consideram que esse comportamento pode ser uma consequência do nível de desempenho dos alunos que, no caso, era elevado.

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Relativamente a estratégias utilizadas pelos alunos em ambientes com ou sem a calculadora gráfica, Harskamp et al. (2000) compararam as estratégias (heurísticas, gráficas, algorítmicas ou sem solução) utilizadas pelos alunos do grupo experimental e de controlo ao resolveram problemas envolvendo funções, e concluíram que não existiram diferenças significativas ao nível das estratégias heurísticas e algorítmicas, não havendo evidências de a calculadora gráfica conduzir ao uso de mais estratégicas heurísticas ou à redução do número de estratégias algorítmicas. Porém, houve diferenças significativas ao nível do uso de estratégias gráficas, com os alunos do grupo experimental a usarem-nas três vezes mais do que os do grupo de controlo. Também houve diferenças na tentativa de encontrar uma solução, com os alunos do grupo de controlo a falharem duas vezes mais do que os alunos do grupo experimental.

Abu-Naja (2008) estudou o contributo das calculadoras gráficas na compreensão do conceito de família de funções. O estudo envolveu um grupo experimental de 95 alunos que trabalhou com recurso à calculadora gráfica os seguintes tópicos: famílias de funções afim e quadrática, propriedades características de famílias de funções e padrões algébricos exibidos por famílias de funções; e um grupo de controlo de 89 alunos que trabalhou exatamente os mesmos tópicos em termos tradicionais, sem recurso à calculadora gráfica. Os resultados mostraram diferenças significativas entre os dois grupos, particularmente nos itens que requeriam inferência matemática, tais como, encontrar a propriedade característica de famílias de funções, encontrar exemplos de funções que exibissem uma dada propriedade e encontrar a forma algébrica geral de famílias de funções com uma dada característica comum, sendo o nível de sucesso nessas questões superior no grupo experimental. Curiosamente, o grupo experimental manifestou pior desempenho na questão que requeria a representação gráfica de famílias de funções, exibindo 56% de respostas erradas, pois os alunos limitaram-se a copiar a forma geral observada no visor das calculadoras mas não consideraram a escala. Este problema de os alunos negligenciarem as escalas quando usam calculadoras gráficas é recorrente em vários estudos (Berry & Graham, 2005). Contudo, considerando os resultados obtidos nas várias categorias de análise, o estudo mostrou que a percentagem de alunos que exibiu pensamento significativo, ou seja, que conseguiu resolver os problemas que exigiam pensamento e compreensão matemáticos, foi muito mais elevada no grupo experimental, o que demonstra que as calculadoras gráficas desempenharam um papel importante na aprendizagem do conceito de famílias de

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funções. O autor pôde ainda constatar que ambos os grupos evidenciaram pensamento pseudoconceptual e pseudo-analítico, no entanto, tal foi mais significativo no grupo de controlo que, devido ao “seu conhecimento incompleto e não consolidado, inventou teoremas incorretos e leis com vista a responder às questões” (p. 200).

Num estudo realizado por Bardini, Pierce e Stacey (2004) foi analisado o ensino da função afim, através de uma abordagem em que os conceitos eram desenvolvidos a partir de uma série de problemas baseados em contextos da vida real, recorrendo à calculadora gráfica. Apesar de ter sido necessário um considerável investimento de tempo e esforço para que os alunos aprendessem a utilizar a calculadora gráfica, esta proporcionou-lhes um importante apoio na exploração dos problemas e, como referem os autores, as capacidades que foram adquiridas, relativamente à utilização da calculadora, podem ser consolidadas e aplicadas em tópicos futuros. A calculadora teve também alguma influência no modo como os alunos perceberam e usaram as letras, notando-se progressos em direção a uma escrita mais convencional de expressões algébricas e no desenvolvimento do sentido do símbolo.

Davis (2007) realizou um estudo para determinar como é que os contextos reais, as múltiplas representações e uma introdução formal mais tardia da terminologia matemática influenciavam a compreensão dos alunos acerca do conceito de ordenada na origem (função afim) e a sua capacidade para o usar. Os alunos desenvolveram a sua própria terminologia (início, ponto de partida), estando essa terminologia bastante ligada à temporalidade implícita ou explícita dos contextos das tarefas, no entanto, nem sempre era usada pelos alunos no sentido de ordenada na origem. Por exemplo, o termo “início” era utilizado numa tabela com um significado diferente do usado em gráficos, equações ou contextos reais. No caso das tabelas, o termo “início” era usado pelos alunos para representar ou o primeiro valor da variável independente inscrito na tabela ou qualquer valor da variável independente. Esta ligação entre o termo “início” e um certo valor da variável independente era fortalecido quando os alunos usavam calculadoras gráficas, pois o primeiro valor da coluna mostrada na tabela correspondia ao valor da variável independente onde os alunos queriam começar (“tblstart”). Este estudo vem reforçar a necessidade da negociação de significados (Ponte, Boavida, Graça & Abrantes, 1997), caso contrário, alunos e professores podem estar a usar a mesma linguagem mas fazendo interpretações diferentes.

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Apesar de vários estudos indicarem que as imagens visuais podem contribuir para a compreensão conceptual dos alunos, Aspinwall, Shaw e Presmeg (1997) alertam para a necessidade dos educadores matemáticos estarem conscientes que alguns alunos têm dificuldades na resolução de problemas devido a “imagens incontroláveis” associadas a representações gráficas. O autor realizou um estudo de caso com o objetivo de compreender o papel que as imagens desempenham na aprendizagem, em particular, em termos da representação gráfica entre uma função e a sua derivada. O participante neste estudo demonstrou capacidade para aplicar regras de derivação em várias situações. Contudo, quando lhe foi apresentada uma parábola e lhe foi pedido para esboçar o gráfico da derivada, o aluno esboçou um gráfico semelhante ao da função

3 x

y . Durante a entrevista, o investigador compreendeu que o aluno via o gráfico dado como se este tivesse assíntotas verticais, não demonstrando ter feito conversão da representação gráfica na simbólica. Quando o entrevistador questionou o aluno se a representação gráfica poderia ser da função y  x2, e este efetuou o cálculo símbolo da derivada, surgiu uma situação de conflito: “surpreende-me, não deveria ser uma linha reta” (p. 311). O problema era causado pela imagem visual que o aluno não conseguia controlar e a que acabou por chamar “ilusão ótica”. O aluno só mostrou ter “algum controlo sobre a imagem” alguns dias depois, compreendendo que não via todo o gráfico, fazendo uma analogia com um penhasco. Esta situação exemplifica as limitações de uma imagem concreta (uma imagem que pode ser graficamente inscrita numa página) e, ao mesmo tempo, mostra como as múltiplas representações podem contribuir para o esclarecimento de equívocos que por vezes estão fortemente enraizados. Embora os autores alertem para o facto de que estas “imagens incontroláveis” se possam formar como consequência de um ensino que enfatiza uma abordagem gráfica ou o uso de tecnologias gráficas, penso que a utilização da calculadora gráfica poderá ajudar a controlar tais imagens dada a facilidade com que é possível fazer vários zooms, observando os seus efeitos em termos gráficos e numéricos. A relação entre aspetos algébricos e geométricos de uma função pode provocar algumas situações de conflito mesmo para matemáticos. Zaslavsky, Sela e Leron (2002) mostram como uma simples tarefa provou ser “inquietante para os participantes e gerou considerável excitação, confusão e desacordo” (p. 122). Participaram no estudo alunos do 11.º ano, futuros professores e professores de matemática do secundário, educadores matemáticos (alunos graduados que se encontram a fazer teses em educação

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matemática) e matemáticos, num total de 124 pessoas. Os participantes responderam a três questões, relacionadas com o declive da função linear f x( )x, com o ângulo entre o gráfico de f e o semieixo positivo Ox e com a tangente desse ângulo, em duas tarefas onde apenas mudava a escala do sistema de eixos coordenados onde a função f se encontrava representada graficamente. Na tarefa 1 era usada a mesma unidade de medida nos dois eixos (sistema de coordenadas monométrico) e na tarefa 2 as unidades de medida eram diferentes. A tarefa 1 foi respondida do mesmo modo por todos os participantes, contudo, as respostas dadas na tarefa 2 geraram quatro perspetivas de declive: duas perspetivas díspares que os autores denominaram de “analítica” e “visual” e duas combinações destas, que foram predominantes. Na perspetiva analítica o declive é considerado uma propriedade da função (afim) mantendo-se invariante em sistemas não monométricos e pode ser calculado através da derivada, da taxa média de variação ou do coeficiente do termo em x na equação ymxb. Em contraste, na perspetiva visual, o declive é considerado uma propriedade do gráfico da função, variando com a mudança de escala em sistemas não monométricos, e podendo ser calculado a partir da tangente do ângulo formado entre a reta que representa a função e o eixo Ox, ou através do quociente dos comprimentos dos segmentos. Cerca de quarenta e um por cento dos