A abordagem instrumental “reflete velhas ideias” (Drijvers & Trouche, 2008, p. 375) desenvolvidas por Vygotsky, entre outros, que foram, principalmente, apropriadas pelos investigadores franceses, em pesquisas no campo da didática da matemática, envolvendo ambientes de aprendizagem onde se privilegiava o uso de tecnologias. Tal abordagem permite compreender a complexidade do uso de ferramentas na educação matemática e os obstáculos e oportunidades que surgem durante a génese instrumental (Drijvers & Trouche, From artifacts to instruments: A theoretical framework behind the orchestra metaphor, 2008).
Para se compreender o processo de instrumentação é necessário estudar os constrangimentos e possibilidades do artefacto. No caso de ambientes de aprendizagem computarizados (CLE), esses constrangimentos estão relacionados com a transposição computacional, ou seja, o sujeito tem que representar simbolicamente o conhecimento e implementar a representação no sistema computacional (Trouche, 2004). Guin e Trouche (2002), referidos em Trouche (2004) fizeram a distinção entre três tipos de constrangimentos: (i) constrangimentos internos, intrinsecamente ligados ao hardware; (ii) constrangimentos de comandos, relacionados com a existência e forma sintática dos vários comandos; e (iii) constrangimentos de organização, relacionados com a organização do teclado e facilidade de uso do artefacto pelo utilizador.
40
Trouche (2004) salienta que os constrangimentos do artefacto podem contribuir para a construção de esquemas de utilização específicos. Para o autor, a organização da calculadora gráfica favorece o estudo gráfico de funções, uma vez que, para a maioria das máquinas, as teclas que permitem o estudo numérico das funções encontram-se “debaixo” das teclas que possibilitam o estudo gráfico.
Relativamente à calculadora gráfica, um constrangimento interno bastante conhecido, prende-se com o modo como é feita a representação gráfica de uma função (Consciência, 2003). Uma vez que tal representação está totalmente dependente da janela de visualização os alunos necessitam de desenvolver esquemas de enquadramento específicos, de modo a enfrentarem eficientemente tal fenómeno, o que está longe de ser um processo imediato e espontâneo como provam vários estudos (Artigue, 2002a, 2002b; Cavanagh & Mitchelmore, 2003; Rivera, 2007).
Drijvers (2000) realizou um estudo que pretendia responder à seguinte questão de investigação: “Quais são os obstáculos que os alunos encontram enquanto trabalham com uma calculadora simbólica?” (p. 195). A partir da análise da experiência dos alunos enquanto trabalhavam com a TI-92 foram identificados cinco obstáculos: (1) diferença entre a representação algébrica fornecida pela CAS e a que os alunos concebem como “mais simples”; (2) diferença entre cálculos algébricos e numéricos e o modo implícito como a CAS lida com essa diferença; (3) limitações da CAS e a dificuldade em providenciar estratégias para ultrapassar essas limitações; (4) incapacidade para decidir quando e como é que a CAS pode ser útil; (5) flexibilidade nos conceitos de parâmetro e variável que requer o uso da CAS. Podemos identificar nestes cinco obstáculos os constrangimentos a que Trouche se refere, e que provêm da componente tecnológica própria da máquina, no entanto, para que se possa lidar adequadamente com eles é necessário a compreensão matemática. Os obstáculos que os alunos encontram durante o processo de instrumentação oferecem oportunidades de aprendizagem pois, como mostra o estudo de Drijvers (2000), aos aspetos técnicos estão também, muitas vezes, associados aspetos conceptuais. Esses aspetos técnicos e conceptuais interferem uns com os outros e “co-desenvolvem-se” (Drijvers & Trouche, From artifacts to instruments: A theoretical framework behind the orchestra metaphor, 2008, p. 373) durante a génese instrumental.
41
A complexidade da génese instrumental
2.5.1.
Os instrumentos não são isolados, constituem-se em sistemas de instrumentos. Rabardel (1999) refere que a constituição dos sistemas de instrumentos é função das tarefas e dos contextos mas também, no caso da matemática, da relação que o sujeito tem com esta. Artigue (2002b) faz referência à “inesperada complexidade da génese instrumental” (pág. 252). Por um lado, de acordo com as suas características, os alunos desenvolvem diferentes relações com a tecnologia, por outro lado, têm usualmente ao seu dispor vários artefactos (papel e lápis, régua, compasso, transferidor, calculadora) que podem ser transformados em instrumentos, de acordo com várias tarefas, e a articulação desses instrumentos nem sempre é um empreendimento fácil. Como referem Kieran e Drijvers (2006), muitas vezes não é claro para os alunos como podem compatibilizar o uso das ferramentas tecnológicas com as exigidas capacidades com lápis e papel.
Guin e Trouche (1999) descrevem uma experiência de instrumentação realizada com duas turmas providas de calculadoras simbólicas (TI-92). Os resultados da experiência mostraram que, em ambientes educacionais onde a calculadora gráfica (ou simbólica) se encontra disponível, podem distinguir-se duas fases no processo da génese instrumental. Numa primeira fase dá-se a descoberta dos vários comandos, dos seus efeitos e da sua organização. Essa fase é caracterizada por uma dependência muito forte da máquina em detrimento de outras fontes de informação disponíveis (ver Figura 13). Nessa primeira fase os alunos efetuaram um trabalho associado a um amplo uso dos vários comandos disponíveis, no entanto, as observações mostraram que raramente se referiam a ferramentas de compreensão, apesar de revelarem um primeiro nível de instrumentação com uma diversidade de técnicas e de estratégias. Quando os comandos começaram a ganhar significado matemático, os alunos passaram a focar a sua atenção num número limitado, tendo essa segunda fase sido caracterizada por uma atitude de desbaste relativamente às técnicas e estratégias da primeira fase. Essa segunda fase ocorreu simultaneamente com a progressiva consciencialização das potencialidades e constrangimentos do uso da calculadora e com uma decrescente confiança nos resultados por ela obtidos. Os alunos passaram a organizar as suas ações de acordo com um número restrito de comandos que, conscientemente, coordenavam uns com os outros e também com outras ferramentas de informação por meio do que os autores
42
denominaram ferramentas de compreensão. O controlo do processo pelos alunos caracteriza-se por uma atitude consciente de considerar toda a informação imediatamente disponível, obtida quer pela calculadora, quer por outras fontes, e pela procura de consistência matemática entre ela, ou seja, caracteriza-se pela propensão para escolher as estratégias relevantes e evitar as irrelevantes (Guin & Trouche, 1999).
Figura 13 – Cálculo num ambiente com calculadora gráfica. (Adaptado de Guin & Trouche, 1999, p. 216)
Os autores consideram que o perfil de comportamento matemático dos alunos determinará quanto tempo é que será necessário para ultrapassar este primeiro nível, mesmo que as situações de aprendizagem tenham sido organizadas pelo professor nesse sentido. A partir da observação dos alunos ao utilizarem a calculadora gráfica, definiram cinco perfis: (i) método de trabalho aleatório – caracterizado por dificuldades similares, quer num ambiente em que a calculadora está presente, quer em ambiente tradicional com papel e lápis; os alunos realizam as tarefas através do uso de estratégias de soluções anteriormente memorizadas ou de generalizações precipitadas; o controlo do processo é bastante fraco e é revelado por procedimentos de tentativa e erro com poucas referências a ferramentas de compreensão e sem estratégias de verificação dos resultados obtidos pela máquina; (ii) método de trabalho mecânico – caracterizado por fontes de informação mais ou menos restritas a pesquisas com a calculadora e a simples
Ferramentas de Compreensão Interpretação semântica Comparação/coordenação Investigação Inferência Controlo do processo Ferramentas de Informação Conhecimento teórico Cálculo manual Colega Calculadora
43
manipulações, mas sendo o raciocínio baseado na acumulação de resultados consistentes provenientes da calculadora; o controlo do processo permanece bastante fraco com poucas referências matemáticas; (iii) método de trabalho engenhoso – caracterizado por uma exploração de todas as fontes de informação disponíveis sendo o raciocínio baseado na comparação e confrontação dessa informação; o aluno tem um grau médio de controlo do processo, revelado por investigação de um elevado número de estratégias de solução imaginativas; (iv) método de trabalho racional – caracterizado por um reduzido uso da calculadora, sendo o principal trabalho efetuado no ambiente tradicional; o aluno tem um grande controlo no processo onde a inferência desempenha um importante papel no raciocínio; e (v) método de trabalho teórico – caracterizado pelo uso de referências matemáticas como uma fonte sistemática de recursos, sendo o raciocínio essencialmente baseado na analogia e na interpretação dos factos com constante verificação dos resultados produzidos pela calculadora. O resumo de cada um destes perfis encontra-se representado na Figura 14, onde a primeira linha diz respeito à ferramenta de compreensão mais usada; a segunda linha à ferramenta de informação mais usada; e a terceira linha ao método de prova mais usado.
Os autores referem que apesar de um aluno não poder ser exatamente classificado num destes cinco perfis, esta tipologia permitiu-lhes estabelecer diferentes características de comportamento dentro da turma e seguir a mudança de comportamento durante a pesquisa, concluindo que o processo de instrumentação evolui de modo diferente e durante um período variável de tempo de acordo com os tipos “extremos” de comportamentos identificados.
Esta experiência mostrou que o processo de instrumentação não conduz necessariamente a mais trabalho matemático, uma vez que, por um lado, pode “mascarar” deficiências no conhecimento matemático dos alunos e, por outro lado, pode revelar essas deficiências. No caso dos alunos mais fracos, a calculadora pode, por vezes, conduzir a comportamentos automáticos destituídos de reflexão e, noutras situações, os alunos não compreendem os efeitos dos comandos da calculadora e não conseguem encontrar consistência matemática para o resultado produzido pela máquina. Em qualquer das situações, os alunos não passam do primeiro nível de instrumentação porque é necessário conhecimento matemático específico de modo a “coordenar várias representações semióticas dos objetos matemáticos (por exemplo, a definição de função
44
e o seu gráfico) assim como o seu manejamento (por exemplo, trabalhar com cálculos aproximados e exatos) ” (Guin & Trouche, 1999, p. 223).
Figura 14 – Tipologia dos diferentes comportamentos dos alunos. (Adaptado de Guin & Trouche, 1999, p. 216)
Esta pesquisa veio também mostrar que o processo de instrumentação é complexo e lento pois “requer tempo suficiente para alcançar a reorganização dos procedimentos, mesmo para os melhores alunos que estabeleceram uma relação com a máquina” (Guin & Trouche, 1999, p. 223). Contudo, os autores sublinham a vantagem da aprendizagem que tem lugar, para além da instrumentação da calculadora, através das conexões e reformulações que ela suporta, citando Noss e Noyles (1996) que referem não haver dúvida em relação ao impacto efetivo da máquina na conceptualização dos números e das funções.
Artigue (2002b) faz referência à tese de Defouad que se prende com a génese instrumental da calculadora TI-92, tendo por foco uma única tarefa – o estudo da variação de funções. Tal como no estudo de Guin e Trouche (1999), esta pesquisa veio também mostrar a complexidade do processo de instrumentação: “a génese instrumental desenvolve-se no tempo de formas que não refletem a organização temporal do ensino
Racional Inferência Lápis e papel Demonstração Aleatório ………. ………. Cortar/colar Engenhoso Comparação “Todas” Confrontação Teórico Interpretação Conhecimento teórico Analogia Mecânico Pesquisa Calculadora Acumulação
45
formal devotado ao tópico da variação de funções […] e mesmo no final do ano letivo permanece frágil” (Artigue, 2002b, p. 255). Da análise dos dados recolhidos das entrevistas aos alunos selecionados, Defouad identificou três fases na instrumentação da variação de funções. Na primeira fase, os alunos permaneceram muito agarrados à cultura do estudo das funções iniciada no ano anterior com a calculadora gráfica, em que os intervalos de variação da função eram essencialmente inferidos através da leitura da representação gráfica. O uso do cálculo formal da aplicação “HOME” da calculadora simbólica, apesar da potencial utilidade, praticamente só foi usado para definir as funções e calcular ou confirmar as suas derivadas. Numa fase intermédia, apesar da aplicação gráfica desempenhar ainda um papel essencial, a aplicação HOME começou a ser usada e os alunos desenvolveram conexões entre diferentes aplicações. Finalmente, na terceira fase – fase do cálculo – os alunos desenvolveram esquemas instrumentados específicos e eficientes para analisarem a variação das funções através da conexão entre as aplicações gráficas e simbólicas da calculadora, tornando-se a aplicação simbólica a principal ferramenta do processo de resolução juntamente com o papel e lápis, enquanto a aplicação gráfica foi utilizada, principalmente, como uma ferramenta heurística, para antecipação e controlo.
As estratégias económicas pensadas pelos investigadores para a TI-92 antes de cada entrevista raramente eram escolhidas pelos alunos que preferiam fazer o que Artigue chama de Zapping6 entre aplicações e verificação repetida das estratégias, demorando mais tempo do que era esperado a conseguirem uma conexão eficiente entre o registo algébrico e gráfico. Mais uma vez se salienta a lentidão do processo da génese instrumental: “durante o primeiro ano da experiência, a nossa atenção foi atraída pela lentidão e pelo rodeio7 da génese instrumental” (Artigue, 2002b, p. 259). O perfil pessoal do aluno e o desenvolvimento do conhecimento matemático desempenham um importante papel na progressiva apropriação do instrumento. Por exemplo, os esquemas de enquadramento para a calculadora gráfica, essenciais para se obter uma visualização representativa do gráfico de uma função, dependem tanto das tarefas a que os alunos são expostos, como dos esquemas matemáticos relacionados que o aluno tem à sua disposição (Ruthven, 2002). Referindo-se ao caso do aluno Frederico, descrito em Artigue (2002b), Ruthven, destaca não apenas a complexidade do desenvolvimento dos
6 O termo foi escolhido pela analogia entre o comportamento dos alunos e o dos indivíduos que estando a
ver televisão mudam rapidamente de um canal para outro, com o comando.
46
esquemas de enquadramento mas o facto da construção “de um sistema conceptual coerente e de um conceito de enquadramento global envolver a coordenação progressiva de muitos esquemas específicos” (p. 279).
Trouche (2003) mostra que uma complexificação do artefacto, como é o caso das calculadoras simbólicas relativamente às gráficas, pode conduzir a um empobrecimento do instrumento construído pelo aluno. O autor relata o caso de um aluno que trabalhou durante três meses com calculadoras gráficas e seis meses com calculadoras simbólicas em questões do tipo “a função dada tem limite quando
x ?” (p. 790). Enquanto trabalhava com a calculadora gráfica o aluno explicava as suas conclusões com expressões do género “se f x( ) é muito maior que x, ou se a função cresce com grande velocidade estão está bem. Por outro lado, se a função decresce ou oscila então isso não é bom” (p. 790). Para o autor este tipo de resposta permite avançar com a hipótese dos esquemas construídos pelos alunos integrarem teoremas-em-ação do tipo: “Se f x( ) toma valores muito maiores que x, então o limite de f é infinito” ou “se o limite de f é infinito então f é necessariamente crescente”. Por outro lado, ao trabalhar com a calculadora simbólica o aluno limitou-se a usar um único comando (cálculo do limite), o que aparentemente corresponde a uma simplificação do esquema:
Um menor esforço a manipular o artefacto (o único esforço é de sintaxe para escrever corretamente) e um menor esforço na explicação (uma vez que o software assegura a correção dos resultados, a justificação do resultado, mesmo quando requerida pelo professor, parece menos necessária. (Trouche, 2003, p. 790)
O processo de instrumentação, neste caso, conduz a uma simplificação do esquema e a um empobrecimento dos invariantes operatórios. O aluno, num ambiente com a calculadora gráfica, deu explicações relacionadas com o conceito-em-ação, no entanto, alguns meses depois, num ambiente com a calculadora simbólica, não conseguiu dar nenhuma definição – houve um “desaparecimento8 do conceito” (Trouche, 2003, p. 790). Todavia, isso não significa que o conceito de limite tenha “desaparecido”, mas sim que passou de um resultado de um processo, num ambiente
8 Vanishing no original
47
com calculadora gráfica, para um resultado de uma operação, num ambiente com calculadora simbólica (Trouche, 2005).
Relativamente à diferenciação dos processos de instrumentação, dentro do mesmo ambiente, Trouche (2004) mostra que quanto maior é a complexidade do ambiente, maior é essa diferenciação. O autor analisa os processos de instrumentação de dois alunos no que toca ao cálculo de um limite, num ambiente com calculadora simbólica (mais complexa que uma calculadora gráfica): enquanto o aluno 1 articulou todos os artefactos disponíveis dentro do ambiente (calculadora, papel e lápis, resultados teóricos), o aluno 2 limitou-se a usar uma tecla (cálculo do limite – uma só aplicação de um só artefacto) – “quanto mais complexo é um artefacto, mais simples parece a atividade” (Trouche, 2004, p. 293). No caso do aluno 2, a complexidade do artefacto não o ajudou a construir um instrumento eficiente.
Rivera (2007) realizou uma experiência de ensino com o objetivo de os alunos desenvolverem colectivamente um processo de resolução de inequações polinomiais, usando a calculadora TI-89. A experiência teve lugar em duas fases: (1) uso da calculadora para fazer generalizações acerca do gráfico de funções polinomiais, e (2) uso do conhecimento relativo ao gráfico das funções polinomiais para resolver uma desigualdade. Rivera identifica três fases no processo de instrumentação que denomina total apego, separação parcial e separação total. Inicialmente os alunos usaram a máquina para estudar o comportamento dos gráficos de funções polinomiais de grau par e “as suas ações gráficas imitavam o que viam a TI-89 fazer” (p. 295). A descrição do gráfico de uma função polinomial par era um reflexo da resposta da ação instrumentada (total apego). O modo como os alunos resolviam inequações (em fatores) no papel, sem recurso à TI-89, refletia as ações instrumentais adquiridas – desenho do referencial cartesiano, marcação dos zeros, aplicação do que tinham aprendido relativamente ao comportamento do gráfico da função em questão no esboço da representação gráfica e escrita da solução. No entanto, no esboço do gráfico os alunos perdiam um certo tempo pois calculavam várias imagens. Quando um grupo de alunos sugeriu que não era necessário obter um esboço muito correto do gráfico da correspondente função, rapidamente outro grupo compreendeu o valor dessa sugestão e conclui que só era necessário marcar as intersecções com o eixo Ox – ocorreu o que o autor considera uma separação parcial na instrumentação:
48
Esta fase é caracterizada pela reflexão sobre a motivação, para além dos esquemas que desenvolveram à medida que usavam a ferramenta, com uma ênfase na avaliação das propriedades que eram essenciais e das que não eram e que, portanto, poderiam ser dispensadas. (Rivera, 2007, p. 296)
Posteriormente um aluno sugeriu que se usasse apenas a reta real em vez do plano cartesiano, dado que o eixo Oy era inútil – ocorreu o que o autor considera a separação total – a ferramenta foi totalmente transformada e “pavimentou o caminho para a invenção de um processo teórico abstrato” (p. 296) – os esquemas foram sendo refinados e emergiu um método para resolver inequações polinomiais tendo por base apenas os elementos necessários.
Rivera (2007) alerta, no entanto, para o que classifica de fragilidade do conhecimento na atividade instrumentada, ilustrando como “significados mediados pela ferramenta que estão todos corretos podem gerar uma resposta incorreta” (p. 301), com o exemplo de resposta de uma aluna que considerou que a função envolvida tinha apenas um zero de acordo com a representação que obteve na janela de visualização utilizada.
Kidron (2008) realizou um estudo empírico com o objetivo de analisar os efeitos da ação combinada entre discreto e contínuo na compreensão conceptual de limite, na definição de derivada. A autora pretendia que os alunos compreendessem que em certas equações diferenciais (em particular, na equação logística) a solução contínua obtida por métodos analíticos difere totalmente da solução numérica obtida por métodos discretos. Pretendia também abalar a noção intuitiva de que graduais causas produzem graduais efeitos. Através da análise da fonte de erro, os alunos deveriam concluir que na solução contínua a derivada é definida como um limite, enquanto no método numérico de Euler
a derivada é definida como um termo da sequência y x
, para um pequeno x. Tal como outros estudos referidos atrás, também este mostrou que o processo da génese instrumental é complexo e requer tempo. Ao trabalharem com uma CAS os alunos podem ser influenciados por outras fontes de erro, tais como, o processo de discretização e o efeito cumulativo do erro de arredondamento no processo iterativo, especialmente se em anteriores experiências encontraram tais erros (Kidron, 2008). A autora considera o processo de construção da análise do erro um processo de instrumentação e descreve esse processo no caso de uma aluna. Na sua análise conjuga
49
duas abordagens, por um lado, a análise instrumental que lhe permite compreender “como é que o computador se torna um efetivo instrumento para o pensamento matemático da aluna” (p. 207) e, por outro lado, o modelo da abstração no contexto que a “ajuda essencialmente a discernir o processo de abstração que ocorre dentro do processo de instrumentação” (p. 207). A autora refere a lentidão do processo da análise do erro desenvolvido pela aluna até à fase em que a sua atenção deixou de ser desviada