Utredning med effektivitetsfokus

Na abertura do ano letivo iniciámos os nossos estudos com algumas notas sobre geometria, as suas múltiplas variantes, e especificidades. Achámos importante que os estudantes possam ter uma certa visão panorâmica desta área do conhecimento. O texto que se segue foi o último a ser redigido, não é o texto original, já foi remodelado algumas vezes ao longo dos tempos, e provavelmente voltará no futuro a ser remodelado. Esta é a sua forma atual.4

Etimologicamente, geometria significa “medida da terra”. Se forem consultados dicionários gerais da língua portuguesa, dicionários específicos ou enciclopédias relativamente ao termo geometria, obter-se-á como resposta que a geometria é uma ciência do ramo das matemáticas que estuda relações entre pontos, retas, curvas, planos, superfícies e sólidos no espaço.

Do que se sabe, pode-se dizer que a geometria terá tido as suas origens na região da mesopotâmia e no Egipto. Serviu aos antigos agrimensores egípcios para medirem os seus terrenos no vale do nilo, e serviu aos seus arquitetos para construírem não só as

imponentes pirâmides, como também outros monumentos de dimensões colossais. Foram contudo os gregos que lhe deram uma extraordinária dimensão, visto terem sido os primeiros a lançar as bases da geometria elementar.

É justo salientar alguns deles em particular, pela sua grandeza. A Tales de Mileto (640 - 546 a.C.) Se deve o estudo das propriedades das retas e dos triângulos. Pitágoras (580 – 500 a.C.) Formulou um dos mais famosos teoremas de sempre, o teorema do triângulo retângulo, chamado teorema de Pitágoras. Platão (427 - 347 a.C.) Desenvolveu e aperfeiçoou os métodos demonstrativos.

Aristóteles (384 – 322 a.C.) Estabeleceu a distinção entre axiomas, que são preposições de base, e postulados que são regras de construção. Euclides (300 a.C. – …. não é conhecida a data da sua morte) é certamente a figura de maior relevo deste grupo, no que diz respeito à área da geometria. A sua obra, “Os Elementos” é considerada o tratado de geometria mais completo que jamais foi elaborado, é constituído por treze volumes, cinco de geometria plana, três de geometria no espaço, e os restantes dedicados à apresentação de soluções gráficas para um certo tipo de problemas que na atualidade são tratados por processos algébricos. Toda esta vasta compilação de conhecimentos é atualmente conhecida por geometria euclidiana.

Nas obras de arquitetura da antiga Grécia é bem visível a enorme quantidade de conhecimentos teóricos que foi posta em prática. Na escola de Alexandria é ensinado o rigor euclidiano aliado a técnicas egípcias e babilónicas para servir em aplicações essencialmente práticas. Os árabes absorveram os conhecimentos anteriores,

especialmente dos gregos e espalharam-nos pelas terras que foram colonizando. Na idade média, a europa, graças aos árabes descobre os textos gregos, e no século xv toma

conhecimento da herança grega guardada religiosamente pelos eruditos bizantinos. É já durante o renascimento que se dá um importante salto no desenvolvimento da geometria com a integração de métodos projetivos. Esta renovação deve a sua origem ao trabalho e engenho de cartógrafos e artistas, nomeadamente pintores e arquitetos que elaboram e aperfeiçoam regras científicas que lhes permitem representar sobre um suporte plano bidimensional, figuras volumétricas num espaço tridimensional a partir de um dado ponto de vista. Este tipo de representação ficou conhecido com o nome de perspetiva. Brunelleschi foi o artista que descobriu e primeiro formulou as regras da perspetiva. Mais tarde, Alberti, no seu “Tratado Della Pintura” inicia a teorização da perspetiva, de acordo com leis matemáticas e geométricas, as quais posteriormente vieram a ser desenvolvidas por Piero Della Francesca, Leonardo Da Vinci e Dürer entre outros.

No século XVII, com descartes (1596 – 1650), e Fermat surge a geometria analítica com a aplicação de métodos algébricos. Descartes descobriu a relação entre figuras geométricas e equações algébricas, criando um sistema de coordenadas composto por dois eixos

graduados, o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, perpendiculares entre si, traçados

4 _{Este texto poderá vir a figurar no início do manual de geometria. Poderá ser lido durante primeira aula e poderá}

ainda servir ponto de partida para um trabalho de pesquisa a ser feito pelos estudantes sobre algum dos temas abordados mais ligado aos nossos estudos.

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sobre um plano. A geometria no espaço salta fora do plano, é o ramo da geometria voltado para o estudo das figuras espaciais, quer de superfícies planas, quer de superfícies curvas. (o tetraedro, formado a partir de quatro pontos não situados no mesmo plano é a sua estrutura elementar, do mesmo modo que o triângulo formado a partir de três pontos é a figura mais simples da geometria plana).

A técnica que mais se utilizou e ainda se utiliza, em arquitetura, design de interiores, design de produto, engenharia civil, engenharia mecânica, consiste na projeção das figuras sobre um, dois, três ou seis planos, conseguindo assim um desenho cujas dimensões respeitam as suas verdadeiras grandezas, recorrendo para tal à aplicação de uma escala. Esta técnica específica é o assunto de estudo da geometria descritiva ou da geometria cotada. Foi no século XVIII que Gaspard Monge criou a geometria descritiva como ciência que lhe permitia representar pontos do espaço pelas suas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares entre si, um plano vertical e um plano horizontal. Com esta sua inovação, monge deu um grande impulso à geometria projetiva. Ainda dentro desta área é de referir o papel de Poncelet e de Chasles pela forma como demonstraram a importância das transformações geométricas.

É já no século XIX que aparecem as geometrias não euclidianas a (n) dimensões. Um dos postulados destas geometrias é que por um ponto exterior a uma reta é possível traçar uma infinidade de retas paralelas a essa reta. A partir deste postulado tornou-se possível construir novos sistemas geométricos a quatro e a mais dimensões. Ligados a esta nova visão estão nomes como Poincaré, Lambert, Legendre e Karl gauss. A geometria hiperbólica de nicolas Lobachevski e a geometria elíptica de Bernhard Riemann são exemplos concretos dessas geometrias.

Geometria axiomática, geometria algébrica, geometria racional, geometria diferencial e infinitesimal, geometria não comutativa, …são outros tantos ramos da geometria que entretanto foram surgindo.

O programa da unidade curricular contudo, confina-se ao estudo dos sistemas de projeção derivados da geometria descritiva de monge, dos métodos de projeção axonométrica e da perspetiva linear, tudo o resto ultrapassa as nossas competências e conhecimentos.

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Lição nº2