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4.1 The domains of the ARKTRANS Reference Model
Foi por meio de nossos conhecimentos como professora, das pesquisas e dos objetivos de aprendizagem que construímos as tarefas de aprendizagem.
A inspiração para a construção das tarefas de aprendizagem surgiu principalmente das leituras realizadas com as pesquisas e com os documentos oficiais e também da experiência em que tivemos em um curso, no qual participamos em 2002, denominado “Construindo Sempre Matemática para Professores do Ensino Médio”, realizado na cidade de Águas de Lindóia, pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, em convênio com a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo. O curso era composto por aulas presenciais e a distância, via internet, por meio de um programa desenvolvido para o projeto, que possibilitava discussões entre nós professores e os formadores sobre as atividades abordadas nos encontros presenciais no qual estávamos desenvolvendo em sala de aula.
Com base no conhecimento construído no curso como professora, resolvemos utilizar algumas dessas atividades abordadas nas apostilas do curso em nossa THA. Além dessas atividades adotamos outras fontes de referência como alguns livros didáticos citados na pesquisa de Silva (2007) e a internet.
Para elaborarmos as tarefas de aprendizagem, partimos do pressuposto de que os alunos possuíam alguns conhecimentos sobre funções, pois segundo os professores eles já haviam visto anteriormente a função polinomial do 1.º grau que representa a variação de uma grandeza de acordo com a variação de outra, e que estão presentes nos fenômenos da natureza e em problemas deste tipo.
Portanto, nossa trajetória hipotética de aprendizagem tem como finalidade trazer diferentes situações em que a variação de grandeza vai estar representada por determinadas leis que expressam a função polinomial do 2.º grau.
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Optamos por iniciar as tarefas de aprendizagem com a resolução de problemas, como contexto para explorar situações que representam leis que podem ser expressas por igualdades do tipo: = + + em que ≠ 0, e esperamos que o aluno identifique a função polinomial do 2.º grau em situações do cotidiano, bem como naquelas que envolvam outras áreas do conhecimento. Assim, organizamos as tarefas de aprendizagem em cinco partes com diferentes expectativas, as quais iremos descrever.
A primeira parte das tarefas de aprendizagem trata-se da introdução e com ela temos por objetivo fazer com que o aluno reconheça a expressão desenvolvida da função polinomial do 2.º grau por meio da área do retângulo. Está atividade é uma adaptação de um exercício retirado do jornal do aluno – (2.ª e 3.ª séries – ensino médio, aula 15, p. 46).
A segunda parte da THA cuida de situações-problema contextualizadas que envolvem a construção de gráficos e a exploração das ideias de crescimento e decrescimento, máximo ou mínimo das funções quadráticas. Nosso objetivo nesta parte é fazer com que o aluno saiba que a representação gráfica de funções como = + + , ≠ 0 é um tipo de curva denominado parábola. Além disso, os alunos terão que interpretar a situação proposta e representá-la por meio de tabelas e gráficos, possibilitando aos estudantes desenvolver habilidades para resolver problemas aplicando e analisando as propriedades das funções. As atividades propostas nesta segunda parte são adaptações dos exercícios do livro
Educação matemática, 8.ª série do Ensino Fundamental (PIRES ET AL., 2002,
módulo 15, p. 171).
A terceira parte destina-se a determinar graficamente o vértice da parábola por meio do eixo de simetria sem a utilização de fórmulas, cujo objetivo é ainda explorar algumas propriedades da função quadrática e de sua representação gráfica. Esta atividade foi retirada da apostila do curso Construindo Sempre Matemática para Professores do Ensino Médio, módulo da 1.ª série, p. 15.
A quarta parte da trajetória tem como objetivo reconhecer a forma fatorada da função quadrática = . + + e relacioná-la com o vértice da parábola e as raízes da função. A ideia é articular a passagem de uma representação algébrica a outra, ou seja, passar da forma desenvolvida = + + para a forma
fatorada = . + + , pois a correspondência entre coeficientes e variáveis visuais não é tão evidente na forma desenvolvida, e a forma fatorada da função quadrática auxilia na compreensão da posição do gráfico, das coordenadas do ponto de máximo/mínimo e dos zeros da função, evitando memorização de regras. Desse modo, procuramos também contar um pouco da história da matemática e de como surgiu a fórmula de Bhaskara. Esta parte da THA foi retirada da apostila do curso Construindo Sempre Matemática para Professores do Ensino Médio, módulo da 1.ª série, p. 23, e do livro Matemática 1.ª série do Ensino Médio, Dante, 2005, p. 120-123.
Finalmente na última parte da nossa trajetória é proposto um estudo relacionando a representação gráfica da função quadrática do tipo f(x) = x2, com a representação gráfica do tipo:
- = , em que o coeficiente determina a concavidade da parábola e ainda, quando positivo e diferente de um, produz mudanças na abertura do gráfico em relação ao gráfico de = , e quando negativo o gráfico mostrará uma reflexão em relação ao eixo das abscissas;
- = + , em que o coeficiente n diferente de zero é a ordenada do ponto da parábola que intercepta o eixo y e ainda produz uma translação vertical em relação ao gráfico = , se n for positivo, ocorre uma translação vertical para cima, e se, n for negativo se dá uma translação vertical para baixo;
- = + , em que o coeficiente m diferente de zero produz uma translação horizontal em relação ao gráfico de = ; se m for positivo se dá uma translação horizontal para a esquerda, e, se m for negativo, ocorre uma translação horizontal para a direita;
- = + + , em que ocorre uma translação horizontal e uma translação vertical e ainda mudança na abertura da parábola.
O nosso objetivo nessa atividade é favorecer a compreensão das variáveis visuais de modo que os alunos possam observar as translações que ocorrem nos gráficos, as raízes e as coordenadas do vértice da parábola. Esta atividade foi retirada da internet (artigo: Funções quadráticas: abordagem computacional. Francisco Orlando Fernandes Ribeirinha, 2005).
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Por meio de nossa experiência como professora, temos como hipótese que serão necessárias 11 aulas de 50 minutos para o desenvolvimento das quatro primeiras partes da THA em sala de aula e mais duas aulas no laboratório de informática para o desenvolvimento da quinta parte da THA. Planejamos também realizar duas avaliações durante o desenvolvimento da THA, e, por hipótese, consideramos que seriam necessárias duas aulas para cada avaliação, uma aula para realizar a avaliação e outra para a correção. Então supomos que no total serão necessárias 17 aulas para realizar todo o desenvolvimento da trajetória.
A primeira versão da THA com o plano para orientar o professor em sala de aula, contendo o tempo previsto em cada parte da THA, os objetivos, as estratégias, as atividades de aprendizagem e a resolução das atividades, consta no Anexo 1 deste trabalho.
2.4 Análise da primeira versão da THA pelos professores, com base em sua