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9. Summary and Conclusion
Félix é doutor em matemática na área de Sistemas Dinâmicos, pelo IMPA. Pesquisa atualmente em Ensino de Matemática e é professor da disciplina Introdução à Teoria dos Números na licenciatura, em uma instituição pública federal.
Sobre a presença da disciplina Teoria dos Números nos currículos, inicialmente o entrevistado reconhece que a pouca ênfase dada a esta disciplina é uma questão da história dos currículos de matemática no Brasil, em que se valoriza mais o contínuo.
Talvez seja uma influência da Escola Francesa e da Escola Italiana. E também a época. Na nossa época, houve um desenvolvimento muito grande das equações diferenciais, então tudo isto influenciou muito. Há currículos que tem 4 disciplinas de Cálculo, só tem uma de Introdução á Teoria dos Números, assim não é dado o papel importante ao número. Será que não deveria ser o contrário? Mas esta coisa vem vindo e a gente vai tentando mudar.
Em seguida, apresenta duas justificativas para a inclusão da Teoria dos Números nos currículos das licenciaturas, uma do ponto de vista cultural e a outra ligada à presença da Aritmética nos currículos da escola básica em todos os países, afirmando:
A inclusão do estudo da Aritmética nos cursos de licenciatura em matemática pode ser examinada sob duas vertentes: a necessidade do licenciando vivenciar os processos ali tratados, e o estudo desse assunto do ponto de vista cultural. A Aritmética faz parte da cultura dos tempos antigos, tendo sido desenvolvida, juntamente com a linguagem, para atender às necessidades de comunicação e de quantificação. Vemos, na história das civilizações, como os povos criaram e recriaram a Aritmética sob roupagens diferentes, mas utilizando essencialmente os mesmos processos matemáticos, aperfeiçoados ao longo do tempo. Em nossos dias, as experiências de quantificação de objetos e fenômenos fazem parte da vida prática das pessoas. E o estudo da Aritmética é uma necessidade para prover a organização adequada da sociedade e oferecer para o individuo processos matemáticos inerentes à sua estrutura lógica mental.
O ensino da Aritmética faz parte da escolaridade básica de todas as nações. Nas propostas curriculares adotadas em nosso país, essa matéria está distribuída principalmente nas quatro séries do Ensino Fundamental.
Nessa fala do entrevistado, percebemos uma clara preocupação com a formação do professor de matemática para a escola básica. A disciplina Aritmética deve ser incluída nos currículos da licenciatura, não apenas por seus valores intrínsecos, mas porque ela está inserida histórica e socialmente na vida dos indivíduos e das sociedades, como também nas escolas do mundo todo. A necessidade de quantificar e, em especial, a necessidade de contar é algo que se impôs às sociedades, tanto antigas, como atuais. Vai mais longe ao afirmar que a aritmética oferece aos indivíduos processos matemáticos inerentes a sua estrutura lógica mental, possivelmente se embasando em estudos, como os de Piaget. Outro aspecto a destacar é a preocupação com a possibilidade de o licenciando vivenciar processos que ele deverá trabalhar posteriormente com seus alunos, indicando elementos que dizem respeito ao conhecimento do conteúdo, ao conhecimento pedagógico do conteúdo e ao conhecimento curricular, ao dizer que
O licenciando precisa ter conhecimento conceitual, técnico e pedagógico dos assuntos da Aritmética, que deve ser apresentada a ele sob os mais variados métodos de ensino, com uso de estratégias diversificadas. Caso contrário, o licenciando conservará, como conhecimento técnico e pedagógico em Aritmética, apenas aquilo que vivenciou como estudante da Escola Fundamental. Em conseqüência, ao exercer suas atividades de ensino, tenderá a reproduzir posições cristalizadas.
O entrevistado pondera que a licenciatura forma o professor para atuar na segunda fase do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, no entanto, afirma que é importante que ele tenha conhecimento destes conteúdos, tanto do ponto de vista da matemática, como dos aspectos pedagógicos, para que possa dar prosseguimento às experiências do aluno, tomando como base sua vivência anterior. Acrescenta, ainda, que não se trata de incluir esses conteúdos na licenciatura para suprir possíveis falhas que o estudante possa trazer da escola básica, mas
Essas matérias devem estar presentes no currículo de forma criativa, e apresentadas com uma prática pedagógica inovadora em comparação com os padrões tradicionais de ensino
Sobre as possíveis abordagens para a disciplina, Félix afirma que o professor precisa ter conhecimento de vários métodos e alternativas pedagógicas para ter opção de escolhas de acordo com as situações e, considera que
(...) o mais importante seria o desenvolvimento do estudo, da investigação, da criatividade. Então seria o ensino da matemática através de problemas, o que eu chamo de método genético. (...) pesquisando a história do desenvolvimento de um conceito podemos acompanhar sua construção lógico-dedutiva através dos tempos, e examinar as idéias mais simples que precederam sua acepção plena. Essas idéias podem sugerir atividades que estimulem as fases iniciais e intermediárias na construção de um conceito, permitindo-nos propor seqüências de ensino-aprendizagem adequadas para estudantes dos mais variados níveis de experiência.
Deste modo, sugere alternativas, como a investigação matemática, a resolução de problemas e a abordagem epistemológica dos conceitos. Entretanto, considera que não se pode fazer panacéia de nenhuma delas e que não existe um único método que atenda a todas as necessidades e objetivos. Sobre a abordagem estritamente axiomática, que é muito comum nesta disciplina, como pudemos constatar pela análise dos livros didáticos, afirma ser ela importante do ponto de vista da construção da matemática, mas no ensino faz restrições, porque é um ou outro aluno que faz bom proveito, embora reconheça que a justificativa seja importante não só na matemática. Alega que essa abordagem tem origem no fato de que a licenciatura estava muito ligada ao bacharelado, ou seja, era dependente deste, assim a disciplina Teoria dos Números tinha um caráter muito teórico, mais avançado, geralmente no final dos cursos. Particularmente, procura, em seus cursos, demonstrações que não dependam de uma seqüência linear de princípios e questiona:
(...) se nosso aluno na faculdade é formado sob este método, como ele vai fazer quando for exercer. Ele vai ficar num beco sem saída, porque ali não é aplicável este método, a não ser muito localmente. A princípio eu diria que não deve ser usado.
Contudo alerta que não é fácil fazer diferente daquilo que é feito no ensino tradicional, por vários motivos, como: o tipo de ensino vivenciado pelo aluno desde a escola básica, onde prioritariamente se utiliza a aula expositiva em que o aluno deve apenas escutar; o despreparo do professor que também vivenciou essa forma de ensinar ou que não refletiu sobre estes assuntos e não tem, muitas vezes, tempo, interesse e disponibilidade para fazer de outro modo; a falta de material adequado.
O mais difícil para você executar isto é o costume, a forma como o estudante foi educado em todos os seus anos de escolaridade. Então veja bem, o estudante vai para a aula, qual é o estado psicológico dele ao ir para uma aula? Talvez seja o seguinte – agora é o momento em que eu vou escutar, não vou trabalhar. Se o aluno vai para a aula e não quer trabalhar, fica escutando o que você vai falar, e já viciou nisto. Aí você chega e diz: - vamos fazer um problema. Vamos estudar um tema, então daqui a pouco já tem uma dispersão, a pessoa não se dedica, não sabe o que fazer, não vai atrás, não tem iniciativa, ou seja, a falta de iniciativa entre os estudantes é muito grande. Eu acho que por um vício do sistema. É complicado. Além disto, muitas vezes a gente não tem um material adequado, a gente não está muito acostumado a fazer assim. Vem da parte dos professores também, porque estes foram formados neste esquema. Então não tem um modelo. Acho que falta um modelo adequado para o professor. Falta material. Hoje está mudando bastante, já tem muita variedade. Até um certo tempo atrás, todo o material era preparado para aula expositiva. O professor gasta muito tempo preparando material, às vezes, nem sempre o professor pode. Tem também o problema do professor que não refletiu sobre estes assuntos.
O entrevistado afirma que está aprendendo e que, quando se consegue fazer um trabalho diferente, compensa muito.
Deste modo, podemos perceber que Félix se preocupou com a Aritmética, enquanto um saber a ensinar, uma disciplina voltada para a formação do professor, concebida não apenas como um conjunto de conteúdos matemáticos, mas também constituída de finalidades e de abordagens.
Quanto às relações entre Álgebra, Aritmética e Teoria dos Números, faz uma análise, considerando-as como disciplinas acadêmicas, e não como saberes científicos da matemática, relatando um fato ocorrido na universidade em que trabalha.
Um fato interessante que aconteceu aqui é o seguinte, nós introduzimos esta disciplina no currículo, em 1989. Eu sugeri que o nome da disciplina fosse Aritmética, mas entre os professores parece que existia uma concepção de que a Aritmética era uma coisa muito fácil, ou seja seria fazer “continhas”. Então não quiseram dar este nome e sugeriram o nome Introdução à Teoria dos Números.
O fato relatado ilustra bem que não há um consenso sobre estas denominações, principalmente entre Aritmética e Teoria Elementar dos Números. O entrevistado caracteriza a Aritmética elementar como sendo o estudo da contagem, das representações dos números
naturais, os algoritmos das operações, destacando o desenvolvimento histórico e epistemológico dessas idéias.
Acredita que a inclusão de tópicos de Teoria dos Números em cursos de Álgebra se deva ao fato de que, nessa disciplina, faz-se a construção axiomática dos conjuntos numéricos e pela influência de livros didáticos, como o de Jacy Monteiro, que traz um capítulo sobre Teoria dos Números. Considera, entretanto, que a Álgebra e a Teoria dos Números têm métodos um pouco diferentes.
Sobre a proposta da disciplina Teoria Elementar dos Números, na terceira questão, avalia:
Nestes temas aqui onde estão as representações dos números? Não só os sistemas posicionais como também outros, como o aditivo. Geralmente isto aparece como um teorema, quando se vê o algoritmo da divisão, mas como são vistos outros assuntos, se passa rapidinho por este teorema. Fica desproporcional, porque este é um assunto muito visto na escola por vários anos, então no curso é visto rapidamente, na forma de um teorema e de alguns exercícios. (...) Do ponto de vista do ensino da Matemática, é uma oportunidade de reconstrução de uma descoberta fundamental para o homem. Além disso, para que nossa mente tenha clareza da relatividade da representação decimal, é necessário o conhecimento de diferentes tipos de representação. Caso contrário, o sistema decimal pode assumir um caráter absolutista, e sua expressão confundir-se com o conceito de número. (...) O licenciando, ao estudar Aritmética, precisa ter a oportunidade de adquirir clareza sobre a dimensão prática dos algoritmos aritméticos e sobre seus processos de invenção e desenvolvimento. A apreensão dessas idéias é um objetivo pedagógico essencial para o futuro professor.
Deste modo, avalia como válidos os conteúdos propostos e faz duas sugestões: a introdução do que chama Aritmética elementar, que inclui os diferentes sistemas de representação e os algoritmos das operações fundamentais, envolvendo os aspectos da gênese e desenvolvimento destes temas, e a outra sugestão diz respeito ao estudo do conjunto dos números naturais antes dos números inteiros, seguindo uma linha histórica. Alega que os inteiros envolvem uma abstração que não surgiu logo de início. Considera, ainda, que os conteúdos sugeridos permitem relacionar a matemática com outras áreas do conhecimento como a história, a antropologia, a arte, a geografia.
Sugere, numa segunda parte, o algoritmo da divisão, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, números primos. Diz que equações diofantinas é um tema que pode ser interessante, envolvendo também as ternas pitagóricas. Destaca a importância de uma aprendizagem significativa, ao afirmar que
O desafio é trabalhar com o estudante de uma forma que ele realmente sinta o porque são estudados estes conteúdos. Às vezes, não é só uma questão de aplicação, por exemplo é útil nisso, naquilo.... . O interessante seria o aluno perceber que ali estão sendo investigados os números. Então a pessoa está fazendo uma investigação: o que são os números? Nesta investigação foi adotada uma idéia que, basicamente, é a idéia da divisibilidade, da divisão. Isto é que é importante – o estudante perceber porque ele está estudando aquilo, como chegou, o que levou àquilo. Os livros não trazem estas idéias. Que tal a gente resgatar a idéia dos
gregos: eles basearam toda a investigação no algoritmo da divisão, deve ter tido um motivo. Isto eu não sei se o professor percebeu, se ele não percebeu, não sei se ele vai passar isto.
Ainda avaliando a proposta, considera que o estudo da congruência e dos teoremas de Fermat, Euler e Wilson devam ser feitos de uma maneira mais intuitiva e investigativa, através de problemas. Segundo ele, a congruência foi uma criação de Gauss que veio simplificar muito o tratamento dos problemas da Teoria dos Números, mas tratar esses assuntos de forma axiomática num primeiro curso é fazer o contrário, isto é, complicar, ao invés de simplificar. Quanto à aritmética módulo m, considera dispensável nesse curso.
Nessas sugestões, Félix reafirma a sua preocupação com a formação do professor, sugerindo e enfatizando assuntos presentes na escola básica, mas que na licenciatura não são abordados e, quando o são, a abordagem é axiomática, rápida, como se fosse óbvio, sem ter em conta o que os licenciandos aprenderam e o que irão ensinar.
Volta a destacar a importância do papel do professor no desenvolvimento de uma disciplina e a necessidade de que ele vivencie experiências que o capacitem a dar vida aos conteúdos.
(...) mas a gente há de reconhecer o seguinte - tudo que está no livro já está morto. É claro que o livro é importante, sem ele a gente não consegue desenvolver, mas eu acho que tudo isto depende muito do professor, porque ele é quem vai avivar isto. E aí é que mora o problema. Se a pessoa não fez aquilo, como é que ela vai fazer com os outros?
Em resumo, o entrevistado:
• concebe a Teoria dos Números como fundamental na formação do professor, tendo em vista os valores cultural e social da aritmética na história das civilizações, e considerando, principalmente, a necessidade de que o professor vivencie processos e experiências que lhe permitam ampliar a compreensão dos temas e o desenvolvimento do conhecimento pedagógico do conteúdo;
• sugere métodos que valorizem a investigação e a criatividade e a abordagem epistemológica dos conceitos, citando o método genético, dando, assim, menos ênfase às abordagens estritamente axiomáticas e formais;
• não se detém na discussão das relações entre Álgebra, Aritmética e Teoria dos Números, tratando-as como disciplinas acadêmicas e não como campos de estudo da matemática;
• em alguns momentos, parece compreender Aritmética e Introdução à Teoria dos Números como as mesmas disciplinas e, em outros, parece considerar que a Aritmética elementar diz respeito às representações dos números, às operações
fundamentais e aos algoritmos, e a Teoria dos Números se iniciaria com o estudo da divisibilidade e números primos;
• aponta dificuldades para a adoção de metodologias inovadoras, citando o despreparo do formador, a falta de material adequado e as atitudes dos alunos decorrentes da utilização predominante da aula expositiva na escola básica;
• sugere a introdução do que chama Aritmética elementar na disciplina Teoria Elementar dos Números, enfatizando a importância desses temas para a formação do professor;
• não atribui significados aos conteúdos pelos seus valores intrínsecos e pelo que representam para desenvolver mais matemática, mas pelo peso que eles têm na formação.
Assim, Félix concebe a Teoria dos Números como um saber a ser ensinado na licenciatura, envolvendo o estudo dos números inteiros, constituído de finalidades e de abordagens ligadas à formação do professor da escola básica. Numa visão prospectiva, podemos perceber que o entrevistado tem uma preocupação com uma transposição didática que ainda está a exigir investimentos dos envolvidos com a área e maior atenção ao conhecimento pedagógico do conteúdo, para que haja maior proximidade com a prática docente na escola básica.