Implications and Reflections

O entrevistado é doutor em Educação e mestre em Matemática Aplicada, docente e pesquisador na área de Educação Matemática, em uma instituição pública estadual, interessado em educação algébrica. Neste trabalho, será denominado Gomes.

Sobre a afirmação de Campbell e Zazkis de que a Teoria dos Números não tem um papel central nos currículos de matemática, Gomes concorda que também no Brasil essa temática é pouco valorizada. Acrescenta que esses conteúdos são tratados em disciplinas como Fundamentos de Matemática, mas com uma abordagem muito axiomática, não tratando os números numa perspectiva multidimensional que inclui a abordagem histórica e epistemológica dos conceitos.

Os vários campos numéricos são de uma riqueza muito grande para a formação do professor, mas essa é uma visão mais histórica que pode ser associada a uma dimensão que é epistemológica, que diz respeito à natureza dos processos de como estes conhecimentos foram se constituindo historicamente e como hoje podemos ter acesso a estes conceitos, seja no contexto escolar, nas práticas de sala de aula de matemática, seja fora da sala de aula, em contextos sócio-culturais, nas diferentes práticas sociais.

Considera que é de fundamental importância haver uma disciplina que trate especificamente a questão dos inteiros, pois números têm uma presença forte no Ensino Fundamental. Por este motivo, o professor deve ter um conhecimento profundo desse tema que vá além do que é tratado na matemática escolar. No entanto, esse aprofundamento diz respeito não só aos aspectos matemáticos, mas também aos históricos, epistemológicos, culturais e sociais.

Com relação à abordagem axiomática, tradicional no tratamento da disciplina Teoria dos Números, Gomes a considera “engessante”. Propõe e enfatiza a investigação matemática, que, na sua opinião, também deve ser introduzida nas disciplinas acadêmicas, pela oportunidade que ela oferece de o aluno problematizar, conjecturar e depois provar localmente as suas descobertas.

Eu acho que a teoria mais geral, mais axiomática, é engessante, pois esta geralmente não permite que o aluno problematize tanto as idéias, limitando-se a uma abordagem mais procedimental da própria matemática, preocupada mais em estabelecer demonstrações do que produzir significados. Entretanto, o processo de levantar/formular conjecturas, que é parte da investigação matemática, é algo interessante e formativo e que poderia ser introduzido também no ensino superior. Para criar esse ambiente de investigação matemática em sala de aula, o

professor precisa elaborar algumas tarefas ou atividades mediante as quais os alunos são instigados a levantar conjecturas, a aprender a conjecturar e, a partir destas conjecturas, tentar encontrar uma demonstração, uma prova, que eu chamo de prova local que é diferente de uma prova inserida em um corpo teórico axiomático que é muito mais difícil...

Gomes argumenta que é importante que o licenciando vivencie, durante o processo de formação inicial, a abordagem investigativa, incluindo a observação de regularidades e padrões ligados aos números e o desenvolvimento de provas locais, pois esta pode ser trabalhada, também, no ensino básico. Relata, inclusive, duas pesquisas em que estudantes do Ensino Fundamental são submetidos a atividades de investigação matemática, envolvendo situações relacionadas a números. (Anexo 2, xxxiii)

Esclarece o que entende por prova local e os processos envolvidos nesta atividade, dizendo que

Ela não é uma prova construída a partir de uma teoria, uma teoria dos números, por exemplo, ou de uma teoria algébrica ou axiomática como é o modelo teórico de Euclides. Modelo esse que é difícil de ser desenvolvido e compreendido pelos alunos de ensino fundamental. (...) para você ter uma prova mais convincente matematicamente, entram em cena processos de negociação, de argumentação, de aceitação, de validação; a álgebra pode dar mais garantia de convencimento de que aquilo vale para qualquer número.

Com relação à segunda questão sobre as inter-relações e especificidades entre os campos denominados Álgebra, Aritmética e Teoria dos Números, o entrevistado faz uma análise que considera o tipo de pensamento ligado a estes campos, tendo em vista o ensino, não se preocupando em discutir os temas, os problemas e métodos próprios destes campos dentro da matemática. Considera, inicialmente, que a teoria dos números ou aritmética, álgebra e geometria são os campos fundamentais da matemática elementar. Ele não nega que haja especificidades entre o pensamento aritmético, algébrico e geométrico, mas afirma que, dependendo da forma como o professor trabalha, um tipo de pensamento pode se desenvolver imbricado no outro.

Realmente você pode desenvolver o pensamento algébrico, no ensino fundamental, a partir do aritmético, dependendo da forma como você trabalha. Por exemplo, o conceito de igualdade, um conceito fundamental da álgebra, é construído desde as séries iniciais... e o sentido de igualdade que se imprime na aritmética vai ter implicações, mais tarde, no conceito algébrico de igualdade. Por ex., quando você trabalha 5 + 3 = 8 e dá o sentido do “igual” como sendo “o resultado é”, o aluno está internalizando um sentido não algébrico de igualdade, um sentido operatório de igualdade e não o de equivalência, no sentido de “vale tanto quanto”, ou “tem o mesmo valor que”, que é o conceito algébrico de igualdade. O professor ciente disso, poderia trabalhar desde as séries iniciais, na aritmética, esse sentido de igual. Por ex., poderia explorar que 5 + 3 é o mesmo que 4 + 4, é o mesmo que 7 + 1, quer dizer trabalhar o sentido de igualdade de maneira diferente daquilo que muitas vezes é ensinado pelos professores das séries iniciais. Isto contribui para desenvolver o sentido de igualdade da álgebra, trabalhar e entender melhor as passagens das equações algébricas e também o conceito de função.

Gomes adverte que o futuro professor que não tem esse conhecimento epistemológico não é capaz de desenvolver a aritmética, pensando em desenvolver o pensamento e a linguagem algébrica. Afirma que há uma inter-relação entre aritmética, álgebra e geometria no ensino, mas que ainda é pouco trabalhada na licenciatura, justificando:

Há uma inter-relação entre estes campos que ainda precisamos aprender a trabalhar na formação de professores de forma mais sistemática. Pela tradição por ter que constituir um campo mais teórico axiomático, não se viabiliza esta inter-relação entre campos, por constituir campos independentes, isolados, cristalizados, portanto pouco significativos para a formação daquele conhecimento fundamental para o professor que é trabalhar de maneira diversificada, problematizadora e versátil dentro destes campos. Um bom aluno de matemática é aquele que transita facilmente de um campo a outro, da álgebra para a aritmética, para a geometria e usa elementos destes campos para poder expressar as idéias e relações matemáticas.

Questionado se a denominação da disciplina pode definir ênfases que obscurecem aspectos específicos de uma área (por exemplo, incluir a Teoria dos Números em uma disciplina denominada Álgebra), afirma que mais problemático que a denominação e a ementa, é o professor que vai ministrar a disciplina e a relação que ele estabelece com ela, citando exemplos de disciplinas que desapareceram do currículo pelo fato de terem uma abordagem que não as tornou significativas no processo de formação. Deste modo, o entrevistado concebe que uma disciplina acadêmica é mais que um nome e uma ementa, pois não está constituída apenas por estes elementos, incluindo, também finalidades e abordagens. Destaca, ainda, o papel do formador e a importância da abordagem, pois o professor pode dar vida à disciplina ou decretar a sua morte no currículo, dando um exemplo de uma disciplina incluída, por ser considerada importante na formação, no currículo do curso de licenciatura em matemática da universidade onde trabalha, mas que, pela abordagem dada, acabou sendo excluída. Afirma ele

(...) que as pessoas que trabalham na licenciatura têm uma história de formação que muitas vezes passa por uma formação bastante axiomática, algébrica ou formalista e o professor aprende a valorizar isto. Acha que isto é que é mais importante. Isto é que é aprender com profundidade... (...) Para romper com essa tradição formalista, o professor teria que estudar, pesquisar outras formas de abordagem do tema, o que implica disponibilidade de tempo e vontade política de mudar. (...) porque você não vai encontrar nos livros, nos manuais usuais essa outra abordagem. Você tem que estudar, tem que quebrar muito a cabeça pessoalmente, para poder olhar aquelas idéias de outra forma e de preferência sob múltiplas formas. Buscar elementos na história ou em outros textos.

Desse modo, o entrevistado aponta para a falta de material que inclua outras abordagens, como já registramos quando tratamos do livro didático. E continua falando das abordagens:

A abordagem formal pode impedir que o professor ou aluno tenha acesso à essência das idéias e conceitos, pois essas demandam uma abordagem mais multidimensional, envolvendo aspectos culturais, lógicos, históricos, didático-pedagógicos, além dos conceituais. (...) uma abordagem significativa de formação do pensamento, do conhecimento didático-pedagógico do

conteúdo, como nos aponta Shulman, é olhar para o conteúdo não apenas como um conhecimento em si, mas um conhecimento de relação que pode contribuir para a formação do pensamento do aluno, do desenvolvimento lógico matemático do aluno. E é por essa razão que o formador não pode abordar as idéias matemáticas como prontas e acabadas.

Assim, Gomes volta a argumentar que a abordagem estritamente axiomática pouco contribui para a formação do conhecimento profissional do professor, pois o licenciado, quando inicia sua prática, não consegue mobilizar quase nada daquilo que estudou na licenciatura, não apresentando versatilidade de pensamento. Daí a necessidade da abordagem de outros aspectos, como culturais, lógicos, históricos, didático-pedagógicos, que contribuem para a constituição do conhecimento pedagógico do conteúdo de que nos fala Shulman.

Segundo Gomes, a construção de um conhecimento mais sólido e profundo poderia ser efetivada através da investigação matemática, incluindo a fase exploratória, o levantamento de conjecturas, a tentativa da prova, ainda que local, e depois a sistematização. Deste modo, percebemos que Gomes vê a metodologia como algo imbricado na disciplina, como um componente interno da disciplina, e não como um “lubrificante”, conforme fala Chevel (1990). É uma possibilidade para que prática e teoria aconteçam simultaneamente, permitindo que o futuro professor possa se constituir em sujeito do conhecimento matemático e possa usufruir o prazer da descoberta. Para o entrevistado, a investigação matemática é como uma viagem que tem ponto de partida, mas não se sabe bem aonde vai chegar. Assim

Tanto o futuro professor, como depois o aluno deste professor, pode se constituir em sujeito de conhecimento, sujeito que constrói, produz conhecimento matemático. Quando você aprende matemática, construindo idéias, produzindo conhecimento a satisfação é outra. É muito mais interessante

Volta a destacar que a vivência desta experiência como aluno da licenciatura é importante porque

ele tende a levar e a produzir este mesmo contexto, de exploração das idéias matemáticas nas salas de aula da escola fundamental e média. Aí, ele derruba uma das crenças mais tradicionais do professor que, para tornar o ensino da matemática mais significativo, ele tem que trabalhar com aplicações. Não, não necessariamente, quando o aluno tem a oportunidade de construir as idéias, as relações, de estabelecer as suas conjecturas, ele vibra, ele tem o prazer da criação. Porque ele sabe o que está fazendo, ele está compreendendo que ele tem um certo poder de intuir coisas diferentes.

Assim, Gomes traz um sentido de prazeroso e de significativo, fruto da atividade matemática, em que o aluno pode associar o conhecimento novo ao antigo, e não da visão pragmática de que o conhecimento ganha sentido apenas através das aplicações que possa ter na vida do estudante. É preciso ponderar, contudo, que isso não é uma tarefa simples, vai depender muito do professor da disciplina, também do envolvimento dos alunos e da

disponibilidade de materiais para consulta, além de outros aspectos ligados à transformação dos saberes científicos em saberes a ensinar.

Assim, o entrevistado enfatiza a importância das abordagens da disciplina, permitindo- nos inferir que, na sua concepção, elas são elementos constituintes desta, mais que o nome ou a ementa.

Sintetizando, Gomes:

• concorda que a temática dos números inteiros não é enfatizada nos currículos das licenciaturas no Brasil, e, quando o é, prepondera a abordagem axiomática;

• considera que o estudo dos conjuntos numéricos é um tema importante na formação do professor da escola básica, pois eles têm uma presença forte na matemática escolar; • considera que a abordagem estritamente axiomática em Teoria dos Números é

“engessante” e pouco contribui para a formação do professor, tendo em vista a sua prática docente;

• propõe que os números sejam tratados numa perspectiva multidimensional, incluindo a abordagem histórico-epistemológica dos conceitos e das idéias, os aspectos culturais, lógicos, históricos, didático-pedagógicos, além dos conceituais;

• concebe a abordagem como um componente importante da disciplina acadêmica, podendo dar-lhe significado ou levá-la ao desaparecimento do currículo;

• sugere a investigação matemática como alternativa de abordagem, pois permite ao aluno se sentir sujeito do conhecimento, permitindo uma aprendizagem significativa e prazerosa;

• destaca o papel do professor para dar vida aos conteúdos, afirmando que outras abordagens para a Teoria dos Números, diferente da axiomática e tradicional, exige preparo, interesse, disponibilidade e vontade política do professor-formador para mudar.

Deste modo, Gomes concebe a Teoria dos Números como um saber a ensinar, envolvendo o estudo dos números, que se constrói a partir de aspectos matemáticos, de aspectos históricos, epistemológicos, culturais e sociais, tendo a investigação matemática como forma de abordagem que propicia a aprendizagem significativa e prazerosa, em que a prova é um dos momentos.