Neste estudo considero que a estratégia de resolução de uma tarefa matemática, usada pelos alunos, envolve um procedimento e uma representação através da qual esse procedimento é revelado. Esta secção indicada estratégias de resolução de problemas de proporcionalidade direta, indicadas na literatura, que descrevem essencialmente proce- dimentos. Deste modo, uma secção dedicada exclusivamente às representações encon- tra-se no capítulo 3, sobre a unidade de ensino.
Há um consenso entre os investigadores (Behr et al., 1992; Inhelder, & Piaget, 1958; Kaput & West, 1994; Karplus et al., 1983; Kieren, 1993; Noelting, 1980a, 1980b; Resnick & Singer, 1993; Thompson, 1994) de que o desenvolvimento do raciocínio proporcional passa do pensamento qualitativo para as estratégias de composição e des- tas para as estratégias que envolvem raciocínio multiplicativo. Estas estratégias são indicadas como representativas dos níveis de sofisticação do raciocínio proporcional:
(i) Na fase do pensamento qualitativo, as estratégias são informais e qualitati- vas, com recurso a expressões, tais como, “maior que”, “menor que”, “mais que”, “menos que” para comparar as grandezas (por exemplo, o papá urso como mais que o bebé urso) (Behr et al., 1992; Kieren, 1993; Resnick & Singer, 1993).
(ii) Na fase em que usam a estratégia de composição os alunos usam o seu conhecimento sobre a adição e subtração para resolver os problemas de proporcionalidade, depois de identificarem a regularidade numérica dentro da razão, que utilizam para de forma aditiva determinarem o valor omisso (Steinthorsdottir, 2006).
(iii) Na fase de maior sofisticação, os alunos usam estratégias multiplicativas para resolver problemas de proporcionalidade direta (Steinthorsdottir, 2006).
É de referir que a estratégia de composição é por vezes identificada como com- posição/decomposição (Christou & Philippou, 2002; Hart, 1984), envolvendo raciocínio aditivo e multiplicativo.
29 Entre os vários estudos conduzidos pelo Rational Number Project, estão identifi- cadas várias de estratégias para resolver problemas de proporcionalidade direta que, de certo modo, corresponde aquelas que Vergnaud (1983) apresenta como possível na sua descrição dos problemas de isomorfismo das medidas. De notar que todas as estratégias seguintes são de natureza multiplicativa.
(i) Estratégia da razão unitária. É indicada como a estratégia mais intuitiva, usada pelas crianças desde o terceiro ano e que corresponde ao cálculo da razão unitária (problemas de divisão). Se necessário, são posteriormente calculados os múltiplos da razão unitária (problemas sobre multiplicação) (Post et al., 1988; Cramer et al., 1993).
(ii) Estratégia do fator de mudança (“fator escalar”, segundo Hart, 1983). É uma estratégia frequentemente equacionada em “tantas vezes como”, pre- sente no reportório de estratégias das crianças e alunos mas a sua utiliza- ção está condicionada pelos aspetos numéricos dos problemas mas presen- te no reportório de estratégias das crianças e alunos (Post et al., 1988; Cramer et al., 1993).
(iii) Estratégia da comparação das razões. Está associada à resolução de pro- blemas de comparação, envolve duas divisões e posterior comparar das razões unitárias;
(iv) Estratégia do algoritmo do produto cruzado, também Estratégia do algo- ritmo do produto cruzado, também conhecida como “regra de três sim- ples”, que embora eficiente é um processo mecânico desprovido de signi- ficado no contexto de um problema;
(v) Estratégia da interpretação gráfica. De facto, gráficos podem ser usados para identificar razões equivalentes ou para identificar a parte omissa em problemas de proporcionalidade direta (Post, et al., 1988). No problema, apresentado pelos autores, “A Sally comprou 5 disquetes por $4,50, quanto custa uma dúzia?”. A representação gráfica da situação é obtida através introdução dos par ordenado da razão conhecida e do par ordenado (0,0) corresponde à situação “não existe compra de disquetes não há custo”, a extensão da reta por este dois pontos (ver a figura 2.10). A equação da reta é y = 90x, isto é o custo é 90 vezes o número de disquetes. 90 é simulta- neamente o preço de cada disquete (razão unitária) e o declive da reta.
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Figura 2.10. - Representação gráfica (Post, Behr & Lesh, 1988, p. 11)
Lamon (1999) refere que a estratégia do produto cruzado não envolve raciocínio proporcional embora o procedimento seja exclusivamente multiplicativo e que existem estratégias alternativas que revelam compreensão mais sofisticadas das relações entre variáveis.
Num estudo em que conjeturam sobre o modo como as crianças raciocinam e constroem esquemas multiplicativos sobre a noção de proporcionalidade direta, Koell- ner-Clark e Lesh (2003) referem que as cinco fases do desenvolvimento proporcional que identificaram, são semelhantes às que se podem identificar quando um aluno resol- ve um problema:
(i) A fase de interpretação do problema que corresponde ao primeiro contacto do aluno com o problema a sua atenção fixa-se frequentemente apenas numa parte dos dados relevantes ou e a sua estratégia é formada a partir de conceitos intuitivos. Segundo estes autores, Thompson (1994), documen- tou esta fase inicial na sua investigação sobre o raciocínio quantitativo dos alunos através do conceito de velocidade. Thompson identificou a primeira fase de interiorização da teoria de desenvolvimento do raciocínio propor- cional de Piaget, uma vez que o aluno deu sentido ao problema através de ideias preconcebidas e incorretas.
(ii) Na fase das relações qualitativas, os alunos estabelecem relações desta natureza entre os dados do problema e revelam não ser capazes de resolver problemas quando é necessário o raciocínio quantitativo. De facto, como já referido anteriormente, segundo Resnick e Singer (1993), as crianças podem raciocinar sobre situações em que estejam envolvidos os conceitos de razão e proporção sem usar números.
31 (iii) A fase da relação “proporcional” aditiva, que corresponde segundo os autores à quantificação das ideias da fase anterior. As crianças são capazes de aplicar regras sobre relações, tais como comparação, aumento, decrés- cimo, esquemas de parte:todo em modelos sobre raciocínio proporcional. Note-se, no entanto, que esta designação desta fase é polémica pois, como sublinham diversos autores, não se trata de um verdadeiro raciocínio pro- porcional.
(iv) A fase do modelo de reconhecimento e replicação indica que as crianças são capazes de construir uma estratégia - organizam a informação de modo a encontrarem um modelo, como uma tabela, um gráfico ou um esquema - que lhes permita escrever a solução do problema. Por outro lado, Kaput e West (1994) definiram duas subfases que podem ser subentendidas na des- crição geral. Uma delas é a “construção coordenada de uma estratégia” que corresponde às características já enunciadas para a quarta fase. A outra subfase é descrita como “construção abreviada de uma estratégia” na qual as crianças fazem uso da multiplicação e da divisão para completar o modelo da estratégia, associando-se esta subfase a um aumento do uso de processos que usam a multiplicação em vez de processos aditivos. Os estudos desenvolvidos por Hart (1988), Kaput e West (1994), Karplus et al. (1983), Lamon (1994) e Resnick e Singer (1993), sobre o raciocínio proporcional e números racionais, documentam bem esta fase.
(v) Finalmente, na fase da compreensão da relação proporcional os alunos compreendem a noção de razão e são capazes de relacionar duas ou mais grandezas. Nesta fase, os alunos revelam compreender a natureza multipli- cativa da relação de proporcionalidade direta.
Por seu lado, Lamon (1993) classifica as estratégias multiplicativas “dentro” e “entre” variáveis, distinguindo assim o raciocínio escalar (transformações “dentro” das variáveis) do raciocínio funcional (estabelece relações “entre” variáveis). Na sua opi- nião, a distinção destes dois tipos de relações pelos alunos é importante e envolve dife- rentes processos cognitivos.
Neste estudo considero que um dos aspetos do raciocínio proporcional é a com- preensão da natureza multiplicativa da relação de proporcionalidade direta, deste modo as estratégias que os alunos usam na resolução de problemas, são indicadoras da com-
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pressão, ou não, essa relação. Segundo Lamon (1997), são indicadores dessa compreen- são da relação multiplicativa a compreensão dos números racionais, da divisão como medida, da divisão por partilha equitativa, das grandezas e da sua mudança e pensar em termos relativos. Deste modo, na construção do quadro de análise dos procedimentos de resolução de problemas de proporcionalidade direta (ver capítulo 4), apenas os proce- dimentos de natureza multiplicativa são indicadores de raciocínio proporcional. No entanto, sabendo que ao longo da sua experiência pessoal e escolar, os alunos desenvol- vem sentido de covariação e invariância das variáveis, considero que os alunos são capazes de resolver problemas de proporcionalidade direta, sem usarem raciocínio pro- porcional, usando estratégias: (i) pré-proporcionais, que são aquelas cujos procedimen- tos revelam a utilização em simultâneo de relações aditivas e relações multiplicativas (por exemplo, metade, dobro e triplo), como as estratégias de composi- ção/decomposição; e (ii) não proporcionais, que são estratégias em que os alunos utili- zam procedimentos de contagem unitária e aditivos.
As dificuldades dos alunos na resolução de problemas de proporcionalidade direta, referidas na literatura, têm várias configurações. Algumas dificuldades são gené- ricas e podem ser identificadas na resolução de problemas em geral enquanto outras coincidem com os fatores que tornam mais complexos os problemas que envolvem a relação de proporcionalidade direta.
De entre as dificuldades de cunho genérico foram identificados dois tipos de erros frequentes na resolução de problemas que envolvem a relação de proporcionalida- de direta: (i) utilização parcial dos dados disponíveis; e (ii) cálculo da diferença entre os valores numéricos da razão ou da proporção para determinar o valor omisso (Inhelder & Piaget, 1958; Tournaire & Pulos, 1985). De facto, um erro frequente é a omissão de dados necessário à resolução de problemas e outro é a utilização de ralações aditivas na resolução de problemas que envolvem relações aditivas. Esta dificuldade não é exclusi- va do isomorfismo de medidas mas verifica-se noutras classes de problemas (Vergnaud, 1983), como no produto de medidas.
O conjunto dos estudos em que se investiga as dificuldades dos alunos específi- cas dos problemas de proporcionalidade direta fez emergir o conhecimento sobre a rede de fatores, alguns indissociáveis e que refletem a complexidade que estes problemas podem ter. Na sua maioria, estes estudos apresentam um ou dois fatores que influen- ciam o desenvolvimento de estratégias dos alunos, pelo que apenas quando tomados em conjunto conseguimos compreender a ampla complexidade que estes problemas podem
33 tomar. Assim, os fatores que complexificam os problemas que envolvem os problemas de proporcionalidade direta mais frequentes na literatura são o contexto, os números e a estrutura numérica, as grandezas e as representações.
O contexto dos problemas diz respeito à descrição do fenómeno descrito no pro- blema, é indicado na literatura como “estrutura contextual”. De facto, os fenómenos descritos nos problemas podem ser muito variados, sendo que alguns são muito com- plexos como os que envolvem fenómenos físicos como balanças de braços (Karplus et al., 1983a). Também os problemas cujos contextos envolvem mistura apresentam difi- culdade para os alunos (Gold, 1978; Noelting, 1980, Karplus et al., 1983a). Lamon (1993), utilizando a sua classificação dos problemas, verificou que os alunos utilizam estratégias mais ou menos sofisticadas em função do contexto dos problemas e verifi- cou, tal como Karplus et al., (1983a), que as estratégias usadas pelos mesmos alunos variam de acordo com a dificuldade que o fenómeno descrito nos problemas representa para eles.
Os números utilizados nos problemas são um outro fator que influencia a com- plexidade dos problemas e consequentemente as dificuldades dos alunos. Por exemplo, Hart (1981) verifica que os alunos lidam melhor com número entre 1 e 30 do que núme- ros menores que a unidade e maiores que 30. Por seu lado, Bell, Fischbein e Greer (1984) indicam que trabalhar com números inteiros é mais fácil para os alunos do que números não inteiros e Noelting (1980a, 1980b) Tourniaire & Pulos, (1985) referem que as razões unitárias facilitam a resolução comparativamente a outros números racionais. Steinthonsdottir (2006, 2010) refere que a estrutura numérica influencia mais o desem- penho dos alunos que a estrutura contextual e que influencia significativamente a com- plexidade dos problemas. Neste estudo, o autor utilizou quatro tipos de problemas con- textuais (Lamon, 1993) adaptando-os de modo a tipificar as seguintes situações: (i) a relação numérica dentro da razão, a relação entre razões e a resposta envolvem números inteiros (I,I,I); (ii) a relação numérica dentro da razão é inteira, a relação entre razões é não inteira e a resposta envolve um número inteiro (I,N,I) ou a relação numérica dentro da razão é não inteira, a relação entre razões e a resposta envolvem números inteiros (N,I,I); (iii) a relação dentro da razão e entre a razão é não inteira e a resposta é um número inteiro (NNI); e (iv) a relação dentro da razão, entre razões e a resposta envol- vem números não inteiros (N,N,N). O autor concluiu que as estratégias mais sofistica- das são utilizadas em problemas que os alunos claramente compreendem ou sabem explicar, sendo que os problemas mais simples são os (I,I,I) e os mais difíceis os
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(N,N,N). Os alunos utilizam frequentemente estratégias multiplicativas para resolver problemas (N,I,I) e (I,N,I). Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock e Verschaffel (2010) concluíram que os desempenho dos alunos, do ensino secundário, está dependen- te da estrutura numérica dos problemas, sendo que as razões inteiras influenciam positi- vamente o desempenho dos alunos ao contrário das razões não inteiras. Nos problemas de proporcionalidade direta em que as razões são não inteiras, os alunos tendem a usar estratégias aditivas.
As grandezas são outro fator referido na literatura, com impacto na complexida- de dos problemas, sendo de referir que a natureza das grandezas está estreitamente rela- cionada com o fenómeno descrito no contexto do problema. Horowitz (1981) refere que as grandezas discretas são facilitadoras da resolução de problemas de proporcionalidade direta comparativamente às grandezas contínuas, pois os alunos são capazes de visuali- zar com mais facilmente as quantidades envolvidas. Pelo contrário, Boyer, Levine e Hut- tenlocher (2008), num estudo desenvolvido com alunos entre os 6 e os 9 anos de idade, concluíram que na resolução de problemas de comparação, os alunos revelam mais dificul- dades nos que apresentam grandezas discretas do que contínuas. Segundo os autores, esta dificuldade resulta da propensão dos alunos em estabelecer relações aditivas em grandezas
discretas em vez de estabelecer relações proporcionais. Fernández, Llinares, Van Dooren,
De Bock e Verschaffel (2010), com base num estudo desenvolvido com alunos da esco- la secundária, verificaram que a natureza das grandezas (discretas e contínuas) não tem influência no desempenho dos alunos em problemas de valor omisso. Estes autores sugerem que a idade e a experiência escolar tornam o desempenho dos alunos indepen- dente da natureza das grandezas (discretas e contínuas).
As grandezas podem ter também uma natureza extensiva ou intensiva. Schwartz (1979, 1981) indica que as grandezas extensivas referem-se apenas uma única entidade (por exemplo, 6 livros) enquanto as grandezas intensivas envolvem um referencial que é a razão entre duas entidades (por exemplo, 12 garrafas por caixa). As grandezas intensi- vas envolvem relações inerentemente proporcionais, por exemplo, a velocidade é dire- tamente proporcional à distância e inversamente proporcional ao tempo e podem ser conceptualizadas como uma razão (Lamon, 2007; Thompson, 1994). Howe, Nunes e Bryant (2010) referem que todas as grandezas intensivas podem ser representadas como razão, enquanto um subconjunto pode ser representado como fração, decimal e percen- tagem. Por isso, indicam que as grandezas intensivas representam um importante cená- rio de aprendizagem dos números racionais, nomeadamente sobre as representações de
35 quantidades e razões. Na sequência de uma experiência de ensino que envolveu a utili- zação de grandezas intensivas, em sete escolas primárias da Escócia, concluem que os alunos tenderam a utilizar resolver com sucesso os problemas utilizando estratégias multiplicativas. Os resultados do pós-teste revelaram um desempenho superior dos alu- nos que trabalharam com grandezas intensivas, face aos alunos que trabalharam a rela- ção parte:todo e o os que pertenceram aos grupos de controlo.
As representações são igualmente referenciadas como um dos fatores que influenciam o desempenho dos alunos. Vergnaud (1979, 1980) defende a importância das representações simbólicas na resolução de problemas. Kieren e Southwell (1979) indicam que a utilização de materiais manipuláveis permite que os alunos mais peque- nos sejam capazes de resolver alguns problemas. Num estudo, em que a balança de bra- ços foi usada, Juraschek e Grady (1981), verificaram que perto de 20% dos sujeitos des- cobriram o princípio do equilíbrio dos braços da balança só depois de utilizaram o mate- rial. Vários estudos têm documentado, a importância da representação em tabela na resolução de problemas que envolvem o campo conceptual da multiplicação, facilitando a transição entre estratégias intuitivas e as mais sofisticadas (Dole, 2008; Lamon, 1999; Lanius & Williams, 2003; Sharp & Adams, 2003; Sellke, Berh & Voelker, 1991).