Na literatura são descritas basicamente duas perspetivas sobre o desenvolvimen- to do raciocínio proporcional – uma indica-o como sendo tardio e outra defende que se desenvolve desde os primeiros anos da infância. De acordo com Piaget e Inhelder (1975), que consideram o raciocínio proporcional como o indicador do estádio formal das operações, as crianças até cerca dos 11 anos de idade são incapazes de raciocinar proporcionalmente. Esta ideia é corroborada por alguns estudos posteriores (Fujimura, 2001). Um exemplo desses estudos, foi desenvolvido por Noelting (1980a, 1980b), no qual apresentou um problema que envolve a concentração de sumo de laranja (por exemplo, 3 copos de concentrado de sumo de laranja e 1 copo de água versus 1 copo de sumo de laranja e 3 copos de água) a alunos com idades compreendidas entre os 6 e 16 anos, tendo verificado que os alunos com menos de 12 anos de escolaridade erram na escolha do sumo tem maior concentração de laranja. Outro estudo, desenvolvido por Falk e Wilkening (1998), indica que os alunos, com idade inferior a 13 anos, são inca- pazes de fazer predições probabilísticas usando proporções num problema que apresenta um conjunto bolas brancas e pretas depositadas num recipiente. Só os alunos com 13
15 anos utilizaram raciocínio proporcional na resolução deste problema. Os erros detetados pelos autores referem a dificuldade na identificação indiferenciada dos subconjuntos das bolas, por parte dos alunos de 6 e 7 anos, e a tomada de decisões com base na diferença entre número de bolas dos subconjuntos, pelos alunos com 9 e 10 anos.
Piaget e Inhelder (1975) reconhecem a possibilidade de as crianças resolverem problemas de proporcionalidade direta corretamente mas justificam esse sucesso como o resultado do uso de estratégias idiossincráticas e de estratégias intuitivas informais. Essas estratégias não refletem a compreensão da relação de proporcionalidade direta, ao contrário daquelas que são usadas pelos alunos, com cerca de 11 anos.
A outra perspetiva defende que as crianças, de forma intuitiva, resolvem certos problemas que envolvem a relação de proporcionalidade direta, sem que esta noção lhes tenha sido ensinada (Schliemann & Carraher, 2006; Spinillo, 1997). Assim, Schliemann e Carraher (1997) acreditam que a criança desenvolve uma compreensão de razão e proporção fora da escola, mas reconhecem que o raciocínio proporcional envolve conhecimentos que podem ser desenvolvidos no âmbito escolar.
Para Resnick e Singer (1993), as crianças constroem o raciocínio proporcional e o conceito de razão de modo intuitivo, com base na sua experiência diária. As autoras afirmam que “as primeiras habilidades para raciocinar não numericamente sobre rela- ções entre quantidades físicas fornecem à criança esquemas relacionais que esta pode vir a aplicar para quantificar numericamente os materiais e, mais tarde, os números co mo objetos matemáticos” (p. 109). Estes raciocínios mantêm-se mesmo quando as crianças sabem contar corretamente em situações de comparação, acréscimo, decrésci- mo e relações parte:todo. Numa fase posterior, estes esquemas já quantificados supor- tam o raciocínio sobre relações numéricas em vez de simples relações entre quantidades materiais. As autoras referem dois tipos de relação entre quantidades físicas sobre as quais as crianças parecem ser capazes de raciocinar corretamente: (i) a relação de ajus- tamento – razão externa “protoquantitativa”, ou seja não quantificada (externa porque envolve dois espaços de medida) – corresponde à ideia de que as “coisas caminham paralelamente porque os seus tamanhos são apropriados um para o outro”; e (ii) a rela- ção de covariância – proporção interna qualitativa (interna porque envolve um só espaço de medida). Colocam também a hipótese da compreensão destas relações ser a base do raciocínio protoquantitativo sobre as relações numéricas (razões). A análise dos proces- sos de estabelecimento de relações entre duas séries numéricas de material quantificado, leva-as a identificar o raciocínio que designam “protorazão”, que faculta muitas vezes a
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resolução correta de problemas envolvendo razões sem que o objeto mental “relação numérica” tenha sido construído. Contudo, quando as crianças começam a quantificar as situações, tendem a abandonar os seus esquemas protoquantitativos e utilizam estraté- gias aditivas.
Na perspetiva de Resnick e Singer (1993), esta situação, repetidamente verifica- da pela investigação, pode resultar do lento desenvolvimento das relações multiplicati- vas protoquantitativas comparativamente às relações aditivas protoquantitativas. No entanto, esta situação pode também ter origem um desfasamento temporal, isto é, quan- do os alunos começam a quantificar os seus esquemas protoquantitativos (ajustamento e covariância) “sabem muito mais sobre as propriedades de composição aditiva dos números do que sobre as suas propriedades de composição multiplicativa (fatorização)” (p. 124). As investigadoras destacam que, desde os primeiros anos de escolaridade, as crianças devem ter experiências de aprendizagem que lhes permitam o uso de estraté- gias de protorazão e outras experiências que lhes facilitem o conhecimento das estrutu- ras multiplicativas.
Um estudo desenvolvido por Singer-Freeman e Goswami (2001) indica que as crianças de 3 anos de idade escolhem corretamente as proporções de piza e rebuçados que tinham sido comidos. No mesmo sentido, aponta o estudo de Sophian e Wood (1997), que revela que as crianças de 7 anos, resolveram corretamente problemas sobre proporções, que envolvem a relação de parte:todo. Por seu lado, Lamon (1993) investi- gou as funções cognitivas e metacognitivas dos alunos com 10 e 11 anos de idade, do 6.º ano, quando resolvem problemas sobre razões e proporções antes do seu ensino for- mal. Segundo a investigadora, os alunos revelam ter um conjunto alargado de conheci- mento prévios que lhes permitem resolver problemas complexos. Este resultado também se aplica à resolução de problemas sobre razões e proporções, na medida que várias das crianças entrevistadas, segundo diz, “mostraram ter um reportório de estratégias podero- sas ao seu dispor” (p. 150). A autora indica também a existência de uma componente metacognitiva mesmo antes dos temas razão e proporção serem abordados em contexto escolar pois, como refere, “as crianças revelaram uma marcada habilidade para monito- rizar e julgar a fiabilidade do seu pensamento” (p. 143).
Alguns estudos procuram conhecer a diferença entre as duas perspetivas sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional, indicadas anteriormente. Em particular, investigaram algumas características dos problemas colocados às crianças e/ou alunos nos diferentes estudos que sustenta o desenvolvimento precoce do raciocínio proporcio-
17 nal ou, pelo contrário, o seu desenvolvimento tardio. Uma das características dos pro- blemas diz respeito à natureza das grandezas utilizadas nos problemas colocados aos alunos. A maioria dos estudos que indica o desenvolvimento tardio do raciocínio pro- porcional, apresentam problemas que envolvem grandezas discretas, nos quais os alunos revelaram dificuldades e, pelo contrário, os estudos que indicam o desenvolvimento precoce apresentam problemas que envolvem grandezas contínuas (Boyer, Levine & Huttenlocher, 2008; Mix, Huttenlocher & Levine, 2002; Spinillo & Bryant, 1999). Estes estudos vão ao encontro do que dizem Sriraman e English (2004), sobre as críticas diri- gidas aos resultados de Piaget e seu seguidores, isto é, a utilização de problemas físicos complexos para conhecer o raciocínio proporcional subestima a influência da estrutura contextual dos problemas. Por exemplo, os problemas cujo contexto envolve uma mis- tura acrescentam mais dificuldade, para os alunos, comparativamente as problemas com outros contextos (Tourniaire & Pulos, 1985).
As duas perspetivas sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional consi- deram o desempenho das crianças e/ou alunos na resolução de problemas específicos que envolvem uma relação de proporcionalidade direta. Deste modo, o desenvolvimento do raciocínio proporcional depende do que é considerado como evidência sobre a sua existência.
Tendo em consideração os inúmeros fenómenos do quotidiano que envolvem relações de proporcionalidade direta, é razoável supor que é através da experiência pes- soal que a criança vai desenvolvendo sentido de covariação e de invariância, aquilo a que Resnik e Singer (1993) designam por “esquemas protoquantitativos”. Estes esque- mas permitem fazer julgamentos proporcionais qualitativos sobre situações do quotidia- no que conhecem. Quando as crianças começam a quantificar as situações, adaptam o seu conhecimento intuitivo sobre covariação e invariância. No entanto, o facto de os alunos responderem intuitivamente a alguns problemas e utilizarem estratégias aditivas na resolução de problemas de proporcionalidade não significa que raciocinem propor- cionalmente. A compreensão natureza multiplicativa da relação de proporcionalidade é a cerne deste aspeto do raciocínio (Behr et al., 1992; Carpenter et al., 1999; Confrey, 1995; Kaput & West, 1994; Karplus et al., 1980, 1983; Lesh et al., 1988; Noelting, 1980a, 1980b; Pulos et al., 1981; Resnick & Singer, 1993; Singh, 2000; Vergnaud, 1983). Tendo em consideração que o início do ensino formal da noção de multiplicação e divisão, ocorrer no 2.º ou 3.º ano de escolaridade, é de prever que três anos após (cerca de 10-11 de idade) o aluno detenha conhecimento sobre estruturas multiplicativas. É
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este conhecimento, fortemente condicionado pela experiência escolar, que permite aos alunos de 10-11 anos usar estratégias proporcionais (multiplicativas) na resolução de problemas de proporcionalidade direta. Resumindo, neste estudo assumo que o desen- volvimento do raciocínio proporcional inicia-se na infância, está dependente da expe- riência pessoal e escolar do aluno, sendo esta última associada ao conhecimento das estruturas multiplicativas, que os alunos devem ter aos 10-11 anos e dependente da complexidade dos problemas colocados - contexto, dados e estrutura numérica, as gran- dezas e as representações. Por isto, o desenvolvimento do raciocínio proporcional é len- to e fortemente condicionado.