Muita da atividade com os números nos primeiros anos é concebida para ajudar os alunos a tornarem-se proficientes no cálculo com números com um dígito, nomeadamente, no domínio de somas e diferenças (Kilpatrick et al., 2001). Durante muitos anos, o ensino do cálculo com este tipo de números baseou-se sobretudo na memorização de factos numéricos básicos, feitos através do treino e prática repetida. Recentemente, as abordagens de ensino têm colocado grande ênfase no desenvolvimento gradual destes factos através de procedimentos informais e inventados pelos alunos.
Durante muito tempo, o ponto de vista e a prática relacionada com o desenvolvimento da compreensão do conceito de número foi fortemente influenciada pela teoria de Piaget, onde as operações lógicas, que incluíam a classificação, seriação e conservação, foram consideradas fundamentais na compreensão dos números. Como referem Verschaffel et al. (2007), muitos educadores acreditaram que era impossível os alunos aprenderem os números de uma forma significativa sem terem atingido o estádio pré-operatório, por volta dos 6-8 anos, enquanto as operações lógicas não fizessem parte das suas estruturas de uma forma integrada. Nos últimos 25 anos, a investigação tem questionado este papel das operações lógicas no desenvolvimento da compreensão dos números e das operações e tem mostrado, ao mesmo tempo, a importância do conhecimento processual e conceptual da contagem para este desenvolvimento.
Para além dos estudos desenvolvidos relacionados com os conceitos básicos de número, existem muitos outros que se debruçaram sobre o desenvolvimento dos processos de contagem na resolução de problemas de adição e subtração. Um desses estudos foi desenvolvido por Carpenter e Moser (1983, 1984). Estes autores identificaram três níveis de desenvolvimento da contagem tendo em conta os procedimentos empregues pelos alunos na resolução de problemas de adição e subtração: (i) baseados na modelação direta com os dedos das mãos ou objetos físicos, (ii) baseados no uso da sequência de contagem e (iii) baseados na lembrança de factos numéricos.
No primeiro nível, através do procedimento contar todos - os objetos físicos ou os dedos são usados para representar cada parcela e depois é contada a união de dois conjuntos, começando do 1. Uma vez que os dois conjuntos tenham sido construídos, os objetos podem fisicamente ser juntos movendo-os juntos ou adicionando um conjunto a outro, ou o total pode ser contado sem juntar fisicamente os conjuntos. Esta distinção pode ser importante. O primeiro caso poderá exprimir melhor a ação de problemas de mudar juntar ao passo que o segundo poderá expressar melhor as relações estáticas implícitas nos problemas de combinar. Geralmente, os alunos não distinguem estes dois significados
mudar juntar ou combinar.
No segundo nível, referem os seguintes processos: contar a partir do primeiro número – por exemplo, 2 + 3, diz dois, três, quatro, cinco, são cinco e contar a partir do número
maior – por exemplo, 3 + 2, começar a partir do três. Estes dois procedimentos de
contagem são mais eficientes e implicam uma menor aplicação mecanicista de contagem. Aplicando estes processos, uma criança reconhece que não é necessário reconstruir a sequência de contagem completa. No contar a partir do primeiro número, uma criança começa a contar colocando em evidência a primeira parcela do problema. O processo de
contar a partir do número maior é idêntica exceto que os alunos começam a contar para a
frente com a maior das duas parcelas.
Carpenter e Moser (1983) registaram uma tendência acentuada para as crianças contarem para a frente todos os subtipos de problemas exigindo subtração (tendo uma parcela desconhecida). De forma semelhante, Fuson (1992) concluiu que muitas crianças que aprenderam a sequência de contar para a frente para resolver problemas numéricos de subtração tal como 14 – 8 contaram para a frente também para resolver diferentes tipos de
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problemas de subtração, mas modelaram diretamente esses problemas quando lhes foi pedido para resolverem usando objetos.
No terceiro nível, usar factos de adição conhecidos, dobros – saber de cor 2 + 2, 3 + 3, 5 + 5 …. E usar factos deduzidos. Estes autores defendem que a aprendizagem de factos numéricos básicos deve ser desenvolvida durante algum tempo, para que os alunos resolvam problemas simples de adição e subtração lembrando combinações de números mais do que utilizando a modelação ou contagem.
Certas combinações de números são aprendidas mais cedo do que outras e antes que os alunos tenham completamente dominado as suas tabelas de adição. Muitos alunos aplicam um pequeno conjunto de factos memorizados para obter soluções de problemas de adição e subtração envolvendo outras combinações de números. Estas soluções, usualmente, são baseadas nos dobros ou números que somam 10. Por exemplo, para determinar 6 + 8 = ? uma criança pode responder que 6 + 6 = 12 e 6 + 8 é justamente 2 a mais que 12. Num exemplo envolvendo a operação 4 + 7 = ? a solução pode envolver a seguinte análise: 4 + 6 = 10 e 4 + 7 é 1 a mais.
Outro estudo foi proposto por Fuson (1992) e apresenta três níveis de desenvolvimento da contagem tendo em conta os processos de cálculo empregues pelos alunos ao resolverem problemas de adição e subtração que, em certa medida, correspondem aos enunciados por Carpenter e Moser (1983, 1984).
No primeiro nível, unidades percetuais - a construção pelas crianças das situações, números e procedimentos de resolução constituem um todo que é complexo e interrelacionado e em que o significado de adição e subtração é tomado diretamente da situação problema e modelado com entes. Assim, não admira que as crianças resolvam esses problemas corretamente sem primeiro escreverem uma expressão do procedimento de solução correta (por exemplo, 7 – 2), como frequentemente é exigido na escola. Tais expressões são redundantes e desnecessárias para os problemas resolvidos pela modelação direta.
No entanto, Carpenter, Moser e Bebout (1988) consideram que escrever expressões numéricas para representar os problemas de adição e subtração com pequenos números pode não ser necessário, mas que pode também ser importante esse registo na medida em que pode ser “o primeiro passo na aprendizagem para representar matematicamente os problemas” (p. 345). Estes autores consideram que os alunos a quem ensinaram expressões
numéricas de forma standard (a + b = ? e a - b = ?) não têm dificuldades em expressar os problemas que descrevem ações de retirar e juntar, mas que revelam dificuldades em exprimir muitos outros tipos de problemas. Tal facto, pode ocorrer porque “as representações que lhes ensinaram (a + b e a - b) não correspondem à sua interpretação do problema” (idem, p. 347).
Há menos informação disponível acerca de procedimentos de subtração por modelação direta do que de adição. Em situações de resolução de problemas, as crianças realizam subtrações através de três procedimentos da parcela desconhecida por correspondência. No
retirar a, as crianças fazem a soma conhecida e depois tiram os entes da parcela dada da
soma, deixando os entes da parcela desconhecida para serem contados. No adicionar até, eles modelam a parcela conhecida depois contam um objeto de cada vez ao conjunto inicial até ser atingida a soma. No separar a, as crianças modelam a soma dada, contam os entes da parcela conhecida e tiram o resto para fora, depois, contam o resto para encontrar a parcela desconhecida. Na correspondência, eles modelam a soma conhecida e a parcela conhecida, modelam estes dois conjuntos e depois contam-nos fazendo a correspondência um-a-um (Fuson, 1992).
No segundo nível - procedimentos de contagem abreviada de sequências - os procedimentos de sequência, contagem para a frente a partir de e a sequência contagem
para a frente para são abreviaturas do primeiro nível de procedimentos de contagem de
objetos contar todos e adicionar até a. Em ambos os procedimentos, a contagem da primeira parcela é abreviada para dizer a primeira palavra da parcela, como “8, 9, 10, 11, 12, 13, 14”. Dizendo estas palavras, está a contar a sequência de contagem para a frente para encontrar a solução de 8 + 6, quando as palavras são acompanhadas por um método de registar na mente as seis palavras contadas depois do 8. As mesmas palavras são as da sequência de contagem para a frente para achar 14 – 8 quando é usado um processo para saber quantas palavras foram ditas depois de 8 e até chegar ao 14 (por exemplo, indicando os dedos).
Todos os três procedimentos contar para a frente para, contar para trás e contar para trás
para podem ser utilizados para encontrar qualquer resposta para a subtração, mas os
procedimentos disponíveis para a criança são obviamente restringidos pelo significado de uma situação de parcela desconhecida. Esta questão tem ramificações de ensino importantes, dado que há uma considerável evidência que a contagem para trás é mais
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difícil e propensa a erros do que contar para a frente (Baroody, 1984; Carraher, Carraher, & Schliemann, 1985; Fuson, 1992). Primeiro, porque contar para trás é muito mais difícil do que contar para a frente. Segundo, há dois procedimentos diferentes de contar para trás que os alunos tendem a confundir. Para determinar 13 – 5, podemos dizer (e pensar) “13, 12, 11, 10, 8 (5 palavras tiradas de treze palavras, 8 (palavras deixadas como resposta)” ou “12 (uma tirada), 11, 10, 9, 8 (cinco tiradas, então 8 é a resposta)”. Os alunos, frequentemente, combinam partes destes dois procedimentos para obterem uma resposta (Carraher et al., 1985; Fuson, 1992).
Na resolução de problemas, a relativa facilidade de contar para a frente conduz muitas crianças a escolhê-la preferindo-a à contagem para trás quando as suas estruturas conceptuais são suficientes para as libertar da modelação direta. As crianças usam a contagem para a frente mesmo nos problemas de tirar (Carpenter & Moser, 1984; Fuson, 1992). Baroody (1984) e Cobb (1985) sugerem que, nos primeiros anos, os alunos podem aprender a dar ao sinal “–“ o significado de contar para a frente e assim podem contar para a frente para resolver problemas onde aparece o sinal de subtração. Segundo estes autores, este processo pareceria vantajoso face às dificuldades apresentadas por alguns alunos. No terceiro nível referido por Fuson (1992) - procedimentos de factos deduzidos e de
factos conhecidos – os procedimentos de sequência abreviados são decomposições dentro
dos procedimentos de factos deduzidos em que os números num dado problema são decompostos para se tornarem em números cuja soma ou diferença é já conhecida. Neste nível, os alunos já criaram estruturas que lhes permitem construir, simultaneamente, representações mentais dos números e da soma. As estratégias associadas ao terceiro nível são identificadas por factos conhecidos e factos derivados (idem, 1992). Esta autora considera que alunos médios do 2.º ano podem aprender factos deduzidos e que esta aprendizagem não depende de já conhecerem estratégias de contagem avançadas. Contudo, a aprendizagem de factos deduzidos da subtração é consideravelmente mais difícil do que aprender factos deduzidos da adição.
Relembrar factos para alguns números coexiste com outros procedimentos em todos os níveis. Uma criança pode saber 1 + 1 = 2 ou 2 + 2 = 4 enquanto ainda conta todos para encontrar a soma de outros pares de números. Fuson (1992) refere que alguns estudos mostraram que os dobros (a + a ou 2 a – a) são mais fáceis de aprender do que muitas outras combinações e que determinadas somas para parcelas maiores levam mais tempo do
que fazer com números mais pequenos. Refere que as crianças só perto do 3.º ano somam e subtraem muitas combinações utilizando procedimentos de contagem, mas as crianças em anos mais avançados e principalmente adultos usam factos relembrados.
Também Baroody (1984) considera que algumas dificuldades que os alunos revelam em problemas de subtração podem ser devidas a dificuldades em calcular mentalmente (N-1 ou N+1) dado que a facilidade com este tipo de cálculo é uma componente chave (o 1º passo) na contagem para trás e na resolução de problemas com menos dois ou mais dois. Para melhorar as suas competências na contagem para trás, os alunos “devem não somente ser capazes de contar por ordem decrescente, mas também serem capazes de o fazer com relativa facilidade” (p. 208).
Devido a uma maior dificuldade dos alunos em resolverem problemas de subtração, Kamii et al. (2001a) afirmam que, dada a sua complexidade, é importante não enfatizar tanto a destreza na subtração nos primeiros anos e enfatizar a adição. Estes autores acreditam que “se uma criança ser tornar fluente na adição, ela mais tarde tornar-se-á fluente na subtração” (p. 41). Dada a dificuldade encontrada na subtração em vários estudos realizados por estes autores, o que acontece é que muitas vezes os alunos aplicam a adição para responder a problemas de “subtração”.
Os procedimentos descritos por Thompson (1999a) relativamente à subtracção não diferem muito dos enunciados por Carpenter e Moser (1983, 1984) e Fuson (1992). Utilizando o exemplo 9 – 3, os procedimentos que identificou foram: tirar ou retirar, os alunos contaram 9 dedos, tiraram 3 e depois contaram os restantes; contar para trás de, os alunos disseram 9 e contaram para trás, oito, sete, seis … são seis; contar para trás para, em que o aluno disse 9 e depois contar para trás até ao três “oito, sete, seis, cinco, quatro, três”;
contar para a frente, o aluno diz “três” e conta para diante o nome de mais seis números,
quatro, cinco, seis, sete, oito e nove; usar um facto de subtração conhecido, usa factos deduzidos como para a adição.
Outros investigadores (Kilpatrick et al., 2001) consideram que os alunos percorrem três níveis de desenvolvimento da contagem quando resolvem problemas de adição, como fazendo parte de uma progressão na aprendizagem da adição e exemplificam como se observa na figura 2.7.
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Figura 2.7 – Progressão da aprendizagem para a adição (Adaptado de Kilpatrick et al., 2001, p. 187)
Através desta progressão de aprendizagem, somas específicas progridem para categorias que são rapidamente lembradas em vez de resolvidas através de formas mais elementares. Os professores devem ajudar os alunos a aprender procedimentos que são conceptualmente mais eficientes (tais como, contar a partir da parcela maior) em vez de contar todos.
Relativamente aos processos de contagem na subtração, Kilpatrick et al. (2001) também consideram estes níveis como fazendo parte de uma progressão na sua aprendizagem, exemplificando como mostra a figura 2.8.
Contar todos Contar a partir de Estratégias de pensamento
Lembrar (1+1, 2+1, etc.). Lembrar (Pequenos totais) Lembrar (vários totais)
Fazer através do 10: 9+6 = 10+5= 15 Dobros: 6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 =13
Figura 2.8 – Progressão da aprendizagem para a subtração (Adaptado de Kilpatrick et al., 2001, p. 190).
Segundo estes autores, as experiências que focam as relações parte-todo são igualmente importantes para ajudar os alunos a desenvolver procedimentos de pensamento mais eficientes, especialmente para a subtração. Os alunos podem observar problemas de juntar ou separar e identificar qual o número que representa o todo e qual o número que representa a parte. Estas experiências dão oportunidades aos alunos para verem como a adição e a subtração estão relacionadas e ajudá-los a reconhecer quando adicionar e quando subtrair. Aprender a ver as relações parte-todo em situações de adição e subtração é uma das mais importantes habilidades na aritmética.
Esta progressão no desenvolvimento da contagem com números de um só dígito é também referida por Verschaffel et al. (2007) e é muito similar à apresentada por outros investigadores (Fuson, 1992; Kilpatrick et al., 2001; Moser & Carpenter, 1983, 1984; Thompson, 1999a). Por exemplo, para adicionar 3 + 4 referem os seguintes níveis: (i)
contar todos. Iniciar com a contagem de um conjunto de 1, 2, 3, blocos, depois adicionar 1,
1, 3, 4, blocos ao grupo de 3 blocos e, finalmente, contar o total; (ii) contar sem a ajuda dos materiais, por exemplo (1, 2, 3 …. 4, 5, 6, 7); contar a partir da 1.ª parcela (3, … 4, 5, 6, 7);
Retirar Contar até a Estratégias de pensamento
Acima de 10: 15 - 9 como
9 + 1 (para 10) + 5 (para 15), são 6
Abaixo de 10: 15 - 9 como
5 (de 15 para trás até 10) + 1 = 6
Dobros: 13 - 7 como
7 + 7 = 14, são 6 porque 13 é menos 1 do que 14
Lembrar (2-1, 3-1, etc.) Lembrar (pequenos números) a) como subtrações b) relacionado com a adição
(5+ ?= 8 para 8-5)
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conhecimento de factos derivados (3 + 4 = [3 + 3] + 1 = 6 + 1 = 7; e (iii) numa fase final, o uso adequado de factos básicos
Na mesma linha das ideias defendidas pelos autores referidos, Treffers e Buys (2001) consideram a existência de três níveis de cálculo que se vão desenvolvendo desde o pré- escolar e que envolvem todas as operações, nomeadamente, a adição e subtração, o cálculo
por contagem, o cálculo por estruturação e o cálculo formal.
Cálculo por contagem, apoiado em materiais que permitam a contagem;
Cálculo por estruturação, sem recorrer à contagem e com o apoio de modelos adequados;
Cálculo formal, com utilização dos números como objetos mentais para atingir competências de cálculo inteligentes e flexíveis, sem necessidade de recorrer a materiais estruturados.
O cálculo por contagem corresponde ao primeiro nível da adição e subtração. Inicialmente,
os alunos têm uma grande tendência para resolver os problemas recorrendo à contagem apoiando-se nos dedos das mãos, o que pode ser efetuado de diversas maneiras. Muitos alunos tendem a recorrer à contagem 1 a 1, por vezes, durante bastante tempo apoiando-se nos dedos das mãos. Este nível é, de algum modo, coincidente com o primeiro nível,
unidades percetuais encontrado em Fuson (1992), na modelação direta referido por
Carpenter e Moser (1983) e o primeiro nível referido por Kilpatrick et al. (2001) e Verschaffel et al. (2007).
No cálculo por estruturação, os alunos já não recorrem à contagem de um em um e usam
três procedimentos fundamentais: os saltos de dez, os saltos através do dez e a decomposição das parcelas. Os dois primeiros procedimentos correspondem ao cálculo em reta e, muitas das vezes, os alunos utilizam a reta não graduada nestas situações. Como refere Klein et al. (1998), o cálculo estruturado é apenas um passo intermédio para o cálculo formal. Também este nível é muito similar ao referido pelos autores citados anteriormente, embora sem a ênfase dada à reta não graduada.
No cálculo formal, os alunos já não precisam de qualquer tipo de ajuda na visualização da contagem, dado que já conseguem efetuar os cálculos mentalmente, na sua totalidade, registando apenas os passos intermédios. A passagem do nível estruturado para o nível formal é feita gradualmente pelos alunos e ao longo do tempo. São eles que sentem
necessidade de desenvolver os seus próprios procedimentos baseados na estrutura dos números e nas propriedades das operações.
No estudo que irei realizar, terei em atenção os níveis de desenvolvimento da contagem enunciados pelos vários autores (Carpenter & Moser, 1983, 1984; Fuson, 1992; Kilpatrick et al., 2001; e Verschaffel et al., 2007) e mais especificamente, os referidos por Treffers e Buys (2001), cálculo por contagem, cálculo por estruturação e cálculo formal.
2.2.4. Estratégias e procedimentos de cálculo para a adição e subtração com números