Persondosimetri

Uma das questões que se deve discutir é o papel do algoritmo convencional na aprendizagem da adição e subtração. O que fazer por exemplo, perante a seguinte adição: 3996 + 4246 = ….? Tirar papel e lápis? É o algoritmo a melhor estratégia? O que significa calcular com sentido de número? Segundo Fosnot e Dolk (2001), “olhar primeiro para o número” (p. 115) e decidir uma estratégia, por exemplo, 3996 é perto de 4000, retirar 4 de 4246 e então teremos 4000 + 4242 – o que será fácil de calcular mentalmente.

O anterior programa de Matemática (DGEBS, 1990) referia o algoritmo da adição e subtração a partir do 2.º ano de escolaridade, alertando para o facto de que a “verdadeira aprendizagem é pouco significativa quando o objetivo é apenas o treino de uma habilidade” (p. 133). Este programa sugeria ainda que a aprendizagem do algoritmo deve surgir sempre “como resultado de um longo trabalho com os números e as operações” (ibidem, 133). De facto, a realidade das nossas salas de aula de matemática nem sempre refletiu esta perspetiva.

Sabemos que no nosso país o ensino das operações tem sido muito influenciado pelo trabalho de sala de aula em torno do algoritmo (Brocardo et al., 2003). Este tem sido visto mais como “um objetivo de ensino”, o que tem levado a que este assunto não seja muito

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questionado, embora os seus efeitos e os seus resultados na aprendizagem da matemática tenham vindo a ser postos em causa.

Tal como refere Beishuizen (2003) todo um trabalho baseado nos números e nas suas relações ajuda mais os alunos na sua compreensão do que a introdução prematura dos algoritmos. O conhecimento e a destreza com as operações que os alunos devem construir implicam que percebam o efeito das operações, as suas propriedades e as relações entre elas. É fundamental que os alunos, perante situações de cálculo concretas, sejam capazes de mobilizar o conhecimento que têm sobre os números e as operações e o apliquem de uma forma flexível e eficaz, relacionando o contexto com as estratégias e os procedimentos usados (McIntosh et al., 1992).

O PMEB (ME, 2007) propõe a introdução dos algoritmos da adição e subtração para mais tarde, no 3º ano de escolaridade. Na minha perspetiva, esta mudança de ano de escolaridade não resolve os problemas relacionados com a opção pelo algoritmo se não for acompanhada de uma nova abordagem das operações e da sua construção algorítmica. A nível internacional, vários estudos têm vindo a questionar a importância do algoritmo na aprendizagem da matemática. Por exemplo, Carraher e Schliemann (1985) concluíram, após algumas investigações, que os alunos que utilizaram os seus próprios processos têm respostas mais corretas do que aqueles que tentaram aplicar algoritmos convencionais, salientando que “os algoritmos eram um obstáculo mais do que uma ajuda” (p. 131). Este aspeto foi igualmente salientado no estudo realizado por Carpenter et al. (1997), tendo concluído que os alunos que recorreram a procedimentos inventados mostraram significativamente menos erros do que os que optaram pelos algoritmos. Estes, além de cometerem mais erros, não usaram procedimentos flexíveis para resolver muitos dos problemas propostos.

Também Kamii e Dominick (1998), concluíram que os alunos a quem nunca tinha sido ensinado qualquer algoritmo e que recorreram aos seus próprios processos, têm respostas mais corretas e têm melhor conhecimento do valor de posição dos números. Estes autores reforçam a ideia de que os algoritmos podem encorajar os alunos a desistir dos seus próprios pensamentos e dos seus próprios processos dado que eles são, muitas vezes, alicerçados em mecanizações em que, esquecendo um passo, a nada mais podem apelar para continuar o trabalho. Por isso, segundo aqueles autores, é importante que os alunos tenham tempo para criarem confiança nas suas capacidades matemáticas, desenvolvendo e

pondo em ação os seus próprios processos de raciocínio para poderem, através deles, dar mais sentido à Matemática.

Há, de algum modo, a ideia de que os algoritmos são prejudiciais ao desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos (Kamii, 1994), embora sejam uma componente essencial da matemática, estes não podem ser apresentados de uma forma ”acabada”. Ensinar aos alunos algoritmos que não compreendem e que não foram desenvolvendo, não contribui para o conhecimento matemático global dos alunos (Fosnot & Dolk, 2001).

Kamii e Dominick (1997) afirmam que quando os alunos pensam por si próprios tornam-se mais confiantes nas suas capacidades matemáticas e conseguem desenvolver níveis superiores de pensamento que ficam enraizados no seu próprio pensamento. A forma natural dos alunos é pensar acerca dos números da esquerda para a direita. “O algoritmo convencional leva os alunos a desistirem deste pensamento” (p. 58) e a proceder da direita para esquerda, considerando os algarismos em cada coluna como unidades simples.

Segundo estes autores, este processo leva a que os alunos não desenvolvam dois aspetos fundamentais na aprendizagem da matemática, raciocínio matemático e um maior sentido de número. Segundo eles, este facto deve-se aos três tipos de conhecimento que Piaget identificou: conhecimento físico, conhecimento lógico-matemático e conhecimento social-

convencional. O conhecimento físico está nos objetos. O conhecimento social-

convencional está assente em regras sociais e a principal fonte deste conhecimento é parcialmente convencionada pelas pessoas. O conhecimento lógico-matemático consiste essencialmente nas relações mentais e nas ações mentais de cada pessoa. Este facto leva a que quando tentamos ensinar os alunos a estabelecer relações entre números (conhecimento lógico-matemático) ensinando-lhes os algoritmos (conhecimento social- convencional) “redirecionamos a sua atenção tentando que compreendam os números relembrando-lhes procedimentos mecanizados” (p. 58).

Noutro estudo desenvolvido por Reys (1998) para avaliar o sentido de número dos alunos tailandeses concluiu que estes eram muito competentes no cálculo de papel e lápis, isto é, nos algoritmos standard, mas não tão competentes no uso de abordagens com outro tipo de cálculos. Este estudo também mostrou que os alunos que fizeram parte dele não demonstraram possuir componentes essenciais do sentido de número, por exemplo, o uso de números de referência bem como a compreensão da grandeza relativa dos números.

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Estes resultados apoiam o que afirmam McIntosh et al. (1992), que uma boa competência no cálculo escrito não é necessariamente acompanhada pela noção de sentido de número. Estes resultados dão credibilidade à ideia que, mais do que memorizar e treinar um conjunto de factos e procedimentos de cálculo e até um conjunto de conceitos isolados, o importante é criar nos alunos uma predisposição para a Matemática e permitir que a aprendizagem se faça não de uma forma passiva e isolada, em dias determinados, em planos pré-concebidos, mas sim em contextos e oportunidades que surgem naturalmente (Abrantes et al., 1999).

É hoje reconhecido que o tempo gasto na escola em cálculos complicados de papel e lápis é muito menos importante fora da escola do que no passado. Este tempo pode ser melhor utilizado com outros tópicos matemáticos, nomeadamente, na resolução de problemas, no cálculo mental, na estimação, na análise de dados, etc. (NCTM, 1991). Hiebert (1984) e Cobb (1995) consideram que deve haver uma mudança no tratamento dos algoritmos na sala de aula de matemática, para uma abordagem que encoraje os alunos a usar estratégias e procedimentos muito mais sofisticados de contagem. No mesmo sentido, Romberg e Collis (1985) referem que era importante reexaminarmos as relações entre o ensino dos algoritmos e a sua aplicação, “talvez a ênfase nos procedimentos algorítmicos de papel e lápis seja inapropriada na fase inicial do desenvolvimento dos alunos” (p. 381) para melhor compreenderem os processos de adição e subtração. No mesmo sentido, Treffers (1991a) defende que “no 1.º, 2.º e 3.º anos de escolaridade não há espaço para os algoritmos formais” (p. 48), devendo ser dada uma maior atenção ao desenvolvimento do cálculo mental.

Mas, o que é um algoritmo? Thompson (1999b) refere uma conceção abrangente de algoritmo, considerando três categorias de algoritmos escritos: standard e formal, não standard e não formal e não standard e informal. A primeira categoria diz respeito aos algoritmos tradicionais/convencionais das operações, caracterizados por uma representação escrita vertical e por efetuarem cálculos com os dígitos. Esta autora refere que existem aspetos específicos destes procedimentos escritos standard que causam algumas dificuldades, sobretudo, o facto de serem simbólicos e abreviados e pela sua verdadeira natureza envolver a “manipulação pura de símbolos sem referência a significados particulares, os quais o sistema de valor de posição atribui a esses símbolos individuais (idem, p. 173).

Na segunda categoria, não standard e não formal, esta autora inclui as representações verticais em que os procedimentos operam sobre decomposições dos números. Este processo e todos os processos não standard são baseados nas ideias que apoiam muitas dos procedimentos mentais informais que os alunos usam.

Por exemplo, para calcular 358 + 237, opera-se com as decomposições dos números em centenas, dezenas e unidades do seguinte modo:

3 5 8 + 2 3 7 500 80 15 595

A vantagem deste algoritmo é que o aluno lida inicialmente com a parte do número que ele diz primeiro, ou seja, neste caso, 300 + 200; 50 + 30; 8 + 7. Este algoritmo não envolve a linguagem normalmente associada ao algoritmo escrito convencional, onde há uma ênfase forte na manipulação dos símbolos que conduz a frases tal como “ 5 e 3 são 8” etc, e mesmo frases como “põe o 5 e vai 1” (idem, p. 175).

Na terceira e última categoria, não standard e informal inclui um conjunto de procedimentos que Thompson (1999b) exemplifica da seguinte maneira:

37 + 28 = ? 85 - 37 = ?

30 + 20 = 50 85 - 30 = 55

57 + 3 = 60 55 - 5 = 50

60 + 5 = 65 50 - 2 = 48

Uma das características destes exemplos é a extensão do modelo dos processos escritos dos procedimentos de cálculo mental dos alunos. Os símbolos escritos no papel constituem um pouco mais do que uma expressão escrita do pensamento do aluno.

Outros autores, Treffers, Nooteboom e Goeij (2001) referem que os algoritmos são “receitas” para calcular com números com vários dígitos. Estes autores, um pouco como é

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cálculo em coluna é caracterizado não tanto pela representação vertical, mas pelo facto de aplicar a decomposição decimal (splitting), usando o valor posicional dos números quando calculam os resultados intermédios, trabalhando do número maior para o mais pequeno, da esquerda para a direita (Tabela 2.2). Este facto contrasta com os algoritmos convencionais, os quais se executam com dígitos, do mais pequeno para o maior, da direita para a esquerda.

Tabela 2.2 – Transição do cálculo em coluna até ao algoritmo como adotado na EMR (Adaptado de Treffers et al., 2001, p. 147)

(1) Cálculo em coluna (2) Transição do cálculo por coluna para o algoritmo (3) Algoritmo 4 6 3 +3 8 2 7 0 0 1 4 0 ____ 5 8 4 5 4 6 3 +3 8 2 5 1 4 0 ___ 7 0 0 8 4 5 1 4 6 3 +3 8 2 8 4 5

Na situação 1), o primeiro passo é empregar o procedimento splitting do número maior para o mais pequeno e depois os resultados intermédios são combinados (700 … 840 … 845). Na situação 2), verifica-se a mudança de ordem de cálculo em que o procedimento de cálculo é feito da direita para a esquerda. Na situação 3), deixa-se de operar sobre o valor posicional dos números (400 + 300; 60 + 80) e passa-se a operar com dígitos individuais. Para estes autores, o algoritmo é considerado como uma extensão natural e o passo final do cálculo em coluna e do cálculo mental. É, assim, o resultado da transformação do cálculo mental por decomposição com números inteiros em cálculo posicional sobre dígitos. Daí, considerarem que o cálculo em coluna (mental) e o cálculo algorítmico estão de algum modo relacionados.

Como conclusão, podemos dizer que para Thompson (1999b) os processos de cálculo mental são considerados algoritmos, tal como o uso de procedimentos que se apoiam no cálculo em reta e no uso de propriedades e relações. O importante é que os alunos vão desenvolvendo o conhecimento dos números e das operações de adição e subtração. É

essencial que o ensino se centre nos procedimentos e estratégias de cálculo com números inteiros, de modo que os alunos desenvolvam flexibilidade e destrezas de cálculo (NCTM, 2007). Assim, deve ser discutida a eficácia dos diversos procedimentos, tal como a sua possibilidade de generalização.

Em experiências realizadas em aulas centradas no desenvolvimento e discussão de procedimentos de cálculo, o surgimento de vários processos de cálculo aproximaram-se muito dos algoritmos tradicionais. O importante é “os alunos irem adquirindo destreza no cálculo mental, apoiados na compreensão dos números e das operações (NCTM, 2007, p. 38). “Os algoritmos não devem ser o foco central do currículo e devem decorrer de um longo trabalho centrado no desenvolvimento do sentido de número” (Brocardo & Serrazina, 2008, p. 106). Como referem estas autoras, “é importante que a aprendizagem dos algoritmos possa decorrer deste processo, dando possibilidades aos alunos de aperfeiçoarem o seu sentido de número no contexto do cálculo algorítmico (ibidem, p. 106).