Samtale A

A ideia de que se tornava necessária uma renovação no ensino da Matemática, desenvolve-se no período pós segunda guerra e ao longo da década de 50, particularmente, em diversos países europeus e nos Estados Unidos da América (Guimarães, 2007). Com efeito, durante os anos 50 foram ocorrendo variadas iniciativas que tinham em comum a intenção de modificar o ensino da Matemática. Em 1950, é fundada a Commission Internationale pour l’Étude e l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques (CIEAEM). Participarão desta comissão Choquet, Piaget e Gattegno, entre outros. Nos Estados Unidos da América, em 1957, desenvolve-se o Projecto Madison e, em 1958, inicia-se o programa School Mathematics Study Group, que estimulou a inclusão de novos tópicos no currículo da escola elementar. Os conjuntos aparecem como tema unificador188 _{(Matos, 1989).}

Este movimento internacional conduziu a uma reforma curricular, que ocorre em vários países entre a segunda metade da década de 50 e a primeira metade dos anos 70, do séc. XX, e que recebeu o nome de reforma da Matemática Moderna (Matos, 2006). Segundo Matos (2006), um traço marcante da nova Matemática escolar, era a apresentação da disciplina de modo unificado, recorrendo à linguagem dos conjuntos e privilegiando o papel das estruturas (anel, corpo, entre outras), sentindo-se aqui os trabalhos de unificação do conhecimento matemático desenvolvido pelo grupo Bourbaki189_{. Para o mesmo autor, um segundo traço consistiu na} preocupação em conciliar o currículo de Matemática com as investigações de Piaget, que apresentavam a uma correspondência entre as estruturas matemáticas (estruturas algébricas, estruturas de ordem e estruturas topológicas) e os mecanismos operatórios da inteligência.

Guimarães (2007) aponta três ideias chave na concepção bourbakista da Matemática: a unidade da Matemática, o método axiomático e o conceito de estrutura matemática. Para o grupo Bourbaki, a evolução interna da Matemática só tinha vindo acentuar a unidade das várias partes e a coerência de um núcleo central. Para este grupo, segundo Guimarães (2007), o

188 _{Em Matos (1989) encontra-se uma cronologia de iniciativas no sentido de modificar os currículos e os métodos de}

fortalecimento da unidade da Matemática era garantido pelo recurso ao método axiomático, que emergiria como o método da Matemática. Para além de conceber a Matemática como uma ciência com um método próprio, o grupo Bourbaki vai igualmente evidenciar os objectivos próprios desta ciência, destacando-se a ideia da estrutura. Nesta perspectiva, as estruturas são consideradas como as entidades básicas da Matemática, esta ciência estuda estruturas.

As estruturas matemáticas começam com um conjunto de elementos cuja natureza não é especificada, então, uma ou várias relações entre esses elementos são adicionadas e postulados são acrescentados para que uma dada relação possa ser satisfeita. Essas propriedades postuladas são os axiomas190 _{da estrutura e, fazer uma teoria axiomática é deduzir consequências lógicas} dos axiomas da estrutura sem a utilização de quaisquer outras hipóteses sobre os elementos em questão (e, em particular, sem a utilização de qualquer hipótese sobre a sua natureza). Para Bourbaki, a utilização das estruturas matemáticas conhecidas como instrumentos facilita o trabalho do matemático, na medida em que ao descobrir relações entre os elementos que está a estudar que satisfaçam os axiomas de um certo tipo de estrutura conhecida, tem à sua disposição todo o quadro de teoremas gerais relativos a estruturas desse tipo. O estudo realizado pelo matemático é apresentado não unicamente como uma tarefa mecânica, mas sim guiado por uma “intuição especial”, que resultaria da familiaridade que o matemático estabelece com as estruturas básicas, devido ao contacto prolongado e repetido com essas entidades, que se tornam tão reais como o mundo real. Estas estruturas não são apresentadas como imutáveis, já que o desenvolvimento da pesquisa em Matemática poderá levar à descoberta de novas estruturas. Este processo dinâmico de evolução da Matemática também estaria de acordo com o método axiomático, já que segundo os autores bourbakistas, este método não se coaduna com uma perspectiva estática da ciência (Guimarães, 2007; Novaes, 2012).

Revuz (1968) apresenta como características inerentes à Matemática Moderna: a unidade conferida a uma ciência que se dispersava; o carácter dinâmico, que lhe é dado pelas estruturas; a sua expansão, pela extensão das suas aplicações, bem como, e sobretudo, pela matematização das ciências; a maleabilidade nova e diferente do espírito matemático; e a sua inesgotável fecundidade.

Em 1957, teve lugar durante a semana de 21 a 27 de Abril de 1957, a conferência de Madrid da Comissão Internacional para o Estudo e Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática (CIEAEM) (Anjos, 2010; Matos, 2006). Segundo Anjos (2006), o principal objectivo da reunião de Madrid foi a organização de uma exposição conjunta, que exigia que fosse realizada num

grande centro urbano para que a projecção dos resultados e das metodologias usadas fossem divulgadas em maior escala.

Os participantes portugueses na conferência de Madrid da Comissão Internacional para o Estudo e Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática (CIEAEM), foram os professores Sebastião e Silva, Calado, Silva Paulo e Santos Heitor. Estes professores faziam parte da delegação oficial portuguesa junto à CIEAEM, que tinha sido nomeada em 1955 pelo Instituto de Alta Cultura, e integrava também Vicente Gonçalves (Anjos, 2010).

Sobre a conferência de Madrid, no livro El material didáctico matemático actual, Puig Adam (1958), refere que um dos grupos de trabalho dedicados aos modelos (materiais) contou com a orientação de uma equipa belga da qual fazia parte Servais que mostrou "os colegas dos outros países a dobrar, colar, recortar e soldar" (Adam, 1958, p. 26). Não se tratava só de mostrar como construir o modelo, o objectivo era partir da concepção do modelo e reflectir sobre as operações necessárias para realizá-lo, discutindo quais os materiais mais apropriados, as suas vantagens e desvantagens e quais as consequências didácticas para as crianças. A originalidade dos modelos expostos, especialmente os materiais polivalentes e dinâmicos extraídos do dia a dia surpreendeu os participantes que estavam habituados aos modelos estáticos clássicos de vitrine (Adam, 1958, p. 27).

Esta reunião agitou as águas da renovação do ensino em Portugal. De acordo com Matos (2006), "os seus membros vão comentar as novas ideias sobre o ensino da matemática em diversos artigos e entrevistas" (p. 95) e nesse mesmo ano numa sessão pública Calado "perante o Ministro da Educação Nacional da época, Francisco Leite Pinto, reclama o lançamento da reforma".

Em finais de 1959, a Organização Europeia de Cooperação Económica191 _(OECE) decidiu promover uma sessão de trabalho, visando lançar uma reforma tão generalizada e profunda quanto possível do ensino da Matemática. Esta reunião, que veio a ficar conhecida como o Seminário de Royaumont, veio a ter enorme influência na reforma da Matemática Moderna (Matos, 1989). No relatório produzido a partir deste Seminário (OECE, 1961) são apresentadas três finalidades educativas: a) a Matemática como método de ensino liberal, enquanto formadora do espírito; b) a Matemática como base para toda a vida e para o trabalho; c) a Matemática propedêutica com uma preparação para os estudos universitários. Desta forma é apresentado um papel triplo para o ensino da Matemática: um papel formativo no desenvolvimento das capacidades mentais e intelectuais do aluno, um papel instrumental de

191 _{A OECE existiu entre 1948 e 1960. Foi criada no contexto do Plano Marshall, portanto, tinha como objectivo}

inserção na vida quotidiana e profissional e um papel de preparação para o prosseguimento de estudos. Também no mesmo relatório, as intenções da renovação do ensino da Matemática são apresentadas, em termos de finalidades, sob um duplo ponto de vista: o ensino geral e a formação dos alunos especialmente dotados.

Na proposta de Royaumont destacam-se duas orientações principais relativas ao conteúdo e organização curricular para um novo programa de Matemática, que podem ser resumidas do modo seguinte: por um lado, a ênfase na unidade da Matemática192 _{e em conceitos} unificadores como as estruturas matemáticas, por outro, introduzir novos assuntos e abordagens, ditos modernos, da Matemática. Estas recomendações traduziram-se especialmente na valorização da Álgebra e da Geometria Vectorial, na orientação axiomática dada ao estudo da Matemática, numa valorização do rigor matemático e da linguagem e simbologias matemáticas, e, a proposta de uma abordagem algébrica quer para Aritmética, quer para a Geometria. Para além, das orientações que davam grande importância à mudança do conteúdo e estrutura curriculares, também emanaram do Seminário orientações relativas aos métodos de ensino, muitas vezes revestindo-se mesmo do carácter de propostas e recomendações concretas. Entre as orientações metodológicas, próximas do acto de ensino e das actividades de aprendizagem, distinguem-se: a valorização da compreensão face à mecanização, o valor atribuído à intuição e ao rigor, a importância dada à aprendizagem por descoberta (Guimarães, 2007).

De acordo com Bjarnadóttir (2006), a organização do seminário convidou cada um dos seus estados membro, os Estados Unidos e o Canadá a enviar três representantes: “an outstanding mathematician, a mathematics educator or a person in charge of mathematics in the Ministry of Education, and an outstanding secondary teacher of matematics” (p. 237). De acordo com a mesma autora, todos os países convidados enviaram representantes excepto Portugal, Espanha e Islândia.

Em 1960, reuniu-se em Dubrovnik uma comissão que, dando seguimento a algumas das conclusões gerais do Seminário de Royaumont, elabora as propostas de programas para os vários ciclos do Ensino Secundário. Essas propostas são reunidas no livro Un programme moderne de mathématiques por l’énseignement sécondaire, que é publicado em 1961 pela OECE (Guimarães, 2003). O programa de Dubrovnik assume as recomendações de Royaumont no que respeita à unidade da Matemática, propondo três grandes temas: Álgebra, Geometria, e Probabilidades e Estatística. Na elaboração deste programa foi assumida a preocupação com os alunos mais dotados do ensino secundário, que se supunha adaptarem-se mais facilmente aos

192 _{Por exemplo, no que se refere à Trigonometria defende-se que ela não deve ser ensinada de forma autónoma no}

programa, propondo-se o seu estudo, primeiro como parte da Geometria, depois como parte das funções (Análise) e, ainda, associado ao estudo dos números complexos (Guimarães, 2007).

novos assuntos matemáticos. As recomendações de carácter metodológico são mais explícitas no programa de Dubrovnik do que nas intervenções de Royaumont no que respeita à valorização do papel do aluno e da componente da descoberta na aprendizagem, referindo-se também que as tarefas propostas não se devem limitar à aplicação de conhecimentos e que deve existir uma motivação para o interesse e desejo de investigação do aluno (Guimarães, 2007).

Observemos agora duas das orientações metodológicas propostas no seminário de Royaumont pela voz de alguns dos seus participantes, que são também principais protagonistas na ‘modernização’ do ensino da Matemática: a valorização da compreensão face à mecanização, o valor atribuído à intuição e ao rigor.

No que respeita à primeira orientação, Gustave Choquet, por exemplo, defende que já era altura “de não mais sobrecarregar os alunos com longas multiplicações e divisões” (OECE, 1961a, p. 68) e valoriza cálculos mentais simples e a estimação, chegando mesmo a sugerir a utilização da máquina de calcular quer para a realização dos cálculos mais complexos, quer para o cálculo de raízes quadradas. A este mesmo respeito, na proposta de programa elaborada na sequência das recomendações de Royaumont é dito que, embora seja de esperar algum domínio do cálculo no final do 1.º ciclo (11-15 anos) se deve evitar “a perda de tempo que resulta dos longos cálculos numéricos e das acrobacias algébricas” (OECE, 1961b, pp. 10-11), sendo recomendada a ênfase nas operações e suas propriedades.

O recurso à experimentação ou a um certo tipo de trabalho experimental em Matemática aparece frequentemente entre as recomendações de carácter metodológico sendo entendida como manipulação de objectos ou outros materiais concretos, ou, como elaboração de esquemas ou gráficos. Sobre utilização de materiais, Choquet, referindo-se ao ensino da Aritmética, menciona o material de Cuisenaire, e O. Botsch que interveio sobre o ensino da geometria, recomenda que este se deve iniciar com o estudo de objectos concretos e trabalhos manipulativos como a dobragem, o corte e a colagem (OECE, 1961a). E, no programa de Dubrovnick, a introduzir o programa de Geometria do 1.º ciclo, os autores apresentam como um dos três princípios importantes que orientam esse programa o seguinte enunciado: “um modelo material (dando lugar à observação e à experiência) é a base a partir da qual se pode desenvolver a abstracção matemática” (OECE, 1961b, p. 75).

Quanto ao reconhecimento do papel e importância da intuição na aprendizagem, Dieudonné, por exemplo, na sua intervenção no seminário defendeu

não podemos desenvolver frutuosamente uma teoria matemática sob a forma axiomática senão quando o aluno está já familiarizado com a questão à qual ela se aplica,

trabalhando durante algum tempo numa base experimental ou semi-experimental, isto é, fazendo constantemente apelo à intuição”. (Dieudonné, 1961, p. 40, itálico no original) Na apresentação do programa que propôs no seminário, Dieudonné considera que o tipo de trabalho atrás referido deve estar presente durante todo o ensino secundário, realçando que no programa que esboçou teve “o cuidado de não introduzir nenhuma noção matemática que não tivesse uma interpretação intuitiva imediata de qualquer natureza” (Dieudonné, 1961p. 46). Considera ainda que a partir dos quinze anos é já possível o enunciado dos axiomas (para a Geometria dedutiva), afirmando que a partir dessa idade: “O estudo experimental da Matemática nos estabelecimentos do ensino secundário, para falar propriamente, está terminado” (Dieudonné, 1961, p. 44).

Nesta mesma linha, Bostch recomenda que a Geometria dedutiva deve ser precedida por um estudo com base na observação e manipulação de objectos e materiais diversos — “o ensino da Geometria dedutiva nas escolas secundárias deve ser baseado numa experiência prévia satisfatória da Geometria intuitiva ou física” (OECE, 1961a, p. 129), recomendação que consta também no programa de Dubrovnick, estando presente sobretudo nos programas para o 1.º ciclo (11-15 anos) (OECE, 1961b).

A preocupação com o rigor é visível em Dieudonné (1961), como podemos observar no segundo dos dois princípios directores que apresentou: “uma vez introduzida a dedução lógica numa questão matemática, devemos sempre apresentá-la com uma honestidade rigorosa, isto é, sem dissimular as lacunas e os defeitos do raciocínio” (p. 40).

O esboço de programa que Dieudonné apresentou é todo orientado numa perspectiva de um estudo axiomático da Matemática, perspectiva foi preponderante no seminário, embora com o reconhecimento de que o estudo axiomático rigoroso não é possível até certa idade dos alunos (16 anos). Em Geometria, por exemplo, é recomendado que até essa idade “todo tratamento axiomático deverá permanecer implícito e não formal” (OECE, 1961a, p. 84).

Kline (1976) realça que de Royaumont não surgiram novos grupos de currículos, mas que as suas resoluções encorajaram desvios ao currículo tradicional. Assim, embora na reforma da Matemática Moderna fosse consensual a necessidade e urgência de uma mudança na estrutura e nos assuntos matemáticos do currículo da Matemática escolar da época, as suas concretizações foram diversas (Guimarães, 2007). Segundo Pinto (2007), estudos recentes revelam que o Movimento da Matemática Moderna teve rumos diferentes nos espaços/tempos escolares.

No Brasil, as mudanças iniciaram-se pelo curso ginasial, uma etapa inicial do ensino secundário que no momento do MMM era democratizada à população de alunos de faixa etária de 11 a 14 anos. (…) Em Portugal, diferentemente do Brasil, as primeiras experiências com a Matemática Moderna ocorrem na etapa final do ensino secundário, com alunos (…) com idades entre 15 e 17 anos. (Pinto, 2007, p. 119)

Em 1963, por iniciativa da Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico193 _{(OCDE) realiza-se em Atenas uma Reunion Internationale de Travail sur les} Nouveles Methodes d’Enseignement des Mathématiques. A reunião decorreu entre os dias 17 a 23 de Novembro, no Hotel Ambassadeurs. No primeiro dia (um Domingo), o programa da reunião compreende uma excursão facultativa a Corinto e arredores, e o registo dos participantes (DVD, anexo n.º 19). Esta conferência em Atenas teve como principal objectivo

une présentation et une discussion des programmes d’enseignement des mathématiques, envisagées du point de vue d’une formation scientifique moderne et du problème simultané de la formation des professeurs aux mathématiques modernes. La discussion devait mettre en évidence et contribuer à éclairer les problèmes de reforme et d’adaptation des programmes de mathématiques aux besoins actuels ou á venir, et en même temps rechercher les voies d’une solution possible à ces problèmes. (OCDE, 1964, p.312)

Outro propósito da organização da conferência foi

faciliter les exchanges l’informations et d’expériences sur les activités en cours pour la modernisation de l’enseignement des mathématiques dans les établissements secondaires de chacun des pays participante, les éléments positifs, et plus précisément les manuels expérimentaux, une présentation de la manière dont est fait l’enseignement des concepts et des méthodes modernes en mathématiques, les observations faites sur les classes pilotes en mathématiques, etc, feraient 1’objet de communications. L’aboutissement du travail devait être la publication d’un rapport qui pourrait aider les pays participante à développer ou à étendre leurs efforts pour un meilleur enseignement des mathématiques. (OCDE, 1964, p. 312)

Em cada dia da semana as sessões eram dedicadas a um tema, pelo que as comunicações e a discussão em grupos de trabalho desse dia incidiam sobre a temática prevista. Nas sessões diárias havia um presidente e um secretário (DVD, anexo n.º 19). No dia 18, antes da sessão da manhã, teve lugar na Universidade de Atenas a abertura oficial da conferência pelo Presidente

da reunião professor Papaioannou. O assunto a tratar nas sessões desse dia foi Les nouveaux programmes de mathématiques dans lénseignement secondaire, sendo a sessão da manhã ocupada com cinco apresentações (com dez minutos cada) sobre a Matemática Moderna nos programas do ensino secundário: Vectores, por L. Pauli; Conjuntos, por J. Laub; Geometria (para primeiros anos), por N. Kritikos; Geometria (ciclo superior), por M. Villa; Álgebra, por E. G. Begle. No final destas apresentações estava previsto tempo para questões. Ainda durante a manhã, numa sessão com a duração de uma hora grupos de trabalho discutiram as inovações no âmbito dos programas escolares. Na sessão da tarde, Servais apresentou uma conferência intitulada Une répartition modern des matières mathématiques pour les sections scientifiques des écoles secondaires, que foi seguida de discussão em grupos de trabalho.

O segundo dia, o tema foi Enseignement des concepts et des méthodes mathématiques modernes, na sessão da manhã realizaram-se cinco apresentações sobre os novos conceitos e os novos métodos de ensino em Matemática. As comunicações foram: Recherche de lois, por M. Beberman; Relations et fonctions, por H. Steiner; Calcul des probabilités, por L. Raade; Groupes, por E. Krisyensen; Semi-groupes (age 11-12 ans), por P. Abellanas. A discussão em grupos de trabalho debateu l´enseignement des mathématiques modernes. No fim de tarde, realiza-se uma conferência apresentada por G. Pappy denominada Méthodes et Techniques pour présenter les mathématiques modernsdans l’enseignement secondaire, seguida de discussão em grupo.

No terceiro dia, a temática foi Expérimentation de l’enseignement des mathématiques modernes dans les classes pilotes, os participantes tiveram aoportunidade de presenciar uma aula numa turma-piloto, do segundo ano do “gymnasium” (idade 14-15 anos). A discussão em grupos de trabalho incidiu sobre o tema Les classes pilotes pour expérimenter l’introduction de nouveaux programmes. Leurs objectifs, leur mise en oeuvre, leur évaluation. A sessão da tarde foi ocupada exclusivamente por discussão em grupos de trabalho sobre o ensino dos métodos e conceitos novos em Matemática, abordando os seguintes assuntos: vecteurs; espaces vectoriels; géométrie; démonstration; apprentisage original ou créateur.

A temática do quarto dia foi Le recours aux applications dans l’enseignement des Mathématiques, na sessão da manhã decorre a conferência proferida por M. Pollak intitulada Utilisation dans l’enseignement secondaire des notions modernes de mathématiques appliquées. A discussão em grupos de trabalho versou este assunto, com posterior discussão sobre La contribuition de l’enmseignement des mathématiques à l’enseignement des autres sciences. Na sessão da tarde realizou-se uma conferência cujo orador H. Athen abordou Les mathématiques considérées comme l’une des humanités, a que se seguiram os Grupos de Trabalho que

debateram a temática Modifications à apporter aux programmes scientifiques pour les sections non-scientifiques de l’enseignement secondaire.

O assunto do quinto dia foi La formation mathematique des professeurs. A sessão da manhã começou com a conferência de Les mathématiques qu’un professeur doit connaître proferida por Revuz, seguida do habitual tempo para as intervenções e debate. Os grupos de trabalho nessa manhã dia trataram do tema Les connaissances des professeurs. A tarde começou