Introdu¸c˜ao
H´a um livro maravilhoso, escrito por Tobias Dantzig, cujo t´ıtulo ´e “N´umero, a Linguagem da Ciˆencia”. N˜ao h´a afirma¸c˜ao mais verdadeira. Seria imposs´ıvel atingir o desenvolvimento cient´ıfico-tecnol´ogico a que chega- mos sem dispor de ferramenta t˜ao eficaz quanto os sistema num´erico decimal representado por algarismos hindu-ar´abicos.
Esse sistema, que o mundo todo usa, tem suas origens na ´India, por volta de 200 aC, foi adotado pelos ´arabes no s´eculo 8. Em 711 os ´arabes cruzaram o Estreito de Gibraltar e invadiram a Pen´ınsula Ib´erica, levando na bagagem os algarismos e tantos outros conhecimentos, de astronomia, medicina, e hoje enriquecem a cultura ocidental. O resto da Europa eventu- almente se rendeu ao novo sistema, mas n˜ao o fez sem muita resistˆencia.
A grande qualidade do sistema num´erico decimal, representado pelos algarismos hindu-ar´abicos, os nossos n´umeros de cada dia, ´e sua simplicidade, aliada a uma nota¸c˜ao extremamente feliz – posicional. Ao escrevermos 11 031, onze mil e trinta e um, usamos o algarismo 1 em trˆes situa¸c˜oes, com diferentes significados, diferenciados apenas por suas posi¸c˜oes em rela¸c˜ao aos demais algarismos, o 3 e o 0.
Essa conquista estupenda, tanto para a Matem´atica quanto para as demais ciˆencias, se fez sem alarde nem nomes – de maneira anˆonima – bem ao estilo da cultura hindu.
Isso s´o foi poss´ıvel devido `a introdu¸c˜ao de um s´ımbolo representando o nada – a coluna vazia. Isso n˜ao fora considerado pelas outras culturas, representar o vazio era inconceb´ıvel. Veja que a etimologia da palavra zero ´e do latim zephyrum, o nome do vento oeste, que provem de sifr, ´arabe para
vazio, pronunciado vulgarmente s´efer. Sem o zero n˜ao poder´ıamos diferenciar
11 031 de 1 131. Atividade 01
Vocˆe sabe escrever 11 031 usando n´umeros romanos? Experimente mul- tiplicar, por exemplo, MMMCDXXIII por CLVII . . .
N´umeros Decimais
N´umeros Decimais – os n´umeros nossos de cada dia
Quando falamos em n´umeros, com as pessoas comuns, os n´umeros com os quais lidamos na nossa vida di´aria, na padaria, no ˆonibus, no posto de gasolina, estamos nos referindo a uma classe bem especial de n´umeros racionais – os chamados n´umeros decimais. Veja alguns exemplos:1205 −11, 7547 9, 82 10 000, 00 0, 000349 171
Esses n´umeros podem representar medidas de comprimento, pre¸cos de objetos, notas de provas, ´ındices dos mais diversos e muito mais. Apesar de serem uma parcela realmente pequena de n´umeros, mesmo se considerarmos apenas o conjunto dos n´umeros racionais, eles bastam para a maioria das nossas necessidades di´arias. Veja a defini¸c˜ao de n´umeros decimais:
Os n´umeros decimais s˜ao todos aqueles que podem ser escritos na
forma ± p
10n, com p e n inteiros tais que p, n≥ 0.
Assim, a lista anterior pode ser reconhecida como
1205 = 1205 1 −11, 7547 = − 117547 10 000 9, 82 = 982 100 10 000, 00 = 10000 1 0, 000349 = 349 1000000 171 = 171 1 Fra¸c˜ao decimal
Observe as fra¸c˜oes escritas abaixo: 5 10, 2 100, 3 1000, 25 10000 ↑ ↑ ↑ ↑ 101 102 103 104
Os denominadores s˜ao potˆencias de 10.
Defini¸c˜ao: Denomina-se fra¸c˜ao decimal toda fra¸c˜ao em que o denomina- dor ´e uma potˆencia de 10 com o expoente natural.
Numeral decimal
Sabemos que cada algarismo que comp˜oe um numeral ocupa certa or- dem. Assim, no numeral:
4689
O valor dos algarismos deste numeral depende da ordem que ele ocupa. Como 4689 = 4× 1000 + 6 × 100 + 2 × 10 + 9, ent˜ao
O algarismo 4 na ordem das unidades de milhar −→ vale 4 · 1000 O algarismo 6 na ordem das centenas −→ vale 6 · 100
O algarismo 8 na ordem das dezenas −→ vale 8 · 10 O algarismo 9 na ordem das unidades −→ vale 9 · 1
Quando um algarismo ´e deslocado uma ordem `a direita, seu valor passa a ser 101 do anterior. E, quando ele ´e deslocado `a esquerda o seu valor passa a ser 10× o anterior.
Para representar os n´umeros racionais de outro modo, vamos apresentar os n´umeros decimais. Como teremos que representar partes da unidade, ampliaremos o sistema de numera¸c˜ao decimal.
1o) Colocaremos uma v´ırgula para separar as unidades inteiras das partes da
unidade.
2o) Criaremos novas ordens, chamadas ordens decimais ou casas decimais, `a
direita da v´ırgula, obedecendo ao princ´ıpio de cada ordem vale 1
10 do que est´a a sua esquerda.
Eis alguns numerais e como devem ser lidos: 0,8 → oito d´ecimos
0,18 → dezoito cent´esimos
5,8 → cinco inteiros e oito d´ecimos 7,20 → sete inteiros e vinte cent´esimos
19,421 → dezenove inteiros e quatrocentos e vinte e um mil´esimos Fra¸c˜ao decimal e numeral decimal
Transforma¸c˜ao de numeral decimal em fra¸c˜ao decimal. Transformar 0, 043 em fra¸c˜ao decimal.
N´umeros Decimais
Portanto,
Para transformar um numeral decimal em fra¸c˜ao decimal escreve-se uma fra¸c˜ao cujo numerador ´e o numeral decimal sem a v´ırgula e cujo deno- minador ´e o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado.
Exemplos: 1) 47, 23 = 4723 100 ↓ 2 casas decimais → 2 zeros 2) 0, 00431 = 431 100000 ↓ 5 casas decimais → 5 zeros
Transforma¸c˜ao de fra¸c˜ao decimal em numeral decimal. Transformar 35
10000 em numeral decimal. 35
10000 representa 35 d´ecimos de mil´esimos, logo 35
10000 = 0, 0035 Para transformar uma fra¸c˜ao decimal em n´umero decimal escreve-se o numerador da fra¸c˜ao com tantas ordens decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos: 1) 324 10 = 32, 4 2) 34 10000 = 0, 0034 ↑ 1 casa↑ ↑ 4 casas↑
1 zero decimal 4 zeros decimais
Propriedades dos n´umeros decimais. Consideremos 4,31
Sabemos que 4, 31 = 431 100
Vamos multiplicar os termos dessa fra¸c˜ao por 10, por 100 e por 1000. 431 100 = 4310 1000 = 43100 10000 = 431000 100000 C E D E R J 40
Se transformarmos cada fra¸c˜ao em numeral decimal, obtemos: 4, 31 = 4, 310 = 4, 3100 = 4, 31000
Conclu´ımos ent˜ao 1a Propriedade:
Um numeral decimal n˜ao se altera quando retiramos ou acrescentamos um ou mais zeros `a direita da sua parte decimal.
Exemplos:
1) 34, 1 = 34, 10 = 34, 100 = 34, 1000 2) 4, 181 = 4, 1810 = 4, 18100 = 4, 181000 Conseq¨uˆencia
A principal conseq¨uˆencia da 1apropriedade ´e que dois n´umeros decimais
quaisquer podem sempre ser representados com o mesmo n´umero de ordens decimais.
Exemplo:
4,156 e 2,14 podem ser escritos:
4,156 e 2,140 (ambos com 3 casas) Consideremos 4,518.
Multipliquemos esse numeral por 10, por 100 e por 1000: 4, 518× 10 = 4518 1000 × 10 1 = 4518 100 = 45, 18 4, 518× 100 = 4518 1000 × 100 = 4518 10 = 451, 8 4, 518× 1000 = 4518 1000 × 1000 = 4518 / / // // /// /// Da´ı temos: 2a Propriedade:
Para multiplicar um numeral decimal por 10, por 100, por 1000, etc, basta deslocar a v´ırgula uma, duas, trˆes, etc, casas decimais para a direita.
N´umeros Decimais
Exemplos:
1) 13, 4× 10 = 134 2) 431, 45× 100 = 43145 3) 0, 00412× 1000 = 4, 12 Aplica¸c˜ao - Compara¸c˜ao de decimais
A 2a propriedade ´e aplicada na compara¸c˜ao de numerais decimais.
Exemplo: Comparar os numerais
0, 345 e 0, 2431
1◦) Reescrevemos os dois decimais com igual n´umero de casas (1a proprie-
dade)
0, 3450 e 0, 2431
2◦) Eliminamos a v´ırgula (multiplicar por 10000) e comparamos os n´umeros
restantes.
3450 > 2431 ent˜ao 0, 345 > 0, 2431.
Vamos dividir 314,21 por 10, por 100 e por 1000. 314, 21 : 10 = 31421 100 : 10 = 31421 100 · 1 10 = 31421 1000 = 31, 421 314, 21 : 100 = 31421 100 : 100 = 31421 100 · 1 100 = 31421 10000 = 3, 1421 314, 21 : 1000 = 31421 100 : 1000 = 31421 100 · 1 1000 = 31421 100000 = 0, 31421 Da´ı temos: 3a Propriedade:
Para dividir um n´umero decimal por 10, por 100, por 1000, etc, basta deslocar a v´ırgula uma, duas, trˆes, etc, casas decimais para a esquerda. Exemplos:
1) 5,21 : 10 = 0,521 2) 434,25 : 100 = 4,3425 3) 3,421 : 1000 = 0,003421
Nota¸c˜ao Cient´ıfica ´
E comum precisarmos comparar n´umeros decimais. Esse processo pode ser facilitado se usarmos uma conven¸c˜ao a que chamamos nota¸c˜ao cient´ıfica.
A nota¸c˜ao cient´ıfica de um n´umero decimal ´e escrevˆe-lo na forma ± a × 10n
onde a ´e um decimal tal que 1≤ a < 10, com n um inteiro. O fator 10n´e a ordem de grandeza do n´umero.
Veja, no quadro a seguir exemplos de n´umeros com suas respectivas nota¸c˜oes cient´ıficas e ordens de grandeza.
147, 357 1, 47357× 102 2
0, 0000567 5, 67× 10−5 −5
−22052 −2, 2052 × 104 4
0, 005× 10−4 5, 0× 10−7 −7