Raiz (ou solu¸c˜ao) de uma equa¸c˜ao ´e um n´umero que transforma a senten¸ca aberta em senten¸ca verdadeira. Conjunto-Verdade ou Conjunto- Solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao ´e o conjunto de todas as ra´ızes. Resolver uma equa¸c˜ao ´e determinar o seu Conjunto-Verdade.
Equa¸c˜ao do 1
oGrau
Equa¸c˜ao do 1o Grau ´e toda senten¸ca aberta em uma vari´avel real x,
que pode ser expressa na forma ax + b = 0, onde a e b s˜ao n´umeros reais e a6= 0. Vamos determinar o Conjunto-Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ax + b = 0:
ax + b = 0⇔ ax = −b ⇔ x = −b
a, a6= 0 .
Equa¸c˜ao do 1o
Grau
Exemplo 1
a) O n´umero 2 ´e raiz da equa¸c˜ao 4x− 1 = 7, pois substituindo x por 2 a senten¸ca aberta 4x− 1 = 7 se transforma em 4 · 2 − 1 = 7 que ´e uma senten¸ca verdadeira.
b) O n´umero 5 n˜ao ´e raiz da equa¸c˜ao 4x− 1 = 7, pois substituindo x por 5 a senten¸ca aberta 4x− 1 = 7 se transforma em 4 · 5 − 1 = 7 que ´e uma senten¸ca falsa.
c) O conjunto solu¸c˜ao V da equa¸c˜ao 3x− 18 = 0 ´e V = {6}. De fato, 3x− 18 = 0 se, e somente se, x = 6.
d) O conjunto solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 3x + 2 = 3x− 1 ´e ∅, pois 3x + 2 = 3x− 1 ⇔ 0x = −3 ⇔ 0 = −3 que ´e uma senten¸ca falsa.
e) Qual ´e o conjunto solu¸c˜ao V da equa¸c˜ao 3x− 6 = 3(x − 2)? Solu¸c˜ao:
3x− 6 = 3x − 6 ⇔ 0x = 0 .
Note que 0x = 0 ´e uma senten¸ca verdadeira seja qual for x ∈ R. Portanto, V = R. f) Resolver a equa¸c˜ao 3x 4 − x + 1 3 = 1. Solu¸c˜ao: 3x 4 − x + 1 3 = 1⇔ 9x− 4(x + 1) 12 = 12 12 ⇔ 9x−4x−4 = 12 ⇔ 5x = 12+4 ⇔ x = 16 5 .
Da´ı, o conjunto solu¸c˜ao V , da equa¸c˜ao ´e V =
16 5
.
Aplica¸c˜oes da Equa¸c˜ao do 1o
Grau Exemplo 2
A soma de quatro n´umeros inteiros e consecutivos ´e 38. Achar esses n´umeros. Solu¸c˜ao:
Considere os n´umeros x, x + 1, x + 2 e x + 3. Ent˜ao:
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 38⇔ 4x = 38 − 6 ⇔ x = 8 . Logo, os n´umeros s˜ao: 8, 9, 10 e 11.
Exemplo 3
A idade de uma pessoa ´e o dobro da de outra. H´a cinco anos a soma das idades das duas pessoas era igual `a idade atual da mais velha. Quais s˜ao as idades atuais das duas pessoas?
Solu¸c˜ao:
Sejam x a idade da pessoa mais nova. Portanto, 2x a idade da mais velha. Usando dados de cinco anos atr´as encontramos que
x− 5 + 2x − 5 = 2x ⇔ x = 10 e 2x = 20 . Logo, as idades atuais s˜ao 10 anos e 20 anos.
Exerc´ıcios Propostos 1. Resolva em R, a equa¸c˜ao 3x− 27 = 0. 2. Resolva em R, a equa¸c˜ao 12 + 4x = 0. 3. Resolva em R, a equa¸c˜ao x[2x− (3 − x)] − 3 x2− 1= 0. 4. Resolva em R, a equa¸c˜ao 3x + 1 = 3x + 4. 5. Resolva em R, a equa¸c˜ao 5(x− 1) = 5x − 5. 6. Resolva em R, a equa¸c˜ao 5x− 1 2 − x 3 = 142 15 . 7. Resolva em R, a equa¸c˜ao 4x− 2 5 − 1 10 = 2− 1− 4x 2 .
8. A soma de cinco n´umeros ´ımpares e consecutivos ´e 905. Quais s˜ao esses n´umeros?
9. A soma de dois n´umeros ´e 200. Ache-os sabendo que a metade de um ´e igual a 3
4 do outro.
10. A diferen¸ca entre dois n´umeros ´e 18. Somando 4 a ambos, o maior torna-se o qu´adruplo do menor. Determine os dois n´umeros.
Gabarito
1. V = {9} 6. V ={23 5} 2. V = {−3} 7. V ={−5 3} 3. V = {1} 8. 177, 179, 181, 183 e 185 4. V = ∅ 9. 120 e 80 5. V = R 10. 20 e 2Aula 7 – Sistemas de Equa¸c˜oes do 1
oGrau
Considere numa situa¸c˜ao um pouco mais geral, as situa¸c˜oes abertas
x + y = 8 (7.1)
x− y = 4 (7.2)
onde x e y s˜ao n´umeros reais. N˜ao ´e poss´ıvel decidir se (7.1) ou (7.2) s˜ao verdadeiras ou falsas. No entanto, observe que:
( x = 1 y = 7 ; ( x = 7 y = 1 ; ( x = 6 y = 2 ; ( x = 2 y = 6 s˜ao algumas das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x + y = 8. Da mesma forma
( x = 7 y = 3 ; ( x = 6 y = 2 ; ( x = 5 y = 1 ; ( x = 8 y = 4
s˜ao algumas das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x− y = 4. Repare que x = 6 e y = 2 ´e solu¸c˜ao de ambas as equa¸c˜oes x + y = 8 e x− y = 4. Da´ı, que x = 6 e y = 2
´e solu¸c˜ao do sistema (
x + y = 8 x− y = 4
Uma solu¸c˜ao de um sistema de duas equa¸c˜oes e duas inc´ognitas x e y ´e qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz as duas equa¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 1
Se a, b e c s˜ao n´umeros reais, com a6= 0 e b 6= 0, a equa¸c˜ao ax + by = c ,
´e dita uma equa¸c˜ao do primeiro grau com duas inc´ognitas.
Nota:
1. Conforme visto acima, uma equa¸c˜ao do primeiro grau possui muitas solu¸c˜oes.
2. Um conjunto de duas equa¸c˜oes do primeiro grau, isto ´e, um sistema de duas equa¸c˜oes do primeiro grau possui uma ´unica solu¸c˜ao em x e y ou n˜ao possui solu¸c˜ao ou possui infinitas solu¸c˜oes.
Sistemas de Equa¸c˜oes do 1o
Grau
Vamos agora aprender dois m´etodos para achar solu¸c˜oes de um sistema de duas equa¸c˜oes com duas inc´ognitas.
M´etodo da Substitui¸c˜ao Exemplo 1
Determine o conjunto solu¸c˜ao do sistema
(
2x + 5y = 1 3x + 2y =−4 .
Solu¸c˜ao:
A partir da equa¸c˜ao 2x+5y = 1, vamos “isolar”, por exemplo, a vari´avel y, isto ´e:
2x + 5y = 1⇔ y = 1− 2x
5 .
Substituindo o valor de y na equa¸c˜ao 3x + 2y =−4 temos que 3x + 2 1− 2x 5 =−4 ⇔ 15x + 2 − 4x = −20 ⇔ 11x = −22 ⇔ x = −2 . Logo, y = 1− 2(−2) 5 ⇔ y = 1 .
Portanto, x =−2 e y = 1 ou V = {(−2, 1)} ´e o conjunto solu¸c˜ao. M´etodo da Adi¸c˜ao
Determine o conjunto solu¸c˜ao do sistema
(
2x + 5y = 1 3x + 2y =−4 .
Solu¸c˜ao:
Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por 2 e a segunda equa¸c˜ao por -5, e em seguida adicionando as equa¸c˜oes encontramos que,
+ (
4x + 10y = 2
−15x − 10y = 20
−11x + 0y = 22 .
Portanto, −11x = 22 o que implica x = −2. Substituindo x = −2 em qualquer das duas equa¸c˜oes iniciais temos que
2(−2) + 5y = 1 ⇔ y = 1 .
Da´ı, x =−2 e y = 1 ou V = {(−2, 1)} ´e o conjunto solu¸c˜ao. Veja mais um exemplo usando o m´etodo da substitui¸c˜ao:
Exemplo 2 Resolver o sistema ( x + 3y = 4 2x− y = 1 . Solu¸c˜ao:
A partir da primeira equa¸c˜ao x + 3y = 4 “isolamos”, por exemplo, a vari´avel y, isto ´e:
x + 3y = 4⇔ y = 4− x
3 .
Substituindo este resultado na equa¸c˜ao em 2x− y = 1 temos que 2x− 4− x 3 = 1 ⇔ 6x − 4 + x = 3 ⇔ 7x = 7 ⇔ x = 1 . Logo, y = 4− 1 3 = 1 .
Portanto, x = 1 e y = 1 ou V ={(1, 1)} ´e a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes. Exerc´ıcios Propostos 1. Resolva o sistema ( 2x− y = 1 3x + 2y = 5 . 2. Resolva o sistema ( x− 4y = 5 3x + y = 2 .
3. Num s´ıtio existem patos e porcos, num total de 40 cabe¸cas e 128 p´es. Determine o n´umero de porcos desse s´ıtio.
4. H´a cinco anos a idade de Pedro era o dobro da idade de Joana. Daqui a cinco anos a soma das duas idades ser´a de 65 anos. Quantos anos Pedro ´e mais velho que Joana?
5. O IBGE contratou um certo n´umero de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma certa cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residˆencias, 60 delas n˜ao seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residˆencias foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residˆencias tem a cidade?
Gabarito
1. V ={(1, 1)} 2. V ={(1, −1)} 3. 24 4. 15 5. 3060Aula 8 – Equa¸c˜ao do 2
oGrau
Defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao 1
Equa¸c˜ao do 2o Grau ´e toda equa¸c˜ao da forma ax2+bx+c = 0,
onde a, b, c∈ R, com a 6= 0.
Nota: Repare que a6= 0 ´e fundamental na defini¸c˜ao da equa¸c˜ao do 2o grau.
De fato, se a = 0, ent˜ao ax2 + bx + c = 0 ´e reduzida `a equa¸c˜ao bx + c = 0
que ´e uma equa¸c˜ao do 1o grau (na hip´otese em que b6= 0).
Exemplo 1
a) Na equa¸c˜ao 7x2+ x− 1 = 0 temos a = 7, b = 1 e c = −1.
b) Na equa¸c˜ao x2− x − 1 = 0 temos a = 1, b = −1 e c = −1.
c) Na equa¸c˜ao x2− 10x = 0 temos a = 1, b = −10 e c = 0.
d) Na equa¸c˜ao x2− 25 = 0 temos a = 1, b = 0 e c = −25.