dos mais comuns e intrigantes características do nosso Universo. Numa escala cósmica, Planetas, luas e estrelas giram sobre seus eixos. O sistema solar tem luas e o sol tem planetas revolvendo ao redor dele. Uma grande parcela de estrelas parecem ser binárias, estrelas duplas giram em conjunto com seu par. Estrelas e seus satélites revolvem ao redor do centro de suas galáxias e, muitas galáxias são partes de aglomerados que rodopiam em volta de outras galáxias.
Na escala humana, você provavelmente já deve ter visto tromba d’água, furacões, tornados e ciclones em movimento pela superfície da Terra. Ao observar o rio você deve ter notado pequenos redemoinhos (rebojos). Bailarianas dão um show de exibição ao rodopiarem na ponta de um dos pés. Gatos, jogadores de fute- bol e nadadores, durante suas apresentações, realizam rotações em seus corpos durante a execução de saltos mortais.
Muitas destas rotações começam com movi- mento de matéria ao longo de uma linha reta. Mas, o que faz tudo girar?
Desde os tempo primitivos, em todas as civiliza- ções a regularidade dos dias e as noites, as fases da lua, levou o homem a acreditar que tudo gira- va em torno da Terra. O grande desafio foi, no entanto, explicar o movimento dos planetas. Kepler em 1609, após analisar os precisos e detalhados registros astronômicos encontrado pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu que o segmento de reta traçado do sol a qualquer planeta (raio vetor) descreve áreas iguais em tempos iguais. Isso obriga que o planeta, quando esta mais próximo do sol, tenha uma velocidade maior e, mais lento quando esta afastado. Essa lei, denominada de lei das áreas, é uma das três importantes leis descoberta por Kepler sobre o movimento dos planetas. Dado a grandeza de sua importância para a Física no estabelecimento da forma da nossa
galáxia e na determinação do momento angular do nosso sistema solar, faremos uma breve ref- erencia seu estudo.
Atualmente sabemos que a lei das áreas (a 2ª lei de Kepler) é a manifestação da existência de um conceito, até então insuspeito, associado ao movimento rotacional, de Momento Angular e de um importantíssimo principio da física que rege o funcionamento de todo o Universo: A LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR. Esta é uma lei muito geral que se aplica não apenas para o movimento dos planetas mas que pode ser comprovada em inúmeras outras situações, independente do tipo de força ou do tipo de trajetória que o corpo descreve. As interações gravitacional e elétrica, por exemp- lo, constituem-se numa importante manifes- tação da existência em nosso Universo das chamadas forças centrais que ocorre quando um corpo gira ao redor de um centro e sua intensidade depende exclusivamente da dis- tancia (r) da partícula ao centro de rotação. Como exemplo, vamos aplicar esta pro- priedade para entender a 2ª Lei de Kepler. Desde a Antiguidade, já se conhecia que o período orbital dos cincos planetas visíveis a olho nu eram diferentes de um para o outro. Conhecia-se, portanto, que os planetas não se moviam em suas órbitas com velocidade con- stante. Próximos do sol eles se movem mais rápidos do que quando estão afastados. Isto implica que os ângulos medidos não são iguais em duas diferentes posições da órbita de um planeta, em intervalos de tempos iguais. Já ressaltamos nos capítulos anteriores que foi a busca obstinada de que existe uma regulari- dade no Universo que impulsionou Kepler ao estudo do movimento planetário vindo desco- brir que “o raio vetor que liga os planetas ao sol, descreve áreas iguais em tempos iguais”. Considere, pois, um raio vetor ligando a posição de um planeta de massa (m) em algum intervalo de tempo, conforme mostra a figura abaixo. Consideremos que o planeta descreva uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos. Seja (∆→r) uma porção da trajetória descrita pelo planeta em um intervalo de tempo (∆t)
Tal como mostra a figura abaixo, a linha que une o sol ao planeta em movimento descreve, num intervalo de tempo infinitesimal (∆t), uma
área (∆A).
Devido o intervalo de tempo ser muito pequeno, a porção da trajetória descrita pelo planeta é “quase” retilínea.
A área varrida, portanto, pode ser considerada como a área do triangulo isto é:
; onde a altura do triangulo é dada por h = ∆→r.senθ. Substituindo este valor
na expressão acima tem-se: .
Comparando este resultado com a definição do produto vetorial de dois vetores, verifica-se que o resultado obtido, pode ser escrito como:
. Calculando a taxa de variação
da área temos que: .
Multiplicando e dividindo a expressão do lado direito por m, obtemos:
No limite, quando o intervalo de tempo tende a zero, a taxa de variação desta área é: ou seja: que é o mesmo que escrever onde m. = V→ = p→.
Assim a taxa de variação desta área é:
Definimos o produto vetorial entre o vetor posição (r→) e o vetor quantidade de movimen- to (p→) como sendo o MOMENTO ANGULAR (L→).
Portanto : L→ = r→ X p→cujo o módulo vale: L = m.r.Vsenθ.
Este resultado demonstra que o Momento Angular é conservado: o vetor L tem a mesma intensidade e a mesma direção no plano for- mado por r e p. Em resumo, a conservação do momento angular implica que a órbita dos planetas é plana.
Apesar de usualmente, associarmos o momen- to angular ao movimento de rotação, uma partícula de massa (m) em movimento retilíneo com velocidade constante (V) tem um momen- to angular em relação a um ponto situado fora da linha. Considere, por exemplo, a seguinte situação, descrita abaixo:
L→ = r→Xp→= r.m(V.senθ) = m.V(r.senθ)= mV.r⊥
Assim, segundo equação L = mv.r⊥, a partícu-
la continua a se mover em linha reta enquanto que a componente de r perpendicular a veloci- dade, permanece igual a r⊥.
Também pode ser verificado que: L
→
= r→xp→ = rmVsenθ = rm, V// = rmVTANGENCIAL
onde V.senθ = VTANGENCIAL o módulo de vetor
Momento Angular também pode ser escrito como: L = m.r.VTANGENCIAL.
Para o caso de uma partícula se movendo em Movimento Circular Uniforme a VTANGENCIAL= W.R
que substituindo em L = m.r.VTANGENCIAL torna o
módulo do Momento Angular igual: L = m.r2W.
Podemos, agora definir o termo m.r2 como
sendo o MOMENTO DE INÉRCIA que repre- sentamos simbolicamente pela seguinte relação: I = mr2.
O Momento de Inércia (I), serve para indicar a maneira pela qual a massa do corpo esta dis- tribuída em torno do eixo de rotação.
Assim, o Momento Angular pode, também ser expresso por L→ = Iω→
Pela definição do Momento de Inércia (I = m.r2),
quanto mais afastado a partícula estiver do eixo de rotação maior será seu momento de inércia e, por conseguinte, mais difícil se torna fazer a partícula girar, a partir do repouso e parar, após estiver girando.
O momento de inércia, de forma similar a massa, denota uma resistência a mudança, devido ao torque, ou seja:
, onde ( ) é a
aceleração angular.
No caso de um conjunto de partículas situadas a diferentes distâncias do eixo de rotação, o momento de inércia é dado por: I = Σmir2i.
A tabela a seguir fornece o Momento de Inércia para alguns corpos de densidades uniformes com o eixo de rotação passando pelo centro.
1. Para clarificar esta dependência entre L→ = I.w→, considere vários corpos rígidos esféricos rolan- do do alto de um plano inclinado sem atrito. Nestas condições, qual a ordem de chegada dos mesmos na base do plano?
Da mesma maneira pelo qual a 2ª Lei de Newton esta relacionada ao momento linear
( ), o Momento Angular se relaciona
com o torque pela relação .
Neste sentido, no movimento de rotação o torque ( ) é um resultado extremamente importante, pois nas situações nos quais o torque externo aplicado ao corpo é nulo ou se cancela o Momento Angular se conserva. Neste caso = 0 ou seja: L é constante.
Mesmo que um torque externo seja aplicado ao sistema, o sistema reage exercendo um torque no sentido contrario. Um exemplo clássico bas- tante comum é a demonstração de um aluno que gira sentado sobre um banco segurando numa das mãos dois pesos no plano horizontal. Quando o estudante aplica um torque sobre o aro, este aplica um torque no sentido contrario sobre o estudante. Neste caso, nem o momen- to angular do banco e do estudante se conser- vam individualmente, mas sim, o momento angular do sistema (banco, aluno e aro).
Outro exemplo interessante é o da bailarina e da patindora. Se, inicialmente ele rodopia numa trajetória circular com os braços estendi- dos//abertos, para aumentar o efeito visual do seu movimento junto a platéia, a bailarina, nor- malmente, cruza repentinamente os braços, aumentando, assim, sua velocidade. A força da gravidade e a força normal não exercem torque sobre o corpo e o atrito é muito pequeno. No inicio seu Momento Angular vale: Li = R.m.V. Na situação final, tem-se: Lf = r.m.v.
A Conservação do Momento Angular implica que Lf = Li, deste modo r. m. v = R.m.V . Por conseguinte . Lembrando que v = ω.r,
obtém-se:
.
Este resultado, também, explica o redemoinho que se forma numa pia cheia de água quando
se retira a tampa. Como cada pequena quanti- dade de água move-se em direção ao ralo, suas distancias ao eixo de rotação diminui, fazendo com que a velocidade aumente para que haja a conservação do momento angular. Consequentemente, quando a água se aproxi- ma do fim, inicia-se um redemoinho. A água move-se numa espiral em torno do eixo que passa pelo ralo.